2024年小升初数学精讲专题专题03 因数和倍数（提高卷）

小升初数学精讲精练专题汇编（提高卷）第3讲因数和倍数一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）1．（2分）（2022·竞秀）要使四位数“215□”既是2的倍数，又是3的倍数，方框里应填（）。A．1 B．2 C．42．（2分）（2022·西城）一个质数和一个合数的最大公因数一定是1。要想说明上面这句话是错误的，可以用下面（）作为例子进行反驳。A．3和4 B．6和8 C．2和10 D．5和73．（2分）（2022·红塔）把再加上（）个就是最小的质数。A．4 B．5 C．6 D．74．（2分）（2021·苏州）m和n是非零自然数，m÷n＝1……1，那么m和n的最小公倍数是（）A．1 B．mn C．m D．n5．（2分）（2020·牡丹江）今年小方父亲的年龄是小方的3倍，去年小方的父亲比小方大26岁，那么小方明年多大？（）A．16 B．13 C．15 D．14二、判断正误（共5题；每题1分，共5分）6．（1分）（2022·惠来）一个长方形的周长是24厘米，它的长和宽都是质数，那么这个长方形的面积是11平方厘米。（）7．（1分）（2022六下·丹江口期末）在五个连续的自然数中，必有一个是5的倍数。（）8．（1分）（2022·慈溪）12的所有因数中，合数占50%。（）9．（1分）（2022六下·期末）所有大于2的质数一定是奇数。（）10．（1分）（2020·沈阳）用小于10的三个不同质数组成的同时是2和3的倍数的最大三位数是972。（）三、仔细想，认真填（共8题；每空1分，共19分）11．（3分）（2022·竞秀）的分数单位是，当x＝时，它是最大的真分数；当x＝时，它能化成最小的质数。12．（2分）（2022·黄山）一个一位小数，万位和十位上都是最小的质数，十分位上是最小的合数，其他数位都是0。这个数写作，省略万位后面的尾数约是万。13．（2分）（2022·海安）一根红彩带长72厘米，一根绿彩带长54厘米，把它们剪成同样长的短彩带且没有剩余每根短彩带最长是厘米，最少共能剪成根短彩带。14．（3分）（2022·北辰）24的因数有个，这些因数中既是奇数又是质数的是，既是偶数又是质数的是。15．（1分）（2021·长春）如果你写出12的所有约数，除1和12外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍，现有一个整数n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n为．（写出所有可能的答案）16．（2分）（2021六下·义乌期中）有3根竹竿，长度分别是18dm，30dm，36dm，要把它们截成同样长的几段且没有剩余，每段最长是dm，一共可以截成段。17．（4分）（2020·巴中）爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数，爷爷今年的年龄是岁或岁，孙子今年的年龄是岁或岁。18．（2分）（2020·武昌）在等式a=3×5×m，b=3×7×m中，m是大于0的自然数，如果a和b的最大公因数是6，那么m是，a和b的最小公倍数是。四、计算能手（共1题，共12分）19．（12分）（2019·上杭）求下面每组数的最大公因数.（1）（3分）36和10（2）（3分）13和23（3分）84和56（4）（3分）25和75五、综合提升（共2题；共11分）20．（5分）（2022六下·商丘期末）（1）（1分）上面数字卡片上的数中，是质数，是合数；是2的倍数，同时能被3和5整除。（2）（1分）把这几张数字卡片反扣在桌子上，从中任意摸出1张，摸到数的可能性大。（填“奇”或“偶”）21．（6分）（2016·同心模拟）短除式解答（1）（3分）用短除式把140分解质因数．（2）（3分）用短除式求56和42的最大公约数和最小公倍数．六、解答题（共8题；共43分）22．（5分）（2022·璧山）阳光小区便民店运来30箱矿泉水，比运来饮料箱数的4倍多2箱，便民店运来饮料多少箱？23．（5分）（2022六下·上思月考）学校买4张办公桌和9把椅子一共用去4620元，已知一张桌子的价格是一把椅子的3倍，一张桌子和一把椅子的单价分别是多少元？24．（5分）（2022六下·成武期中）男生有48人，女生有36人，男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别有多少排？25．（5分）庆“六一”，学校买来189枝红花、168枝粉花、147枝黄花，用这些花最多可以扎成多少束同样的花束？在每束花束中红花、粉花、黄花各有几枝？26．（5分）在幸福小区东口到西口的小路上，原来每隔45米安装一盏路灯，加上两端的两盏路灯共21盏。现在改成每隔60米安装一盏路灯，除起始端的一盏不必移动外，还有多少盏不必移动？27．（6分）甲、乙、丙三堆石子共196块.先从甲堆分给另外两堆，使得后两堆石子数增加一倍；再把乙堆照样分配一次；最后把丙堆也照样分配一次.结果丙堆石子数为甲堆的.那么原来三堆石子中，最少的一堆石子数为多少?28．（6分）一块正方形布料，既可以做成边长是18cm的小正方形手帕，又可以做成边长是30cm的手帕，都没有剩余。这块正方形布料的边长至少是多少厘米。29．（6分）在一次烟花节上，每18秒可以看到一次星星图案的礼花，每12秒可以看到一次花朵图案的礼花。在同时看到这两种礼花后，至少过多少秒才可以又一次同时看到这两种礼花。

