五　空间向量基本定理的应用

11五空间向量基本定理的应用1.已知正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为AA'和CC'的中点.则BF与ED'的位置关系为 ()A.平行 B.异面 C.相交 D.垂直【解析】选A.如图,=+=+12=+12,=+=12+=12+,所以=,所以∥,因为直线BF与ED'没有公共点,所以BF∥ED'.2.如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.则CE与A'D的位置关系是 ()A.平行 B.相交 C.垂直 D.无法确定【解析】选C.设=a,=b,=c,根据题意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0,所以=b+12c,=-c+12b-12a所以·=-12c2+12b2=0.所以⊥,即CE与A'D垂直.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则直线AB和CE所成角的余弦值为 ()A.52 B.55 C.58 【解析】选B.设AB=1,则由=+=-12,得·=·-12=-12,又||=52,故cos<,>=-55,则直线AB和CE所成角的余弦值为55.4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=AC=BC=1,M是B1C1的中点,则AM= ()A.32 B.52 C.72 【解析】选C.如图所示,=++=++12(-)=12++12,故||2=12++122=74,则AM=72.5.(多选题)若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系可能是 ()A.相交 B.平行C.在平面内 D.垂直【解析】选BC.因为=λ+μ,所以,,共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.6.(多选题)在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分别为棱BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2,则下列说法正确的是 ()A.EG⊥PG B.EG⊥BCC.FG∥BC D.FG⊥EF【解析】选ABD.如图,设=a,=b,=c,则{a,b,c}是空间的一个正交基底,则a·b=a·c=b·c=0.取AB的中点H,则=c-b,=23=23×12(a+b)=13a+1=+=+13(-)=23b+13则=-=13a+13b-23b-13c=13a-13b-13c,=-=13a+13b-13b=-=13b-13c+23b=-13c-13b.·=0,故A正确;·=0,故B正确;≠λ(λ∈R),故C不正确;·=0,故D正确.7.已知平面α⊥平面β,且α∩β=l,在l上有两点A,B,线段AC⊂α,线段BD⊂β,并且AC⊥l,BD⊥l,AB=6,BD=24,AC=8,则线段CD的长为________.

【解析】由题意,知=++,所以=(++)2=++=64+36+576=676,所以CD=26.答案:268.在棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则线段EF的长度为________,异面直线EF与AB所成角的大小是________.

【解析】设=a,=b,=c,则{a,b,c}是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a,a·b=a·c=b·c=12a2.所以=-=12(a+b)-12c,所以·=12a2+12a·b-12a·c=12a||=(12a+所以cos<,>==12a222a所以异面直线EF与AB所成的角为π4.答案:22a9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=B1B=1,M,N分别是AD,DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.【解析】=-=12(-),=+=-+,所以·=12-12·(-+)=12=12,又||=12||=52,||=2,所以cos<,>==1252×2=故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为101010.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD和A1C1的中点.证明:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;(2)A1G⊥平面EFD.【证明】(1)设正方体棱长为1,=i,=j,=k,则{i,j,k}构成空间的一个单位正交基底.=+=i+k,=+=12i+12k=12,所以AB1∥GE.=+=12k+-12(i+j)=-12i-12j+1因为·=(i+k)·-12i-12j+12k=-12|i|(2)=++=-k+j+12i,=+=i-12j,=+=i+12k.所以·=-k+j+=-12|j|2+12|i|2=0,所以A1G·=-k+j+1-12|k|2+12|i|2=0,所以A1G又DE∩DF=D,所以A1G⊥平面EFD.11.已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的 ()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当x=2,y=-3,z=2时,即=2-3+2.则-=2-3(-)+2(-),即=-3+2,根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理,设=m+n(m,n∈R),即-=m(-)+n(-),即=(1-m-n)·+m+n,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件.12.(多选题)(2022·锦州高二检测)已知空间向量i,j,k都是单位向量,且两两垂直,则下列结论正确的是 ()A.向量i+j+k的模是3B.i+C.向量i+j+k和k夹角的余弦值为3D.向量i+j,i-j共线【解析】选BC.对于选项A,因为空间向量i,j,k都是单位向量,且两两垂直,所以i=j=k=1,且i·j=i·k=j·k=0,则i+j+k=对于选项B,因为空间向量i,j,k都是单位向量,且两两垂直,所以i,j,k不共面,而向量i+j,i-j均与i,j共面,所以i+j,i-j与k不共面,则i+对于选项C,设i+j+k与k的夹角为α,则cosα=(=i·k+j·所以向量i+j+k和k夹角的余弦值为33对于选项D,因为|i+j|=(i+j)2同理可得|i-j|=2,则cos<i+j,i-j>=(i所以向量i+j,i-j的夹角为90°,则向量i+j,i-j不共线,D错误.13.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为BD的中点,G在棱CD上,且CG=14CD,H为C1G的中点,则FH=________【解析】设=a,=b,=c,则a·b=b·c=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.所以=+++=12(a-b)+b+c+12=12(a-b)+b+c+12-c-14a=38a+12b所以||2=38a+12b+12c2=964a2+14b2+14c2所以FH=418答案:4114.如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD=1,∠BAD=∠DAA1=60°,∠BAA1=30°,N为A1D1上一点,且A1N=λA1D1,若BD⊥AN,则λ的值为________;若M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N,则λ的值为________.

【解析】取空间中的一个基底:=a,=b,=c.若BD⊥AN,则·=0.因为=-=b-a,=+=c+λb,所以(b-a)·(c+λb)=0,所以12+λ-32-λ2=0,所以λ=当M为棱DD1的中点时,=-a+b+12c,=λb+c,=a+c.因为BM∥平面AB1N,所以向量,,共面,所以∃x,y∈R,使得=x+y,即-a+b+12c=ya+xλb+(x+y)c所以-解得λ=23答案:3-1215.利用空间向量的知识证明平行六面体的体对角线交于一点,并且在交点处互相平分.【证明】如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,设O是AC'的中点,则=12=12,设P,M,N分别是BD',CA',DB'的中点,则=+=+12=+12=+12=12=12,同理可得=12,=12,所以===,所以O,P,M,N四点重合,所以体对角线AC',BD',CA',DB'交于一点,且在交点处互相平分.16.如图,在三棱锥P-ABC中,点G为△ABC的重心,点M在PG上,且PM=3MG,过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F,若=m,=n,=t,则1m+1n+1t=________.

【解析】连接AG并延长交BC于点H,由题意,可令{,,}为空间的一个基底,=34=34(+)=34+34