2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册 第5章一元函数的导数及其应用 综合测试题（解析版）

第第页2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册第5章一元函数的导数及其应用综合测试题（解析版）第5章一元函数的导数及其应用综合测试题

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知f(x)在x＝a处可导，且f′(a)＝b,则等于()

A．bB．2b

C．3bD．4b

2．已知f(x)＝x2＋2x·f′，则f′等于()

A．－4B．2

C．1D．－2

3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为()

A．2x－y＋1＝0B．2x－y－1＝0

C．2x＋y＋3＝0D．2x＋y＋2＝0

4．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内单调递增()

A.B．(π，2π)

C.D．(2π，3π)

5．函数f(x)＝()

A．在(0,2)上单调递减

B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增

C．在(0,2)上单调递增

D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减

6．已知定义在上的函数f(x)满足2xf(x)＋x2f′(x)的解集为()

A.B．

C.D．

7．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为()

A．a

C．f(x0)＋x0＜0D．f(x0)＋x0＞0

10．若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()

A．f(x)＝tan2xB．f(x)＝x5＋sin2x

C．f(x)＝1＋sin2xD．f(x)＝ex－x

11．已知函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)(a≠0)的极大值点为x＝a，则()

A．b2B．a2C．若f′(x1)＝f′(x2)＝0，则x1＋x2>0

D．若f′(x1)＝f′(x2)＝0，则x1x2>0

12．已知函数f(x)＝x3－x＋1，则()

A．f(x)有两个极值点

B．f(x)有三个零点

C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心

D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．函数f(x)＝sin，满足f′(θ)＝，则cos＝.

14．若函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处取得极小值，则a＝___.

15．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝___.

16．设a∈(0,1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ex＋ax＋b，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝a－b.

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)≥0.

18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.

(1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)设函数f(x)在区间内是减函数，求a的取值范围．

20．(本小题满分12分)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系：

P＝(其中c为小于6的正常数，次品率＝次品数/生产量，如P＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)

已知每生产1万件合格的仪器可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．

(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数；

(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)．

(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由．

(3)若f(x)在(0，＋∞)存在极值，求a的取值范围．

第5章一元函数的导数及其应用综合测试题

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知f(x)在x＝a处可导，且f′(a)＝b,则等于(B)

A．bB．2b

C．3bD．4b

[解析]

＝

＝＋＝b＋b＝2b，故选B.

2．已知f(x)＝x2＋2x·f′，则f′等于(B)

A．－4B．2

C．1D．－2

[解析]f′(x)＝2x＋2f′，令x＝1得f′＝2＋2f′，解得f′＝－2，

所以f′(x)＝2x－4，f′＝6－4＝2.故选B.

3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(A)

A．2x－y＋1＝0B．2x－y－1＝0

C．2x＋y＋3＝0D．2x＋y＋2＝0

[解析]由已知得y′＝，

∴k＝y′，即2x－y＋1＝0，故选A.

4．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内单调递增(B)

A.B．(π，2π)

C.D．(2π，3π)

[解析]y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，当x∈(π，2π)时，－xsinx>0，则函数y＝xcosx－sinx在(π，2π)上单调递增．

5．函数f(x)＝(B)

A．在(0,2)上单调递减

B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增

C．在(0,2)上单调递增

D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减

[解析]f′(x)＝＝＝.

令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.

∴x∈(－∞，0)和x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，

x∈(0,1)和x∈(1,2)时，f′(x)的解集为(D)

A.B．

C.D．

[解析]令h(x)＝x2f(x)，则h′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)可以转化为x2f(x)>4×＝22f，即h(x)>h，所以00时x∈，当f′(x)π>e，所以fe－3.

故选A.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．已知函数f(x)＝xlnx＋x2，x0是函数f(x)的极值点，下列选项正确的是(AC)

A．0

C．f(x0)＋x0＜0D．f(x0)＋x0＞0

[解析]∵函数f(x)＝xlnx＋x2(x＞0)，

∴f′(x)＝lnx＋1＋x，易得f′(x)＝lnx＋1＋x在(0，＋∞)递增，

∴f′＝＞0，

∵x→0，f′(x)→－∞，

∴0＜x0＜，

即A正确，B不正确；

∵lnx0＋1＋x0＝0，

∴f(x0)＋x0＝x0lnx0＋x＋x0＝x0＝－x＜0，即C正确，D不正确．

故选AC.