小升初数学精讲精练专题汇编（提高卷）第3讲因数和倍数一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）1．（2分）（2022·竞秀）要使四位数“215□”既是2的倍数，又是3的倍数，方框里应填（）。A．1 B．2 C．4【答案】C【规范解答】解：2+1+5=8，8+4=12，所以方框里可以填4。

故答案为：C。

【思路点拨】既是2的倍数，又是3的倍数的数的数的个位数字一定是偶数，且各个数位上数字之和是3的倍数。2．（2分）（2022·西城）一个质数和一个合数的最大公因数一定是1。要想说明上面这句话是错误的，可以用下面（）作为例子进行反驳。A．3和4 B．6和8 C．2和10 D．5和7【答案】C【规范解答】解：选项A，3和4的最大公因数是1；

选项B，6和8都是合数；

选项C，2和10的最大公因数是2，符合题意；

选项D，5和7都是质数。

故答案为：C。

【思路点拨】质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。

本题根据题意先判断各个选项中的两个数是否是一个是质数、一个是合数，再找出两个数的最大公因数，即可得出答案。3．（2分）（2022·红塔）把再加上（）个就是最小的质数。A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【规范解答】解：2=，所以把再加上5个就是最小的质数。

故答案为：B。【思路点拨】把最小的质数2化成分母是9的分数，然后确定再加上分数单位的个数。4．（2分）（2021·苏州）m和n是非零自然数，m÷n＝1……1，那么m和n的最小公倍数是（）A．1 B．mn C．m D．n【答案】B【规范解答】解：m和n的最小公倍数是mn。

故答案为：B。【思路点拨】m÷n＝1……1，那么m和n是相邻数，而相邻数互质，所以最小公倍数是它们的乘积。5．（2分）（2020·牡丹江）今年小方父亲的年龄是小方的3倍，去年小方的父亲比小方大26岁，那么小方明年多大？（）A．16 B．13 C．15 D．14【答案】D【规范解答】设小方今年x岁，则小方父亲今年3x岁，根据题意可得：

（3x-1）-（x-1）=26

3x-1-x+1=26

2x=26

x=13

x+1=13+1=14

所以，小方明年14岁。

故答案为：D。

【思路点拨】根据题干可设今年小方的年龄是x岁，则今年小方父亲的年龄是3x岁，结合“小方父亲去年的年龄-小方去年的年龄=26”可得方程：3x-1-（x-1）=26，解这个方程即可知道小方今年的年龄，即而可得小方明年的年龄。二、判断正误（共5题；每题1分，共5分）6．（1分）（2022·惠来）一个长方形的周长是24厘米，它的长和宽都是质数，那么这个长方形的面积是11平方厘米。（）【答案】（1）错误【规范解答】解：（7＋5）×2

