上海高考文科数试题详解

2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（文科）详解满分150分;考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数的最小正周期是．考点：三角恒等变形、三角函数的周期解答：因为，所以.难度：容易题2．若复数，其中是虚数单位，则．考点：复数的四则运算，共轭运算解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即难度：容易题3．设常数，函数．若，则．考点：解方程、求函数值解答：由难度：容易题4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．考点：圆锥曲线的标准方程解答：知抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为：难度：容易题5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．考点：分层抽样解答：高一、高二共有学生2800名，按40：1的比例，需抽取学生数为70人。难度：容易题6．若实数满足，则的最小值为．考点：基本不等式解答：，即难度：容易题7．若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与轴所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．考点：圆锥的侧面展开图解答：如图：难度：容易题8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．考点：三视图解答：由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24.难度：容易题9．设若是的最小值，则的取值范围为．考点：函数的单调性及最值 解答：难度：中等题10．设无穷等比数列的公比为，若，则．考点：无穷等比数列各项的和解答：难度：中等题11．若，则满足的的取值范围是．考点：幂函数的单调性解答：20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设常数，函数．若，求函数的反函数；根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．考点：反函数、函数的奇偶性解答：（1）因为，所以，得或，且．因此，所求反函数为．（2）①当时，，定义域为，故函数是偶函数；②当时，，定义域为，，故函数为奇函数；③当且时，定义域为关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数．难度：容易题21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为．（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，求的长（结果精确到0.01米）．考点：解斜三角形解答：（1）设，则.因，所以，即，（米）（2）在中，由已知，，，由正弦定理得，解得（米）．在中，由余弦定理得，解得（米）．所以，的长约为26.93米．难度：中等题22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．在平面直角坐标系中，对于直线和点，记．若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．（1）求证；点被直线分隔；（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线．求的方程，并证明轴为曲线的分隔线．考点：定义法求曲线方程、数形结合思想解答：（1）证明：因为，所以点被直线分隔．（2）解：直线与曲线没有公共点的充要条件是方程组无解，即．当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔．故实数的取值范围是．（3）证明：设的坐标为，则曲线的方程为．对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点．又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔．所以轴为曲线的分隔线．难度：中等题23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知数列满足，，．（1）若，求的取值范围；（2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．考点：等差数列、等比数列与不等式综合解答：（1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．（2）设的公比为．由，且，得．因为，所以．从而，，解得．时，．所以，的