焦点三角形面积公式5615

椭圆焦点三角形面积公式的应用定理在椭圆x221y（a＞b＞0）中，焦点分别为、，点P是FF2a2b21椭圆上任意一点，b2tan2.F1PF2yP，则SFPF12P证明：记，由椭圆的第一定义得|PF|r,|PF|r2112rr2a,(rr)24a2.FOFx121212在△中，由余弦定理得：r2r22rrcos(2c)2.FPF121212配方得：()22rr2rrcos4c2.rr121212即4a22rr(1cos)4c2.12rr2(a2c2)2b2.1cos1cos12由任意三角形的面积公式得：2sincos2sin1cos.212rrsinb2b22b2tanSF1PF2122cos22Sb2tan.2F1PF2同理可证，在椭圆y221（a＞b＞0）中，公式仍然成立.xa2b2典题妙解例1若P是椭圆x221上的一点，FF10064y、是其焦点，且12，求FPF6012△的面积.FPF12解法一：在椭圆x2y21中，a10,b8,c6,而60.10064记|PF|r,|PF|r.1122点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：rra220.12在△FPF中，由余弦定理得：r2r222rrcos(2c)2.12121配方，得：(rrrr144.)32121225634003rr144.从而12rr12.125636431rrsin232S.FPF121223解法二：在椭圆x2y中，2，而60.b264110064643.3Sb2tan64tan30FPF212解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例2已知P是椭圆x2y上的点，F、F分别是椭圆的左、右焦2125912PFPF点，若A.12，则△FPF的面积为（）12|PF||PF|1212B.C.33233D.33PFPF解：设FPF，则cos12，60.12|PF||PF|1212Sb2tan9tan3033.FPF212故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆x2y的左、右焦点分别是F、F，点P2116912在椭圆上.若P、F、F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距12离为（）A.9B.97C.9574D.9或9747解：若F或F是直角顶点，则点P到x轴的距离为半通径的长b29；a412若P是直角顶点，设点P到x轴的距离为h，则S9tan459，b2tanFPF212又S1(2)ch7h,FPF2127h9，h97.故答案选D.7金指点睛1.椭圆y2x上一点P与椭圆两个焦点F、F的连线互相垂直，则△21492412FPF的面积为（）12A.20D.24B.22C.282.椭圆x2y241的左右焦点为F、F，P是椭圆上一点，当△FPF的面2121积为1时，PFPF的值为（）12A.0D.6B.1C.33.椭圆x21的左右焦点为F、F，P是椭圆上一点，当△FPF的面212y241积最大时，PFPF的值为（）12A.0B.2C.4D.24．已知椭圆x2（＞1）的两个焦点为F、F，P为椭圆上一点，且y21aa212FPF60，则|PF||PF|的值为（）1212A．1B．1C．433D．235.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，FF、为焦点，点P在椭圆12上，直线PF与PF倾斜角的差为90，△FPF的面积是20，离心率为5，31212求椭圆的标准方程.6．已知椭圆的中心在原点，FF、为左右焦点，P为椭圆上一点，且12PFPF1，△FPF的面积是3，准线方程为x43，求椭圆312|PF||PF|21212的标准方程.答案1.解：24tan4524.24，SFPFFPF90,b2b2tan21212故答案选D.b2tantan21，2.解：设FPF，S，45,90FPF221212PFPF0.12故答案选A.2tan，23.解：a2,b1,c3，设FPF，Sb2tanFPF1212当△FPF的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，120，12PFPF|PF||PF|cosa2cos1202.1212故答案选D.tan303，234．解：FPF60，b1，Sb2tan12FPF12又S123|PF||PF|，412|PF||PF|sinFPF12123|PF||PF|3，从而34.3|PF||PF|41212故答案选C.5.解：设FPF，则90.，Sb2tanb2tan45b202FPF21212又eca5，32ab2ab5，即205.211a9a922解得：a245.x2y或y2x.4520所求椭圆的标准方程为22114520PFPF6．解：设FPF，cos1.,120212|PF||PF|1212，1.bSb2tanb2tan603b23FPF212又a243，即cb2c2114333.