=12×2

=24（厘米）

7×5=35（平方厘米）。

故答案为：错误。【思路点拨】长方形的周长=（长＋宽）×2，依据100以内的质数表可知，长方形的长是7厘米，宽是5厘米，面积=长×宽。7．（1分）（2022六下·丹江口期末）在五个连续的自然数中，必有一个是5的倍数。（）【答案】（1）正确【规范解答】五个连续的自然数，如1、2、3、4、5或16、17、18、19、20或22、23、24、25、26等等，其中一定有一个数的个位是0或5；所以，在五个连续的自然数中，必有一个是5的倍数，这句话的说法是正确的。

故答案为：正确。【思路点拨】5的倍数，即能被5整除的数是个位是0或是5的数字。

假设这五个连续的自然数中，前四个都不整除5，则必定除以5余数分别为1、2、3、4，可写成5n+1、5n+2、5n+3、5n+4，第5个自然数为5n+5=5(n+1)，是5的倍数。8．（1分）（2022·慈溪）12的所有因数中，合数占50%。（）【答案】（1）正确【规范解答】解：12的因数有：1、2、3、4、6、12，其中是合数有3个，3÷6=50%，所以合数占50%。

故答案为：正确。【思路点拨】合数是指这个数除了1和它本身外还有其他因数的数，据此作答即可。9．（1分）（2022六下·期末）所有大于2的质数一定是奇数。（）【答案】（1）正确【规范解答】自然数中，大于1的自然数不是奇数就是偶数，而大于1的偶数都有一个因数2。那么，大于2的偶数必然有至少三个因数（1，2和这个数本身），必然不会是质数。由此除2之外所有的质数都为奇数，故这句话是正确的。

故答案为：正确。【思路点拨】在自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数；在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数。由此可知，最小的质数为2，除2之外所有的质数都为奇数。10．（1分）（2020·沈阳）用小于10的三个不同质数组成的同时是2和3的倍数的最大三位数是972。（）【答案】（1）错误【规范解答】用小于10的三个不同质数组成的同时是2和3的倍数的最大三位数是732。原说法错误。

故答案为：错误。

【思路点拨】10以内质数有2、3、5、7。百位是7，十位是2，个位是2时，符合题意。三、仔细想，认真填（共8题；每空1分，共19分）11．（3分）（2022·竞秀）的分数单位是，当x＝时，它是最大的真分数；当x＝时，它能化成最小的质数。【答案】；8；18【规范解答】解：的分数单位是；当x=8时，它是最大的真分数；当x=18时，它能化成最小的质数。

故答案为：；8；18。

【思路点拨】根据分母确定分数单位；真分数的分子小于分母，最大真分数的分子比分母小1；最小的质数是2，分子是分母的2倍时就能化成最小的质数。12．（2分）（2022·黄山）一个一位小数，万位和十位上都是最小的质数，十分位上是最小的合数，其他数位都是0。这个数写作，省略万位后面的尾数约是万。【答案】20020.4；2【规范解答】解：这个数写作：20020.4；省略万位后面的尾数约是2万。

故答案为：20020.4；2。

【思路点拨】最小的质数是2，最小的合数是4；把一个数改写成以万作单位的数，如果是非整万数，先分级，找到千位，再把千位上的数四舍五入，省略万位后面的数，再在后面加上一个万字。13．（2分）（2022·海安）一根红彩带长72厘米，一根绿彩带长54厘米，把它们剪成同样长的短彩带且没有剩余每根短彩带最长是厘米，最少共能剪成根短彩带。【答案】18；7【规范解答】解：72和54的最大公因数是2×3×3=18；

72÷18＋54÷18

=4＋3

=7（根）。

故答案为：18；7。

【思路点拨】每根短彩带最长的长度=72和54的最大公因数，用短除法求出；最少共能剪成的根数=（红彩带的长÷72和54的最大公因数＋绿彩带的长÷72和54的最大公因数）。14．（3分）（2022·北辰）24的因数有个，这些因数中既是奇数又是质数的是，既是偶数又是质数的是。【答案】8；3，2；2【规范解答】解：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个，这些因数中既是奇数又是质数的是2、3，既是偶数又是质数的是2。

