高三数学三角函数专题最后

专题一三角函数专题【命题趋向】该专题的内容包括三角函数的图象与性质、平面向量、简单的三角恒等变换、解三角形．高考在该部分的选择和填空题，一般有两个试题。一个试题是，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正余弦定理有关的题目，如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能是一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的题目；一个试题是以考查平面向量为主的试题，这个试题的主要命题方向是（1）以平面向量基本定理、共线向量定理为主，（2）以数量积的运算为主；三角函数解答题的主要命题方向有三个：（1）以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量相结合；（2）以三角形中的三角恒等变换为主题，综合考查三角函数的性质等；（3）以实际应用题的形式考查正余弦定理、三角函数知识的实际应用．【考点透析】该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．【例题解析】题型1三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例1若是三角形的最小内角，则函数的最大值是（）A． B． C． D．分析：三角形的最小内角是不大于的，而，换元解决．点评：涉及到与的问题时，通常用换元解决．例2．已知函数．，且．（1）求实数，的值；（2）求函数的最大值及取得最大值时的值．分析：待定系数求，；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．点评：结论是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．题型2三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．例3．为得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决．例4函数在区间内的图象是分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断．点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目．题型3用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．例5已知，则的值是A． B． C． D．分析：所求的，将已知条件分拆整合后解决．点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的数学思想和运算能力．解题的关键是对的分拆与整合．例6若则=A． B． C． D．分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路．点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知，求的值（人教A版必修4第三章复习题B组最后一题第一问）”之类的题目，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力．题型4正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型．例7．在一个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域．点正北海里处有一个雷达观测站．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东(其中，)且与点相距海里的位置．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求的长，在中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点到直线的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决．点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图．本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错．题型5三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点．例8已知向量，（），令，且的周期为．(1)求的值；(2)写出在上的单调递增区间．分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数的解析式求出来，再根据的周期为就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可．点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点．例9已知向量，，．（1）求的值;（2）若，，且，求．题型6三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型．例10．三角形的三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，若，（1）求角的大小；（2）求的取值范围．分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角就不是独立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题．点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响．题型7用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值．例12.已知函数，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．分析：函数的导数在大于等于零恒成立．点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的思想意识．本题如将化为的形式，则与有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决．题型8三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考．例13.设二次函数，已知不论，为何实数，恒有和．（1）求证：；（2）求证：；（3）若函数的最大值为，求，的值．分析：由三角函数的有界性可以得出，再结合有界性探求．点评：本题的关键是，由利用正余弦函数的有界性得出，从而，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用．专题一三角函数专题训练1.【2022重庆】已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（=1\*ROMANI）求和的值；（=2\*ROMANII）若，求的值.附：若的图像与直线相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列．(1)求和的值；(2)ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若是函数图象的一个对称中心，且a=4，求ABC面积的最大值．2.(2022天津理)已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，求的值．3.(2022四川理)已知函数+,.（1）求的最小正周期和最小值;（2）已知求证：.4.(2022广东理)已知函数f(x)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))的值；(2)若cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3))).5.(2022湖南理)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，g(x)＝2sin2eq\f(x,2).(1)若α是第一象限角，且f(α)＝eq\f(3\r(3),5).求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．6.【2022湖北】某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；.（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？7.(2022安徽理)设函数.（=1\*ROMANI）求函数的最小正周期；（=2\*ROMANII）设函数对任意，有，且当时，，求函数在上的解析式.8．(2022安徽理)已知函数f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的单调性．9.(2022广东理)已知函数（其中）的最小正周期为.（1）求的值；（2）设，，，求的值.10.【2022山东卷】已知向量，，设函数，且的图象过点和点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.附：(2022山东理)已知向量，函数的最大值为6．（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域．11.(2022湖北理)已知向量=，=，设函数的图像关于直线对称，其中为常数，且.（1）求函数的最小正周期；（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围.12.(2022四川理)函数在一个周期内的图象如下图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数的值域；（Ⅱ）若，且，求的值.13.(2022四川理)（本小题满分12分）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式；②由推导两角和的正弦公式．（Ⅱ）已知△ABC的面积，·，且，求．14.(2022陕西理)叙述并证明余弦定理．15.(2022山东理)在△中，内角的对边分别为．已知．（1）求的值；（2）若，求△的面积．16.(2022江西理)在中，角的对边分别为.已知，.（1）求证：；（2）若，求的面积.附.【2022浙江】在中，内角所对的边分别为.已知，（=1\*ROMANI）求角的大小；（=2\*ROMANII）若，求的面积.17.(2022重庆理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝eq\f(3\r(2),5)，eq\f(cos(α＋A)cos(α＋B),cosα)＝eq\f(\r(2),5)，求tanα的值．18.(2022江苏理)在中，已知.

