数理方程复习概要

数理方程复习纲要许志奋绪论：要点掌握两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简。练习：化以下方程为标准型：（提示：1，双曲型不要写成双曲线；2，a12的系数；3，双曲，椭圆，抛物型各怎样作自变量变换）2u2u32u0（2）22u22u2u0（a为常数）（1）47aax2xyy2x2y2xy2u2u2u0（3）xy2yx22颠簸方程的初值问题与行波法：要点掌握以下几个方面的问题（1）能够推导并熟记一维颠簸方程的初值问题ua2ux,t0{ttxx(x),ut(x,0)(x)xu(x,0)解的D’Alembert公式：u(x,t)=1(xat)(x12at)2a

xat( )d，xat练习：P551.(1)（2）能够运用齐次化原理求解以下初值问题utta2uxxf(x,t)x,t0{(x),ut(x,0)(x)xu(x,0)其解的表达式为：u(x,t)=1(xat)12(xat)2a练习：P55.4

xat1()dxat2a

txa(t)f(,)dd0xa(t)其次，关于半无界弦的振动问题，要能够依据所给的定解条件，对自由项f(x,t)以及初始数据φ(x),ψ(x)作适合的奇延拓(u(0,t)=0)或偶延拓(ux(0,t)0)，进而推出其解的表达式。详细赐教材P42P43页。utta2uxxxt0x,t0练习：（i）u(x,0)sinx,ut(x,0)cosx0xu(0,t)0utta2uxxxt0x,t0（ii）u(x,0)sinx,ut(x,0)cosx0xux(0,t)0（3）还要注意只由端点所惹起的振动，其解为右行波的情况，即注及的情况。分别变量法:采纳逐渐深入的步骤，知道以下三种状况的办理1）齐次方程齐，次界限条件。第一利用界限条件是确立特点函数系的，最后利用初始条件确立解的表达式中的常数的！utta2uxx0xl,t0练习u(0,t)u(l,t)0t0u(x,0)x,ut(x,0)(lx)0xl2）非其次方程，齐次界限条件。第一利用其所对应的齐次方程，齐次界限条件来确立特点函数系，进而得其形式解u(x,t)Tn(t)sinnx或u(x,t)Tn(t)cosnxn1ln1l而后把自由项f(x,t)依据相应的特点函数系睁开并代入到原方程中去，经过比较系数确立Tn(t)。utta2uxxxt0xl,t0练习u(0,t)u(l,t)0t0u(x,0)x,ut(x,0)(lx)0xl（3）非其次方程，非齐次界限条件。第一要把界限条件化为齐次的，这要经过适当的未知函数代换。往常是令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),此中v(x,t)知足齐次界限条件，依据线性法简单获得w(x,t)。这样把u的方程化为v的方程，它是齐次界限条件的。不然你没法确立特点函数系。utta2uxx10xl,t0练习u(0,t)1t,u(l,t)0t0u(x,0)x,ut(x,0)(lx)0xl提示：在第三种情况下，要注意的一种稳固的非齐次问题，即教材中的注，及例的解法，经过一步函数代换，能够将方程以及界限条件同时化为齐次的！这也是常常要考察的内容。调解方程与Green函数法：应掌握以下几个方面的知识点1）知道Green公式的推导,而且能够由Green公式借助Laplace方程的基本解推Green公式Laplac方程的基本解调解函数的基

导出调解函数的基本积分表达式二维三维(uvvu)dvu(uvvu)dVvu(uv)ds(uv)dSDCnnnnvln1ln1v1212r(xx0)2(yy0)2r2(xx0)(yy0)(zz0)u(x0,y0)1u(ln1)ln1uds111u(M)u(M0)u(M)( )dS2Cnrrn4nrMMrMMn本积分表达式（2）理解Green函数的意义及性质，并知道半空间以及球面上的Green函数，能够以此得出Dirichlet问题的解。（i）半空间uxxuyyuzz0z0，其111)，因三维Green函数为G(M,M0)(rM10Mu|z0f(x,y)4rM0M而可得出此方程解为u(M0)fG1z0f(x,y)dxdydS23n(xx0)2(yy0)2(zz0)22uxxuyy0y01(ln1ln1)，因此二维，其Green函数为G(M,M0)u|y0f(x)2rM0MrM1M可得出此方程解为u(x0,y0)1y02f(x)dx(xx0)2y0（ii）球域上的Green函数的作法uxxuyyuzzF(x,y,z)x2y2z2R2函数为三维，其其Greenu|x2y2z2R2f(x,y,z)G(M,M0)1(221420cos01其解的表达式P119（）

201

R)，20cosR4近似的能够得出二维圆域上Laplace方程Dirichlet问题uxxuyy0x2y2R2u|x2y2R2f(x,y)的解为u(0,0)

1

2R220df( )222

0R02R0cos3）一般地区上Green函数的结构，比如，四分之一平面，上半球面。4）调解函数的均匀值性质。积分变换法：1）第一要知道傅里叶变换及其逆变换公式F( )f(t)eitdt与f(x)1F( )eixd212F[ebx24b，F[ex2/(4c2t)]2ctec22t（2）几个重要公式，]( )2ebF1[1()sinat]1xat( )da2axatF1[

( )cos

at]

1((x

at)

(x

at))2(f*g