八年级数学几何重难点知识及数学方法：专题12 全等三角形几何模型（原卷版）

专题12全等三角形几何模型典例解析【知识点1：角平分线模型】例题1．（2021·四川省荣县）在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路，如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定(SAS)，容易构造出全等三角形OBC和OAC，参考上面的方法，解答下列问题，如图2，在非等边ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，且AD、CE交于点F．（1）求∠AFC的度数；（2）求证：AC=AE+CD．例题2．（2021·安徽蚌埠期中）我国古代数学家刘微将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图，在△ABC中，∠C＝90°，四边形CDEF为正方形，△ADE≌△AGE，△BGE≌△BFE．（1）求∠AEB的度数；（2）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求正方形CDEF的边长．（用含a，b，c的式子表示）【知识点2：等腰手拉手模型】例题3．（2021·湖北仙桃市）如图1，CA＝CB，CD＝CE，，AD、BE交于点H，连CH．（1）∠AHE＝______________．（用表示）（2）如图2，连接CH，求证：CH平分∠AHE；（3）如图3，若，P，Q分别是AD，BE的中点，连接CP，PQ，CQ．请判断三角形PQC的形状，并证明．例题4．（2021·广东南沙期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．（1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明．（2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．【知识点3：等边手拉手模型】例题5．（2021·河北滦州期中）已知：如图①，点D是等边中BC边上一点，以AD为一边作等边，连接CE．图1图2（1）求证：．（2）直接写出图①中的度数______．（3）如图②，，，．若，试着探究和之间的关系．（简要说明理由）例题6．（2021·湖北十堰期中）在△ABC中，图1图2（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB＝50，BC＝60.请补全图形，并直接写出△ABP与△BPC面积的比值；（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和ACE，CD与BE相交于点O，求证：BE＝CD；（3）在（2）的条件下判断∠AOD与∠AOE的数量关系．（不需证明）【知识点4：半角模型】例题7．（2021·广东南沙期末）如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号）①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．例题8．（2021·湖北监利市期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．（1）如图1所示，当EF＝BE+CF，求证∠EAF＝∠BAC；（2）如图2所示，∠EAF＝∠BAC，求证：CF＝BF+2BE．

【知识点5：一线三等角模型】例题9．（2021·湖北咸丰期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A（0，6），点B的坐标为B（8，0），点P从点A出发，沿折线A→O→B以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；点Q从B点出发，沿折线B→O→A以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也停止运动．直线l经过原点O，分别过P，Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于点F，设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P，Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，用含t的式子表示Q点的坐标；（3）在整个运动过程中，以O，P，E为顶点的三角形与以O，Q，F为顶点的三角形能否全等？若能全等，请求出Q点的坐标，若不能全等，请说明理由．

【知识点6：对角互补模型】例题10．（2021·山东德州期中）已知∠MAN，AC平分∠MAN，D为AM上一点，B为AN上一点．（1）如图①所示，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；（2）如图②所示，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【知识点7：中点模型】例题11．（2021·安徽蚌埠期中）如图1，AM为△ABC的BC边的中线，点P为AM上一点，连接PB．（1）若P为线段AM的中点．①设△ABP的面积为S1，△ABC的面积为S，求的值；②已知AB＝5，AC＝3，设AP＝x，求x的取值范围．（2）如图2，若AC＝BP，求证：∠BPM＝∠CAM．

例题12．（2021·四川