（1）求证：；

（2）若，求A的值.19.(2022浙江理)在中，角所对的边分别为，已知且.（1）当时，求的值；(2)若角为锐角，求p的取值范围20.(2022江苏)如下图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？21.(2022陕西理)DBCA北北60°60°45°如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距DBCA北北60°60°45°17．（本题满分12分）若的图像与直线相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列．(1)求和的值；(2)ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若是函数图象的一个对称中心，且a=4，求ABC面积的最大值．试题解析：（1）=……3分由题意，函数的周期为，且最大（或最小）值为，而,所以，……6分18．(本小题满分12分)某高校在2022年自主招生考试成绩中20．(2022重庆理)（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝eq\f(3\r(2),5)，eq\f(cos(α＋A)cos(α＋B),cosα)＝eq\f(\r(2),5)，求tanα的值．解(1)因为a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，由余弦定理有cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\r(2)ab,2ab)＝－eq\f(\r(2),2).又0<C<π，故C＝eq\f(3π,4).(2)由题意得eq\f((sinαsinA－cosαcosA)(sinαsinB－cosαcosB),cosα)＝eq\f(\r(2),5).因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝eq\f(\r(2),5)，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝eq\f(\r(2),5)，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝eq\f(\r(2),5).①因为C＝eq\f(3π,4)，A＋B＝eq\f(π,4)，所以sin(A＋B)＝eq\f(\r(2),2)，因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即eq\f(3\r(2),5)－sinAsinB＝eq\f(\r(2),2)，解得sinAsinB＝eq\f(3\r(2),5)－eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.16．(2022陕西理)（本小题满分12分）已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(1,2)))，b＝(eq\r(3)sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解(1)∵f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinxcosx－eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).∴f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，故当2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)即x＝eq\f(π,3)时，f(x)max＝1；当2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)即x＝0时，f(x)min＝－eq\f(1,2).17．(2022湖南理)（本小题满分12分）已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，g(x)＝2sin2eq\f(x,2).(1)若α是第一象限角，且f(α)＝eq\f(3\r(3),5).求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)sinx，g(x)＝2sin2eq\f(x,2)＝1－cosx.(1)由f(α)＝eq\f(3\r(3),5)，得sinα＝eq\f(3,5)，又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－eq\r(1－sin2α)＝1－eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)f(x)≥g(x)等价于eq\r(3)sinx≥1－cosx，即eq\r(3)sinx＋cosx≥1.于是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≥eq\f(1,2).从而2kπ＋eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．16．(2022安徽理)（本小题满分12分）已知函数f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的单调性．解(1)f(x)＝4coswx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(wx＋\f(π,4)))＝2eq\r(2)sinωx·cosωx＋2eq\r(2)cos2ωx＝eq\r(2)(sin2ωx＋cos2ωx)＋eq\r(2)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋eq\r(2).因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0.从而有eq\f(2π,2ω)＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\r(2).若0≤x≤eq\f(π,2)，则eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4).当eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2).即0≤x≤eq\f(π,8)时，f(x)单调递增；当eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，即eq\f(π,8)≤x≤eq\f(π,2)时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,2)))上单调递减．16．(2022广东理)（本小题满分12分）已知函数f(x)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))的值；(2)若cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3))).解(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)－\f(π,12)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq\r(2)coseq\f(π,4)＝1.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)－\f(π,12)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝cos2θ－sin2θ，又cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴sinθ＝－eq\f(4,5)，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，cos2θ＝2cos2θ－1＝－eq\f(7,25)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝cos2θ－sin2θ＝－eq\f(7,25)＋eq\f(24,25)＝eq\f(17,25).20.(2022江苏)如下图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？6.解：（1）在中，，，，，，，，．答:索道的长为．（2）设乙出发到点，则甲出发到点，，，在中，，，当且仅当时，最小．答：乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短．（3）甲走完长为的山路，共需分钟，设乙总用时为，乙步行的速度为，则，由题，在中，由正弦定理求得，，，，，，，，答：为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制到内．30.【2022高考湖北理第17题】某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；.（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？