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xx0yy0L(x,(x,V定义定义1 (方向导数设fx,y)在点M0x0y0V(v1v2)TR2limf(x0tv1,y0tv2)f(x0,y0f在点M0沿方向V.u(0)limf(MtV)f(MV[例1]fxyxyf在点(1,1)沿方向S(1,1)T的方向导数.[解S(1,1)TVs(1,1 f(11t,11t)f(1,1)(11t)2 (1,1) f(11t,11t)ft (11t)2 tffx,y)x2 (x,y)(0,[f(x,y)x0y0都存在考察fV(coscos)Tf(0,0)limf(tcos,tsin)fsincos2当0当0都存在.但是,f00不连续f(x0,y0)f(x0,y0)f(x0,y0)cosf(x0,y0)cos(可微与方向导数的关系df(x0,y0)a1xa2yA则函数在这点沿任何方向V(coscos的方向导数都存在.0fx,y0)acosacosAVf(x0,y0)[证已知函数fxy)M0x0y0,zf(x0x,y0y)f(x0,y0a1xa2yo(记A(a,a) XT V limf(M0tV)f(M0tlim[AVo(t)][例[例2]zxe2y在点M(1,0)P到点Q(2,1)[解 QPQ(1,1)T 单位xe2y2xe2AV(1,2)(1,1)T 最快？最大增长率等于多少？ V(cos,cos,cos u(M0)GVGcosG,V 当G,V0时 u(M0 定义 (梯度ufx,yz)M0x0,y0z0f在M0点的梯度是一个向量记作：gradf(M0)在直角坐标系下gradf(M)(u(M0),u(M0),u(M0) 梯度也记作 f(M0最大值的方向最大值的方向;zf(x,y)在点(x,y)处的梯度垂直于过点(x,y)的等值线。Lzfxy)与zfxL:zf(x,y z L在xoy平面上的投影曲线为Lzfxy)x,y)L:f(x,y)我们把我们把gradf 称为函数M函数沿负梯度方向的变化率[例1]求函数zx2y2在点M(1,2)处的梯度0 lM0M1的方向导数 z 2x xM(1,2 gradz (2,4z 2y (1,2yM(1,2z gradz lMM(1,3l (1,2) z (2,4)(1,3)T12l(1,2 M(x,y,z)到它的距离为r x2y2z2Vq 求电位梯度 V 1q(1) ( x 4x

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