故答案为：8；2、3；2。【思路点拨】一个数最小的因数是1，从最小的因数开始一对一对找出24的所有因数。质数是只有1和本身两个因数的数，2是所有质数中唯一的偶数。15．（1分）（2021·长春）如果你写出12的所有约数，除1和12外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍，现有一个整数n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n为．（写出所有可能的答案）【答案】60或135【规范解答】解：因为其中一个约数是另一个约数的15倍，结合15=3×5，那么这个数必然含有约数3和5，那么最小的约数除1外就不能是5，所以就只有2和3，那么n就是2×15×2=60，或者3×15×3=135。

故答案为：60或135。

【思路点拨】因为其中一个约数是另一个约数的15倍，结合15=3×5，那么这个数必然含有约数3和5，那么最小的约数除1外就不能是5，所以就只有2和3；然后确定n的所有可能即可。16．（2分）（2021六下·义乌期中）有3根竹竿，长度分别是18dm，30dm，36dm，要把它们截成同样长的几段且没有剩余，每段最长是dm，一共可以截成段。【答案】6；14【规范解答】解：18、30和36的最大公因数是：2×3=6

18÷6=3（段）

30÷6=5（段）

36÷6=6（段）

3＋5＋6

=8＋6

=14（段）

故答案为：6；14。

【思路点拨】用短除法求出18、30和36的最大公因数，就是每段最长的长度；一共可以截成的段数=三根竹竿的长度分别除以平均每段最长的长度的和。17．（4分）（2020·巴中）爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数，爷爷今年的年龄是岁或岁，孙子今年的年龄是岁或岁。【答案】77；63；9；11【规范解答】解：693=3×3×7×11，根据爷爷和孙子的年龄，693=9×77=7×99=11×63。（1）9-4=5，77-4=73，5和73都是质数；（2）7-4=3，99-4=95，95是合数；（3）11-4=7，63-4=59，7和59都是质数。综上，爷爷今年的年龄是77岁或63岁，孙子今年的年龄是9岁或11岁。

故答案为：77；63；9；11。

【思路点拨】先将爷孙两人今年的年龄的乘积分解质因数，然后根据爷爷和孙子的年龄的实际情况，将年龄的乘积写成两个数的和，然后将两人的年龄分别减去4，只要差是质数即可。18．（2分）（2020·武昌）在等式a=3×5×m，b=3×7×m中，m是大于0的自然数，如果a和b的最大公因数是6，那么m是，a和b的最小公倍数是。【答案】2；210【规范解答】解：3m=6，则m=2；

最小公倍数是：3×5×2×7=210。

故答案为：2；210。【思路点拨】两个数公有的质因数是3和m，最大公因数是6，说明3和m的乘积是6，这样就能确定m的值。两个数的最小公倍数是两个数公有的质因数和独有的质因数的乘积。四、计算能手（共1题，共12分）19．（12分）（2019·上杭）求下面每组数的最大公因数.（1）（3分）36和10（2）（3分）13和23（3）（3分）84和56（4）（3分）25和75【答案】（1）解：36=2×2×3×3，

10=2×5，

36和10的最大公因数是2。（2）解：13和23是互质数，13和23的最大公因数是1。（3）解：84=2×2×3×7，

56=2×2×2×7，

84和56的最大公因数是2×2×7=28。（4）解：75÷25=3，25和75的最大公因数是25。【思路点拨】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，先把每个数分别分解质因数，再把两个数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数；互质的两个数，最大公因数是1；

存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数，据此解答。五、综合提升（共2题；共11分）20．（5分）（2022六下·商丘期末）（1）（1分）上面数字卡片上的数中，是质数，是合数；是2的倍数，同时能被3和5整除。（2）（1分）把这几张数字卡片反扣在桌子上，从中任意摸出1张，摸到数的可能性大。（填“奇”或“偶”）【答案】（1）17、31；25、60、24、9；60、24；60（2）奇【规范解答】解：（1）上面数字卡片上的数中，17、31是质数，25、60、24、9是合数；60、24是2的倍数，60同时能被3和5整除；

（2）把这几张数字卡片反扣在桌子上，从中任意摸出1张，摸到奇数的可能性大。

故答案为：（1）17、31；25、60、24、9；60、24；60；（2）奇。【思路点拨】（1）质数是指只有1和它本身两个因数的数；合数是指除了1和它本身两个因数外还有其他因数的数；末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数；同时能被3和5整除的数的数字特征：这个数的末尾数字是0，而且各个数位上的数字之和是3的倍数；

