关于行列式计算方法的讨论

关于行列式计算方法的讨论

列方程计算是高等和线性代数的基本问题。由于计算能力强，学生很难理解和掌握。在总结作者多年的教育经验的基础上，本文总结并提炼了一系列矩阵计算方法。利用行列式的性质:把一行(列)的适当的倍数加到另一行(列),把一个n阶行列式化为三角形,再利用三角形行列式的特点进行计算.例1计算n阶行列式的值.解例2计算n阶行列式的值.解注意能够利用化为三角形法则进行计算的行列式的共同特征是每行(列)有尽可能多的相同的元素.我们利用行列式的性质把某行(列)的倍数加到其它行(列),出现更多的零,进而化为三角形.类似的题目还有:2镶边法利用行列式按行(列)展开的性质,把n阶行列式通过加行(列)变成与之相等的n+1阶行列式,利用行列式的性质把添加进去的行(列)的适当的倍数加到其它行(列),使其它行(列)出现更多为零的元素后再进行计算.添加的行与列一般有四种方式,分别是添加在:(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列.当然有时也添加在行列式的一般行与列的位置.(1)添加首行首列或末行末列例3计算行列式的值.解例4计算n阶行列式的值.解(2)添加在一般位置例5计算n阶行列式的值.解提示:按第n+1行展开得到的是关于z的多项式,而所行列式的值是上述加边行列式展开式的zs项的系数乘以(-1)n+1+s+1.注意能够利用镶边法的题目往往具有如下两种特征之一:(1)各行(列)有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性质把一行(列)的适当的倍数加到其它行(列)的时候不容易变成三角形行列式,或者说出现的零的个数还不够多;(2)添加一行(列)后能够跟范德蒙行列式联系起来.类似的题目如:3利用因式定理法利用行列式的性质找出行列式的所有因式,从而得到行列式的值.我们利用行列式的定义的展开式观察出行列式的展开式(多项式)的次数特征,如果该次数与我们找到的所有因式的乘积的次数相同,就利用展开式的首项系数对因式的乘积的系数进行调整,之后得到的就是行列式的值了.例6计算解展开式可以看成关于x的多项式f(x),显然有f(a1)=0,f(a2)=0,…,f(an)=0,这是因为分别令x=a1,a2,…,an时,行列式恰好有两行相同,行列式的值为零.因此行列式的展开式中有因子:x-a1,x-a2,…,x-an,所以D=k(x+a1+a2+…+an)(x-a1)(x-a2)…(x-an),又行列式首项系数为1,故D=(x+a1+a2+…+an)(x-a1)(x-a2)…(x-an).注意能够利用因式分解定理进行计算的行列式的特征是:这类行列式一般是含有文字变量的行列式,当某个变量取某个特定值的时候行列式的值为零,则该行列式必含有某个特定因子.类似的题目如:4递推法利用行列式按行(列)展开的性质,得到原行列式与同类型的低阶行列式之间的递推关系式.此种方法有时用到Dn,Dn-1,有时用到Dn,Dn-1,Dn-2,若出现的是Dn,Dn-1的关系,则可以直接进行递推;若出现的是Dn,Dn-1,Dn-2,则一般要写成Dn+aDn-1=b(Dn-1+aDn-2),进行递推,这里的a,b可以用待定系数法去求出,也可以利用方程的根与系数的关系去求.(1)利用Dn,Dn-1进行递推例7计算解而D1=x,D2(x+a1)(x-a1),D3=(x-a2)[(x+a1)(x-a1)]+a2(x-a1)(x-a2)=(x+a1+a2)(x-a1)(x-a2).假设Dn=(x+a1+a2+…+an-1)(x-a1)(x-a2)…(x-an-1),代入上面的递推关系式得到Dn+1=(x-an)(x+a1+a2+…+an-1)(x-a1)(x-a2)…(x-an-1)+an(x-a1)(x-a2)…(x-an-1)(x-an)=(x+a1+a2+…an-1+an)(x-a1)(x-a2)…(x-an-1)(x-an).例8计算解同理有Dn=Dn′=zn-1∏i=1(xi-y)+(xn-z)D′n-1=zn-1∏i=1(xi-y)+(xn-z)Dn-1.Dn=Dn′=z∏i=1n−1(xi−y)+(xn−z)D′n−1=z∏i=1n−1(xi−y)+(xn−z)Dn−1.若y≠z,解得:Dn=1z-y[zn∏i=1(xi-y)-yn∏i=1(xi-z)].若y=z,递推可得:Dn=x1n∏i=2(xi-y)+yn∑i=2n∏j≠i(xj-y).(2)利用Dn,Dn-1,Dn-2进行递推例9计算所以有Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2),从而Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)=b2(Dn-2-aDn-3)=…=bn-2(D2-aD1),而D2-aD1=b2,所以同理可得若a≠b,又(1)、(2)两式消去Dn-1,得Dn=an+1-bn+1a-b.a=b若‚得Dn=aDn-1+an=a(aDn-2+an-1)+an=a2Dn-2+2an=…=an-1D1+(n-1)an=(n+1)an.例10计算Dn=|ab0⋯00cab⋯000ca⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯ca|.提示与例9类似可得递推公式Dn=aDn-1-bcDn-2,设Dn-x1Dn-1=x2(Dn-1-x1Dn-2),则{x1+x2=ax1x2=b,所以x1,x2是方程x2-ax+b=0的两个根.注例10的结果还可以用于某些行列式的计算,例如注意这类行列式的特征是:行列式按某行(列)展开后能够出现与原行列式同类型的低阶行列式,得到同类型的高阶行列式与低阶行列式之间的递推关系.类似的题目还有:此外,对于各行(列)元素的和相等的行列式,我们一般先将各列(行)进行累加,然后提取公因式,再利用行列式的性质进行计算.除了上述方法之外,还有的行列式可利用行列式的基本性质进行计算,这类题目计算比较容易,在此不再一一列举.行列式的计算,不同的题目可能用到不同的计算方法,至于采用哪种方法进行计算要视具体的题目而定.但是同样的题目有时也可以用不同的方法来计算,行列式的计算虽说不是非常的简单,但是方法和技巧却不是很复杂,只要我们多观察行列式的特点就能找到适合的方法.特别需要注意的是有的行列式的计算不