结构方程模型笔记

在SEM中，根据参数估计需要与否，分为自由参数(reeparameter)、固定参数(fixedparameter)和限定参数(constrainedparameter)。在SEM模型中，需要估计的自由参数越少，模型越简效(parsimony,简单而有效率)，自由度越大。不被估计的参数将被设定为0,称为固定参数。因某些原因被设定为常数(通常为1)而不被估计的参数，也被称为固定参数。限定参数多与多样本间的比较有关，如某一个参数在甲、乙样本间被设定为等值，此时SEM对此参数仅进行一次估计，是为限定参数。从概念上看，限定参数介于自由参数和固定参数之间，可以视为半自由参数。但由于限定参数的数据仍然是由估计得出，因此限定参数和自由参数被视为模型中必须进行估计的参数。拟合函数的自由度=测量数据点数(DP)—自由参数数(k)1=2(p+q)(p+q+i)—k测量数据点数(thenumbersofdatapoints-DP)与样本测量变量共变矩阵当中的协方差与方差数目有关，DP=(p+q)(p+q+D=2其中，p+q表示测量变量的个数，p为外源测量变量数目，q为内生测量变量数目。则p+q个测量变量可以产生(p+q)(p+q+1)/2个方差或协方差。如果理论模型建立，可以得到(p+q)(p+q+1)/2个不同的方程。t法则记t为模型中自由估计参数的数目，则模型可识别的一个必要条件是：tW(p+q)(p+q+1)/2=DP1、当t<DP,为过度识别，方程式过多，只需要求取少数几个因素解；2、当t=DP,为充分识别，方程式正好满足求因素解所需；3、当t>DP,为识别不足，方程式不足以求取所有因素解。在SEM分析中，识别不足将导致无法进行任何参数估计。在充分识别的情况下，参数估计可以导出一组完全等值于样本观察协方差矩阵的估计协方差矩阵，称为饱和模型。此时，估计模型与实际模型的共变结构完全等值，卡方统计量为0,实现完美拟合。SEM中的共变推导SEM对于参数的估计，主要与方差及共变结构的导出过程有关。Hays(1994)指出四种与方差(协方差)计算有关的定理，定理一：某一个变量与自己的共变即为该变量的方差，亦即Cov(X,X)=Var(X)定理二：经过线性整合后的变量的协方差为Cov(aX+bY,cZ+dU)=acCov(X,Z)+adCov(X,U)+bcCov(Y,Z)+bdCov(Y,U)定理三：经过线性整合后的变量的方差为Var(aX+bY)=Cov(aX+bY,aX+bY)=a2Cov(X,X)+b2Cov(Y,Y)+2abCov(X,Y)定理四：独立的两个变量的线性整合后的方差为Var(aX+bY)=a2Cov(X,X)+b2Cov(Y,Y)方差与协方差导出矩阵由定理二，计算两个观察变量的协方差Cov(V],V2)=Cov(A1F1+E1,A2F1+E2)=人i人2Cov(F1,F1)+A1Cov(F1,E2)+A2Cov(E1,F1)+Cov(E1,E2)=人i人2Cov(F],F])=人/2VaT(Fl,F1)Ji人2要得到上式的结果，必须符合三个条件：第一，两个误差项的共变为0；第二，误差项与潜在变量的共变为0；第三，潜在变量行的方差为1。也就是说，符合上述条件时，受到同一个潜在变量影响的两个观察变量，其协方差等于潜在变量所属的两个观察变量的因素载荷的乘积。对于两个不同潜在变量的观察变量，其协方差计算式为

Cov(V],V4)=CovS1F1+E1,A4F2+E4)=人/4Cov(F1,F2)+A1Cov(F1,E4)+A4Cov(E1,F2)+Cov(E1,E4)=人i人4Cov(F],F2)=人i人2021Var(V1)=Cov(A厲+E』厲+色)=普Cov(F1,F1)+^1Cov(F1,E1)+^1Cov(E1,F1)+Cov(E1,E1)=久2Var(Fl)+Var(El)1=久2+011即观察变量的方差等于个观察变量的因素载荷的平方加上误差项的方差。逐一算出六个观察变量的方差与配对协方差，进而产生一个由参数导出的方差与协方差矩阵久IAj久IAj盂+4乂1久斗血1兄2為血1几缶必1兄2久5竝12舄亦|人比屣11霜+&4盂+忆久4心2,入对于2矩阵中的每一个元素，都有一个对应的实际观测值。也就是说，由样本测量得到的6个观察变量，它们的方差与协方差也可以用一个6X6的矩阵来表示，称为S矩阵。一般加权最小平方估计在结构方程模型的分析中，通过使估计协方差矩阵与观察协方差矩阵的差异极小化来实现参数估计。估计协方差矩阵与观察协方差矩阵的差异，用拟合函数F(Q)来表示。F(Q)=其中，r是观察数据向量，也就是从样本观察到的协方差矩阵(S矩阵)向量，/是估计协方差矩阵(力矩阵)向量，两者之差为残差。其中，r为0的函数，0指SEM模型中的各项参数，如回归系数、因素载荷、方差与协方差等。W-i是用于校正参数的校正权数矩阵。应用此拟合函数进行参数估计，统称为加权最小平方法(weightedleast-sauares;WLS)由于使用不同的W-1而产生不同的估计策略，形成ULS法、GLS法、ML法等。一、未加权最小平方法(unweightedleastsquaresULS法)原理是求取残差矩阵S-Z平方和的最小值，各向量元素差异值的计算没有经过加权处理，因此W矩阵中的权数均为1。Fuls=2tr[(S-》(0)冏优点：计算简单、快速缺点：拟合函数极小化处理能力较差。没有考虑到每一个变量的残差因量尺单位(或各变量的标准差不同)造成异质性，因此用ULS法估计大样本的矩阵其残差变异量相当大，而使估计效果变差。ULS法估计所得的标准误基于正态假设,若假设违反，估计结果将不可信赖。二、ULS法改进版广义最小平方法(generalizedleastsquares-GLS法)计算每个差异值时以特定权数加权。目的是校正ULS法中无法处理的残差异质性问题，具体做法是将残差乘以观察协方差的反矩阵S(令W-1为S-1)，也就是每一个残差除以自己的协方差或方差。因此GLS函数又可写成Fgls=2tr{[(S-r(0))]S-1}2=2tr{[(1-S屹(0))]}2大样本但数据不符合多变量正态性也可用。三、最大似然法(maximumlikelihood-ML法)基本假设：观察数据都抽取自总体，且所抽出样本必须是所有样本中被选择几率最大者。若能符合此假设，估计的参数即能反映总体的参数。Fml=log\Z|—loglSI+tr(Sy-1)—p其中,P测量变量数(p+q)三——估计总体协方差矩阵当估计矩阵与观察矩阵完全拟合时，log/\-log\S\=0,而tr(SZ-i)=tr(I)=p+q正态分布下各变量的概率密度计算矩阵式，f(z)=(2n)-(p+q)/2\y\-1/2exp(-—z-1Z-1z)上式中，z为观察值向量，代表来自多变量正态分布总体的随机样本在某一变量的测量。假