35.【2022高考山东卷第16题】已知向量，，设函数，且的图象过点和点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.【答案】（I）.（II）函数的单调递增区间为.【解析】试题分析：（1）由题意知.根据的图象过点和，得到，解得.（2）由（1）知：.由题意知：，36.【2022高考陕西第16题】的内角所对的边分别为.（1）若成等差数列，证明：；（2）若成等比数列，求的最小值.时等号成立），即得，所以的最小值为42.【2022高考浙江理第18题】在中，内角所对的边分别为.已知，（=1\*ROMANI）求角的大小；（=2\*ROMANII）若，求的面积.（=2\*ROMANII）由，，得，由，得，从而，故43.【2022高考重庆理科第17题】已知函数43.【2022高考重庆理科第17题】已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（=1\*ROMANI）求和的值；（=2\*ROMANII）若，求的值.试题解析：解：（=1\*ROMANI）因的图象上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，从而.专题一三角函数专题【命题趋向】该专题的内容包括三角函数的图象与性质、平面向量、简单的三角恒等变换、解三角形．高考在该部分的选择和填空题，一般有两个试题。一个试题是，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正余弦定理有关的题目，如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能是一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的题目；一个试题是以考查平面向量为主的试题，这个试题的主要命题方向是（1）以平面向量基本定理、共线向量定理为主，（2）以数量积的运算为主；三角函数解答题的主要命题方向有三个：（1）以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量相结合；（2）以三角形中的三角恒等变换为主题，综合考查三角函数的性质等；（3）以实际应用题的形式考查正余弦定理、三角函数知识的实际应用．【考点透析】该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．【例题解析】题型1三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例1若是三角形的最小内角，则函数的最大值是（）A． B． C． D．分析：三角形的最小内角是不大于的，而，换元解决．解析：由，令而，得．又，得，得，有．选择答案D．点评：涉及到与的问题时，通常用换元解决．解法二：，当时，，选D。例2．已知函数．，且．（1）求实数，的值；（2）求函数的最大值及取得最大值时的值．分析：待定系数求，；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．解析：函数可化为． （1）由，可得，，所以，．（2），故当即时，函数取得最大值为．点评：结论是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．题型2三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．例3．为得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决．解析：函数，故要将函数的图象向左平移个长度单位，选择答案A．例4函数在区间内的图象是20220318分析20220318解析：函数．结合选择支和一些特殊点，选择答案D．点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目．题型3用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．例5已知，则的值是A． B． C． D．分析：所求的，将已知条件分拆整合后解决．解析：C．，所以．点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的数学思想和运算能力．解题的关键是对的分拆与整合．例6若则=A． B． C． D．分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路．方法一：，其中，即，再由知道，所以，所以．方法二：将已知式两端平方得方法三：令，和已知式平方相加得，故，即，故．方法四：我们可以认为点在直线上，而点又在单位圆上，解方程组可得，从而．这个解法和用方程组求解实质上是一致的．方法五：只能是第三象限角，排除C．D．，这时直接从选择支入手验证，由于计算麻烦，我们假定，不难由同角三角函数关系求出，检验符合已知条件，故选B．点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知，求的值（人教A版必修4第三章复习题B组最后一题第一问）”之类的题目，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力．题型4正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型．例7．在一个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域．点正北海里处有一个雷达观测站．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东(其中，)且与点相距海里的位置．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求的长，在中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点到直线的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决．解析：（1）如图，，，由于，所以由余弦定理得所以船的行驶速度为（海里/小时）．（2）方法一：如上面的图所示，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标分别是，与轴的交点为．由题设有，，，所以过点的直线的斜率，直线的方程为．又点到直线的距离，所以船会进入警戒水域．解法二：如图所示，设直线与的延长线相交于点．在中，由余弦定理得，==．从而在中，由正弦定理得，．由于，所以点位于点和点之间，且．过点作于点，则为点到直线的距离．在中，所以船会进入警戒水域．点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图．本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错．题型5三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点．例8已知向量，（），令，且的周期为．(1)求的值；(2)写出在上的单调递增区间．分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数的解析式求出来，再根据的周期为就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可．解析：(1)，∵的周期为．∴，，．(2)由于，当（）时，单增，即（），∵∴在上的单调递增区间为．点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点．例9已知向量，，．（1）求的值;（2）若，，且，求．解析：（1），，．，，即，．（2），，，，．题型6三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型．例10．三角形的三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，若，（1）求角的大小；（2）求的取值范围．分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角就不是独立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题．解析：（1），． 由余弦定理，得． （2）， 点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响．题型7用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值．例12.已知函数，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．分析：函数的导数在大于等于零恒成立．解析：函数在区间上是增函数，则等价于不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立，从而在区间上恒成立，而函数在区间上为增函数，所以函数在区间上的最大值为，所以为所求．点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的思想意识．本题如将化为的形式，则与有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决．