（2）这些卡片中，哪种数字多，摸到这种数字的可能性就越大。21．（6分）（2016·同心模拟）短除式解答（1）（3分）用短除式把140分解质因数．（2）（3分）用短除式求56和42的最大公约数和最小公倍数．【答案】（1）解：140=2×2×5×7（2）解：所以56和42的最大公约数是2×7=14最小公倍数2×7×4×3=168．【思路点拨】（1）把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数．据此解答；（2）先把56和42分解质因数，再根据求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．六、解答题（共8题；共43分）22．（5分）（2022·璧山）阳光小区便民店运来30箱矿泉水，比运来饮料箱数的4倍多2箱，便民店运来饮料多少箱？【答案】解：（30-2）÷4＝28÷4＝7（箱）答：便民店运来饮料7箱。【思路点拨】便民店运来饮料的箱数=（便民店运来矿泉水的箱数-多出的2箱）÷运来矿泉水的箱数是运来饮料箱数的倍数，据此代入数值作答即可。23．（5分）（2022六下·上思月考）学校买4张办公桌和9把椅子一共用去4620元，已知一张桌子的价格是一把椅子的3倍，一张桌子和一把椅子的单价分别是多少元？【答案】解：4×3=12（把）

9+12=21（把）

4620÷21=220（元）

220×3=660（元）

答：一张桌子的单价是660元，一把椅子的单价是220元。【思路点拨】一张桌子的价格是一把椅子的3倍，那么4张桌子相当于4×3=12把椅子，即一共是9+12=21把椅子，故一把椅子的单价=一共用去的钱数÷一共买椅子的把数，所以一张桌子的单价=一把椅子的单价×一张桌子的价格是一把椅子的倍数。24．（5分）（2022六下·成武期中）男生有48人，女生有36人，男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别有多少排？【答案】解：48=2×2×2×2×3；36=2×2×3×3；

48和36的最大公因数是2×2×3=12；

48÷12=4（排），36÷12=3（排），

答：每排最多有12人，这时男生4排，女生3排。【思路点拨】48和36的最大公因数是每排最多的人数；男生人数÷每排最多的人数=男生排数，女生人数÷每排最多的人数=女生排数。25．（5分）庆“六一”，学校买来189枝红花、168枝粉花、147枝黄花，用这些花最多可以扎成多少束同样的花束？在每束花束中红花、粉花、黄花各有几枝？【答案】解：7×3=21（束）

189÷21=9（枝）

168÷21=8（枝）

147÷21=7（枝）

答：最多可扎成21束，每束花中有红花9枝、粉花8枝、黄花7枝。【规范解答】扎成的花束都相同，则每束花中的红花枝数都相同，那么189就能被扎成的花束数整除，即花束数是红花枝数的因数；同理，花束数也是168的因数，又要求花束最多，则花束数就是189，168的最大公因数，同理，花束数也是147的因数，则花束数是189，168，147的最大公因数，商也就是每束花中红、粉、黄三种花的枝数。

【思路点拨】189、168、147，用短除法，式子左边的数的积就是最大公因数；最大公因数就是最多可以扎成的花束数；下面的数就是每束花里面分别有红花、粉花、黄花的枝数。26．（5分）在幸福小区东口到西口的小路上，原来每隔45米安装一盏路灯，加上两端的两盏路灯共21盏。现在改成每隔60米安装一盏路灯，除起始端的一盏不必移动外，还有多少盏不必移动？【答案】解：

45和60的最小公倍数是：3×5×3×4

=15×3×4

=45×4

=180

45×（21-1）÷180

=45×20÷180

=900÷180

=5（盏）

答：还有5盏不必移动。【思路点拨】还有不必移动的路灯的盏数=小路的长÷45和60的最小公倍数；其中，小路的长=原来的间距×（盏数-1），45和60的最小公倍数用短除法求出。27．（6分）甲、乙、丙三堆石子共196块.先从甲堆分给另外两堆，