10．若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(ABC)

A．f(x)＝tan2xB．f(x)＝x5＋sin2x

C．f(x)＝1＋sin2xD．f(x)＝ex－x

[解析]对于A，由f(x)＝tan2x可得f′(x)＝′＝＝，则f′(x)为偶函数，关于y轴对称，故A满足题意；

对于B，由f(x)＝x5＋sin2x可得f′(x)＝5x4＋2cos2x,f′(x)为偶函数，关于y轴对称，故B满足题意；

对于C，由f(x)＝1＋sin2x可得f′(x)＝2cos2x(x∈R)，则f′(x)为偶函数，关于y轴对称，故C满足题意；

对于D，由f(x)＝ex－x可得f′(x)＝ex－1(x∈R)，则f′(－x)＝e－x－1，所以f′(x)是非奇非偶函数，不关于y轴对称，故D不满足题意；故选ABC.

11．已知函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)(a≠0)的极大值点为x＝a，则(BD)

A．b2B．a2C．若f′(x1)＝f′(x2)＝0，则x1＋x2>0

D．若f′(x1)＝f′(x2)＝0，则x1x2>0

[解析]令f(x)＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f(x)的两个零点，当a>0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如图甲所示，则0ab>a2，故选BD.

12．已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(AC)

A．f(x)有两个极值点

B．f(x)有三个零点

C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心

D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线

[解析]由题，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0得x>或x0，f＝1－>0，f(－2)＝－50，即函数f(x)在上无零点，

综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；

令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，

则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心，

将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，

所以点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；

令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，

当切点为(1,1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1,1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．

故选AC.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．函数f(x)＝sin，满足f′(θ)＝，则cos＝.

[解析]由已知f′(x)＝2cos，所以f′(θ)＝2cos＝，cos＝，

所以cos＝2cos2－1＝2×2－1＝.

14．若函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处取得极小值，则a＝_2__.

[解析]求导函数可得f′(x)＝3x2－4ax＋a2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＝0，解得a＝2或a＝6，

当a＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(x－2)(3x－2)，函数在x＝2处取得极小值，符合题意；

当a＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，函数在x＝2处取得极大值，不符合题意，所以a＝2.

15．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝_11__.

[解析]f′(x)＝3x2＋6mx＋n，则即解得或

当时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，不符合题意，舍去；

当时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3，

令f′(x)>0，得x－1；令f′(x)0，

故即

故≤a0时，f′(x)>0，f(x)为增函数，

∴f(x)的最小值为f(0)＝0，∴f(x)≥0.

18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．

[解析]函数f(x)的定义域为(0,2)，

f′(x)＝－＋a，

(1)当a＝1时，f′(x)＝，∴当x∈(0，)时，f′(x)>0，当x∈(，2)时，f′(x)0，

即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.

(1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)设函数f(x)在区间内是减函数，求a的取值范围．

[解析](1)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，得f′(x)＝3x2＋2ax＋1，Δ＝4a2－4×3＝4(a2－3)．

当－≤a≤时，Δ≤0，有f′(x)≥0,∴f(x)在R上单调递增，

当a时，由f′(x)＝0得x＝.

由f′(x)>0x，

由f′(x)c时，P＝，

所以T＝x·2－x·1＝0.

当1≤x≤c时，P＝，

所以T＝·x·2－·x·1

＝.

综上，日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为：T＝

(2)由(1)知，当x>c时，每天的盈利额为0，

当1≤x≤c时，T′＝＝，

令T′＝0，解得x＝3或x＝9.

因为10时，由f′(x)>0，解得x，

由f′(x)0，且f(x)极大值·f(x)极小值0，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，

定义域关于直线x＝－对称，由题意可得b＝－，

由对称性可知f＝f，

取m＝可得f(1)＝f(－2)，

即(a＋1)ln2＝(a－2)ln，则a＋1＝2－a，解得a＝，

经检验a＝，b＝－满足题意，故a＝，b＝－.

即存在a＝，b＝－满足题意．

(3)由函数的解析式可得

f′(x)＝ln(x＋1)＋，

由f(x)在区间(0，＋∞)存在极值点，则f′(x)在区间(0，＋∞