悬索桥悬索桥恒载几何形状及内力的分析

悬索桥悬索桥恒载几何形状及内力的分析

采用悬索桥结构评价方法，计算悬索桥结构的抗疲劳动，车辆活载图的计算和施工过程的倒架分析，必须提前确定整体固定结构的几何形状和浮力。传统方法假设恒载在水平方向均匀分布且全由主缆承担,于是主缆线形为抛物线、加劲梁不承受弯矩。一方面由于在靠近塔柱处吊索的长度增大和主缆的倾斜度较大,恒载在水平方向并非均布,主缆实际线形既非抛物线又非悬链线;另一方面由于桥面铺装是在整个加劲梁段连成整体以后施工的,加劲梁承受着桥面铺装引起的竖向正弯矩,因此这个方法(简称抛物线法)不够精确。对此国内外已有学者提出方法考虑主缆的实际线形,但是都没有考虑加劲梁参与承担桥面铺装荷载这个因素。笔者基于施工过程,用几何非线性有限元方法通过多次迭代得到成桥状态结构的真实几何形状及内力。在悬索桥的施工过程中,加劲梁跟随着主缆发生较大位移(对跨度为1385m的单跨悬索桥,从空缆状态到成桥状态,主缆跨中点竖向位移多达10m),但结构的材料仍处在弹性工作范围,位移的绝大部分是刚体位移,因此,基于施工过程的迭代计算必须计入几何非线性的影响。1在几何非线性分析中，索引单元和梁单元1.1柔性迭代XY平面内的悬链线索段IJ,如图1所示,其无应力长度Lu、单位长度重量W、截面积A、弹性模量E、索端位置为已知,索端力TI、TJ在坐标轴方向上的分量分别为F1、F2和F3、F4,索段在坐标轴上的投影长度为H和V,有下列关系式Η=-F1(LuEA+1WlgF4+ΤJΤΙ-F2)(1)V=12EAW(Τ2J-Τ2Ι)+ΤJ-ΤΙW(2)L=Lu+12EAW(F4ΤJ+F2ΤΙ+F21lgF4+ΤJΤΙ-ΤJ)(3)F4=-F2+WLu(4)F3=-F1(5)ΤΙ=√(F21+F22)(6)ΤJ=√(F23+F24)(7)H=−F1(LuEA+1WlgF4+TJTI−F2)(1)V=12EAW(T2J−T2I)+TJ−TIW(2)L=Lu+12EAW(F4TJ+F2TI+F21lgF4+TJTI−TJ)(3)F4=−F2+WLu(4)F3=−F1(5)TI=(F21+F22)−−−−−−−−√(6)TJ=(F23+F24)−−−−−−−−√(7)选择F1、F2为独立变量,因式(1)、(2)为超越方程,故已知H、V无法直接求得F1、F2,但可通过柔性迭代求得。令α为H、V的微小变化量(如10-4),通过柔性迭代可分别求得对应H、V的索端力F3、F4;对应H(1+α)、V的索端力F′3、F′4;对应H、V(1+α)的索端力F″3、F″4,再令a1=F′3-F3αΗ,a2=F′4-F4αΗ,a3=F″3-F3αV‚a4=F″4-F4αVa1=F′3−F3αH,a2=F′4−F4αH,a3=F′′3−F3αV‚a4=F′′4−F4αV,于是有索端力与索端位移的增量关系{δFΙxδFΙyδFΙzδFJxδFJyδFJz}=[a1a30-a1-a30a2a40-a2-a40000000-a1-a30a1a30-a2-a40a2a40000000]{δuΙδvΙδwΙδuJδvJδwJ}(8)1.2梁端总转动变形首先对要用到的三个坐标系作如下假设:结构坐标系为Xi,i=1,2,3,节点坐标、节点位移和转角增量、结构平衡方程均建立在这个坐标系上。单元的随转坐标系(Co-rotatingcoordinatesystem)为Xej,j=1,2,坐标原点设在端点1,Xe1轴为通过端点1、2的直线,Xe2轴可通过逆时针转动Xe1轴90°得到,这个坐标系跟随着单元平动和转动。单元端横截面坐标系为Xsij,i=1,2,j=1,2,坐标原点在端横截面的形心上,截面的法线为Xs1j轴,竖向主轴方向为Xs2j轴。单元没有变形时,Xsij与Xej的方向相同。梁端的总转动变形βj就是由Xsij相对于Xej的转动量而求得的,如图2所示。设用增量迭代方法求解非线性平衡方程,t时刻的tXej、tXsij,i=1,2,j=1,2,节点的坐标矢量tXj,t至t+Δt时段内节点的位移和转角增量的矢量ΔUj、Δθj为已知。下面介绍如何求解t+Δt时刻的t+ΔtXej、t+ΔtXsij,i=1,2,j=1,2,及梁端的总转动变形βj。