题型8三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考．例13.设二次函数，已知不论，为何实数，恒有和．（1）求证：；（2）求证：；（3）若函数的最大值为，求，的值．分析：由三角函数的有界性可以得出，再结合有界性探求．解析：（1）因为且恒成立，所以，又因为且恒成立，所以，从而知，，即．（2）由且恒成立得，即，将代如得，即．（3），因为，所以当时，由，解得，．点评：本题的关键是，由利用正余弦函数的有界性得出，从而，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用．20．(2022重庆理)（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝eq\f(3\r(2),5)，eq\f(cos(α＋A)cos(α＋B),cosα)＝eq\f(\r(2),5)，求tanα的值．解(1)因为a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，由余弦定理有cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\r(2)ab,2ab)＝－eq\f(\r(2),2).又0<C<π，故C＝eq\f(3π,4).(2)由题意得eq\f((sinαsinA－cosαcosA)(sinαsinB－cosαcosB),cosα)＝eq\f(\r(2),5).因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝eq\f(\r(2),5)，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝eq\f(\r(2),5)，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝eq\f(\r(2),5).①因为C＝eq\f(3π,4)，A＋B＝eq\f(π,4)，所以sin(A＋B)＝eq\f(\r(2),2)，因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即eq\f(3\r(2),5)－sinAsinB＝eq\f(\r(2),2)，解得sinAsinB＝eq\f(3\r(2),5)－eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.16．(2022陕西理)（本小题满分12分）已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(1,2)))，b＝(eq\r(3)sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解(1)∵f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinxcosx－eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).∴f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，故当2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)即x＝eq\f(π,3)时，f(x)max＝1；当2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)即x＝0时，f(x)min＝－eq\f(1,2).17．(2022湖南理)（本小题满分12分）已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，g(x)＝2sin2eq\f(x,2).(1)若α是第一象限角，且f(α)＝eq\f(3\r(3),5).求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)sinx，g(x)＝2sin2eq\f(x,2)＝1－cosx.(1)由f(α)＝eq\f(3\r(3),5)，得sinα＝eq\f(3,5)，又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－eq\r(1－sin2α)＝1－eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)f(x)≥g(x)等价于eq\r(3)sinx≥1－cosx，即eq\r(3)sinx＋cosx≥1.于是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≥eq\f(1,2).从而2kπ＋eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．16．(2022安徽理)（本小题满分12分）已知函数f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的单调性．解(1)f(x)＝4coswx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(wx＋\f(π,4)))＝2eq\r(2)sinωx·cosωx＋2eq\r(2)cos2ωx＝eq\r(2)(sin2ωx＋cos2ωx)＋eq\r(2)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋eq\r(2).因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0.从而有eq\f(2π,2ω)＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\r(2).若0≤x≤eq\f(π,2)，则eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4).当eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2).即0≤x≤eq\f(π,8)时，f(x)单调递增；当eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，即eq\f(π,8)≤x≤eq\f(π,2)时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,2)))上单调递减．16．(2022广东理)（本小题满分12分）已知函数f(x)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))的值；(2)若cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3))).解(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)－\f(π,12)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq\r(2)coseq\f(π,4)＝1.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)－\f(π,12)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝cos2θ－sin2θ，又cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴sinθ＝－eq\f(4,5)，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，cos2θ＝2cos2θ－1＝－eq\f(7,25)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝cos2θ－sin2θ＝－eq\f(7,25)＋eq\f(24,25)＝eq\f(17,25).【专题训练与高考预测】一、选择题1．若，且，则的取值范围是（） A． B． C． D．2．设是锐角，且，，则 （） A． B． C． D．3．若，与的夹角为，则 （） A． B． C． D．4．若为的内心，且满足，则的形状为 （） A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形5．在中，若，则是 （） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形6．已知向量、、，则直线与直线的夹角的取值范围是 （） A． B． C． D．二、填空题7．的化简结果是__________．8．若向量与的夹角为，则称为它们的向量积，其长度为，已知，，且，则_______________．9．一货轮航行到某处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西的方向航行分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为每小时海里．三、解答题10．已知：，．（1）求的值；（2）求的值．11．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求使函数取得最大值的的集合．