利用行列式求导数的两种计算方法

利用行列式求导数的两种计算方法

在高等代数中，有许多方法可以运用代数知识进行列。在这项工作中，我们介绍了使用微晶知识计算行列式的两种方法。此外，高等代数和微积分离主义的两个古典数学分支也密切相关。1u3000dnx型主要思路:根据所求行列式的特点,构造一个较易求值的行列式函数,使得行列式函数在某点的导数值与所求行列式相等,从而把计算行列式的问题转化为行列式求导数的计算。利用行列式求导的计算方法:逐行或逐列求导数之和,以及行列式的性质,可计算一类行列式的值。此法适用于:(1)构造的行列式函数较易求值。(2)行列式函数求导后在某点的导数值刚好是所求行列式与较易求值行列式之和。例1求n阶行列式的值。Dn=|11⋯1α1α2⋯αn⋯⋯⋯⋯αn-21αn-22⋯αn-2nαn1αn2⋯αnn|Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣1α1⋯αn−21αn11α2⋯αn−22αn2⋯⋯⋯⋯⋯1αn⋯αn−2nαnn∣∣∣∣∣∣∣∣注:这道题用《高等代数》的方法也能解决。本题是北京大学数学力学系编的《高等代数》习题。这里介绍用微积分进行计算。解:先构造一个n阶行列式函数:Dn(x)=|eα1xeα2x⋯eαnxα1eα1xα2eα2x⋯αneαnx⋯⋯⋯⋯αn-21eα1xαn-22eα2x⋯αn-2neαnxαn-11eα1xαn-12eα2x⋯αn-1neαnx|Dn(x)=∣∣∣∣∣∣∣∣eα1xα1eα1x⋯αn−21eα1xαn−11eα1xeα2xα2eα2x⋯αn−22eα2xαn−12eα2x⋯⋯⋯⋯⋯eαnxαneαnx⋯αn−2neαnxαn−1neαnx∣∣∣∣∣∣∣∣每行提公因子e(α1+α2+⋯+αn)x|11⋯1α1α2⋯αn⋯⋯⋯⋯αn-21αn-22⋯αn-2nαn-11αn-12⋯αn-1n|=e(α1+α2+⋯+αn)x∏1≤j＜i≤n(αi-αj)从而行列式函数:Dn(x)=e(α1+α2+⋯+αn)x∏1≤j＜i≤n(αi-αj)两边对x求导数:(行列式的求导运算是逐行求导之和)ddx|eα1xeα2x⋯eαnxα1eα1xα2eα2x⋯αneαnx⋯⋯⋯⋯αn-21eα1xαn-22eα2x⋯αn-2neαnxαn-11eα1xαn-12eα2x⋯αn-1neαnx|=ddx(e(α1+α2+⋯+αn)x∏1≤j＜i≤n(αi-αj))∴|α1eα1xα2eα2x⋯αneαnxα1eα1xα2eα2x⋯αneαnx⋯⋯⋯⋯αn-21eα1xαn-22eα2x⋯αn-2neαnxαn-11eα1xαn-12eα2x⋯αn-1neαnx|+|eα1xeα2x⋯eαnxα21eα1xα22eα2x⋯α2neαnxα21eα1xα22eα2x⋯α2neαnx⋯⋯⋯⋯αn-11eα1xαn-12eα2x⋯αn-1neαnx|+⋯⋯+|eα1xeα2x⋯eαnxα1eα1xα2eα2x⋯αneαnx⋯⋯⋯⋯αn-21eα1xαn-22eα2x⋯αn-2neαnxαn1eα1xαn2eα2x⋯αnneαnx|=(α1+α2+⋯+αn)e(α1+α2+⋯+αn)x∏1≤j＜i≤n(αi-αj)等式左边的前n-1个行列式全为0,因为有相邻两行的元素相同。∴|eα1xeα2x⋯eαnxα1eα1xα2eα2x⋯αneαnx⋯⋯⋯⋯αn-21eα1xαn-22eα2x⋯αn-2neαnxαn1eα1xαn2eα2x⋯αnneαnx|=(α1+α2+⋯+αn)e(α1+α2+⋯+αn)x∏1≤j＜i≤n(αi-αj)令x=0得:|11⋯1α1α2⋯αn⋯⋯⋯⋯αn-21αn-22⋯αn-2nαn1αn2⋯αnn|=(α1+α2+⋯+αn)∏1≤j＜i≤n(αi-αj)结论:只要构造的行列式原函数较易求值,则可利用导数计算行列式。2dn+1.2主要思路:将所求行列式的某行或某列相等地改为定积分,然后把定积分计算与行列式计算交换次序,从而把行列式的求值问题转化为被积函数中行列式的计算问题。只要被积函数中的行列式比所求行列式计算简单,此法就有用场;最后归结为定积分的计算。此法适用范围:把行列式的某行或某列改写为定积分,交换积分计算与行列式计算次序后,所得行列式比所求行列式简单。例2求n+1阶行列式的值(n为偶数)。Dn+1=|112⋯1n1n+1222⋯2n2n+1⋯⋯⋯⋯⋯nn2⋯nnnn+1n2n23⋯nnn+1nn+1n+2|解注意到:1n∫n0xkdx=nkk+1(k=1‚2‚⋯‚n+1)从而把行列式Dn+1看作是另一个n+1阶行列式函数的定积分:即Dn+1=|112⋯1n1n+1222⋯2n2n+1⋯⋯⋯⋯⋯nn2⋯nnnn+11n∫n0xdx1n∫n0x2dx⋯1n∫n0xnd1n∫n0xn+1dx|=1n∫n0|112⋯1n1n+1222⋯2n2n+1⋯⋯⋯⋯⋯nn2⋯nnnn+1xx2⋯xnxn+1|dx每行提公因子n!n∫n0|11⋯1n-11n12⋯2n-12n⋯⋯⋯⋯⋯1n⋯nn-1nn1x⋯xn-1xn|xdx行列互换(n-1)!∫n0|11⋯1112⋯nx⋯⋯⋯⋯⋯1n-12n-1⋯nn-1xn-11n2n⋯nnxn|xdx被积函数可看作一个n+1阶凡德蒙行列式利用|11⋯1α1α2⋯αn⋯⋯⋯⋯αn-11αn-22⋯αn-1n|=∏1≤j＜i≤n(αi-αj)∴|11⋯1112⋯nx⋯⋯⋯⋯⋯1n-12n-1⋯nn-1xn-11n2n⋯nnxn|=c(x-1)(x-2)⋯(x-n)这里常数C是X无关的整数。∴Dn+1=(n-1)!∫n0cx(x-1)(x-2)…(x-n)dx=c(n-1)!∫n0x(x-1)(x-2)…(x-n)dx利用换元积分法作变换:X=t+n2(这里n为偶数,所以n2为整数)∴Dn+1=c(n-1)!∫n0x(x-1)(x-2)⋯(x-n)dx=c(n-1)!∫n2-n2(t+n2)(t+n2-1)⋯(t+1)t(t-1)⋯(t-n2)dt=c(n-1)!∫n2-n2t(t2-12)(2-22)⋯[t2-(n2)2]dt=0(因奇函数在对称区间上的