先给出转动公式,对如图3所示的矢量R及转动轴方向的单位矢量n,发生绕n转动Φ角后的矢量Q可由下式得到Q=RcosΦ+(n×R)sinΦ(9)t+Δt时刻单元两端点坐标可由式(10)确定,于是t+ΔtXe1可通过节点1和2的直线来决定,随之t+ΔtXe2也已决定。t+ΔtXj=tXj+ΔUj(j=1,2)(10)作用转动矢量Δθj到tXsij上,利用式(9)即可得到t+Δt时刻单元端横截面坐标t+ΔtXsij,i=1,2,j=1,2,至此,t+ΔtXej、t+ΔtXsij,i=1,2,j=1,2都已完全确定。转动t+ΔtXe1到t+ΔtXs1j的角度βj,j=1,2,即为t+Δt时刻单元的梁端总转动变形,可由式(11)得到,式中t+Δtee1、t+Δtes1j分别为t+ΔtXe1、t+ΔtXs1j对应的单位矢量。βj=cos-1(t+Δtee1⋅t+Δtes1j)(j=1,2)(11)单元随转动坐标系中的梁端力矢量f为f=(ke+kg)u(12)式中:f={f11,f21,m31,f12,f22,m32};u={0,0,β1,ΔL,0,β2};ΔL为单元总的弧长变化量;ke、kg分别为单元的弹性、几何刚度矩阵。2计算固载结构的几何形状和内容分布的计算2.1迭代模拟的建立悬索桥恒载结构的几何形状及内力可通过假设—计算—比较—修改假设的迭代方法得到。迭代的目标就是成桥状态结构的几何形状满足:鞍座及主缆跨中点处于设计位置、吊索竖直、加劲梁各点坐标符合设计要求。把悬索桥的整个施工过程分为两个阶段,用几何非线性有限元方法进行模拟。主缆和吊索分别用悬链线单元和杆单元模拟,加劲梁及塔柱用CR列式梁单元模拟(模拟方法后有叙述)。第一阶段计算中,选取仅由主塔、鞍座及主缆组成的在自重作用下已处于平衡的塔缆结构(即空缆状态结构)为计算模型,加劲梁、吊索及索夹的重量简化为集中力(P1,P2,…,Pn-1,Pn)作用在主缆上,作用点为各个索夹位置,如图4所示。第二阶段计算中,基于第一阶段计算的结果,在计算模型中加上吊索和加劲梁,桥面铺装荷载作用在加劲梁上。为了保证成桥状态鞍座及主缆跨中点处于设计位置,空缆状态时,鞍座相对于塔顶必须有一向岸的预偏量(图4中的dsl和dsr),主缆跨中点位置必须有一预先抬高量。塔缆结构的节点坐标及单元无应力长度的迭代初值可通过假设得到。第二阶段计算结果中结构的几何形状与迭代目标不符时,修改假设,重复上面的计算,迭代收剑后就得到了恒载结构的真实几何形状及内力。迭代计算的流程如图5所示。据此笔者编制了计算程序DL12,其输入数据由基本数据和迭代目标数据组成,修改非常方便。基本数据为:构件的材料、几何特性、鞍座半径及圆心坐标;迭代目标数据为:设计要求的成桥状态时塔顶坐标、主缆跨中点坐标、吊索布置及桥面线形。2.2主缆鞍座有限元离散在大多数情况下,主缆从左锚碇开始,经过左散索鞍座、左主塔鞍座、右主塔鞍座、右散索鞍座,到右锚碇结束。计算中可根据主缆与鞍座的切点、索夹位置把主缆分成多段,分别用悬链线单元模拟。主塔鞍座的有限元离散如图6所示。杆单元1～5组成鞍体,节点1、2为主缆与鞍座的相切点,刚体单元⑥、⑦为塔顶。鞍座在塔顶沿水平方向可自由移动。切点位置可通过鞍座圆弧、主缆曲线在该点处斜率相等的关系求得。3恒载作用下的吊索结构以某主跨为1385m的悬索桥为例,结构的主要数据如表1所示,表中主缆及吊索是两索面合并后的值。设计要求的成桥状态结构几何形状控制数据(桥面线形、吊索间距、塔顶坐标、主缆跨中点坐标等)这里不列出。结构图式及比较点的位置如图7所示。恒载作用下主缆的线形比较,如表2所示,抛物线法引起离主塔1/4跨附近的主缆各点标高偏大,相应的吊索长度也偏大,最大值多达40cm。按照日本本四公司的标准(中国尚未有相应的标准),对60～120m长的吊索,制造允许的长度误差仅为5.0mm。相对这样高的制造要求,设计时提高恒载结构几何形状的计算精度就显得十分必要。恒载作用下的吊索内力及车辆活载引起的吊索内力包络值,如图8所示,除靠近塔柱附近的3根吊索内力较小外,其余吊索内力都比较均匀。恒载作用下的加劲梁弯矩及车辆活载引