人教A版高中数学必修三第3章概率单元检测(A)

人教A版高中数学必修三第三章《概率》单元检测(A)一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加辩论赛,事件“至少一名女生”与事件“全是男生” (A.是互斥事件,不是对立事件C既是互斥事件,也是对立事件答案:C)B.是对立事件,不是互斥事件D.既不是互斥事件也不是对立事件解析:至少一名女生包括1名或2名女生,全是男生相当于女生数为0,两者间是互斥事件也是对立事件.2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )A•1个 B.2个 C•3个 D.4个答案:C解析:该生选报的所有可能情况是：｛数学和计算机｝，｛数学和航空模型｝，｛计算机和航空模型｝，所以基本事件有3个．3．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为( )231B.3161D∙4答案:B解析:P=?=/4．在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标大于1的概率是()A.3

4[答案]BB.3C.2D.35．一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下:组别[0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]频数1213241516137则样本数据落在(10,40］上的频率为 (C)B.0.39C.0.52D.0.64A.0.13［答案］C6.若实数k∈L3,3］，则k的值使得过点41,1)可以作两条直线与圆X2+y2+kx-2y-5k=0相切的概率等于()A.213C141D.6答案:D解析：由点A在圆外可得k<0,由题中方程表示圆可得k>—1或k<—4,所以-Kk<0,故所求概率为6.故选D.7．下列是古典概型的是( )(1)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；(2)同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；(3)近三天中有一天降雨的概率；(4)10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.A．(1)(2)(3)(4)B.(1)(2)(4)C．(2)(3)(4)D.(1)(3)(4)答案:B解析:(1)(2)(4)为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性,而(3)不适合等可能性,故不为古典概型．8.在区间［0,1］上随意选择两个实数X,»则使qx+2≤1成立的概率为()πA.2B.C.D.π4π3π5答案:B解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得∙√X2ΓE≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的1与X轴正半轴，y轴正半轴围4 Jπ4∏,,,成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P=1=4.故选B.O I -V9•已知Ω={(x,y)∣x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)∣x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域Ω上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为（）A.2b∙3c∙3d∙9［答案］A10-ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）πA.4πB.1—4D．π1^8πC-CW答案:B解析：当以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1,故所求事件的概率为P（A）=S长方形S半圆=1一*.S4长方形11-在如图所示的程序框图中,如果输入的n=5,那么输出的i等于（）⅛ffi⅞A.3B.4C.5D.6m2片HJ∕⅛⅞√［答案］C12•已知f(x)=3x-2(x=1,2,3,4,5)的值构成集合A,g(x)=2χ-ι(x=1,2,3,4,5)的值构成集合B,任取x∈A∪B,则X∈A∩B的概率是（ ）A.6B.4D.2答案:B解析:根据条件可得A={1,4,7,10,13},B={1,2,4,8,16},于是A∪B={1,2,4,7,8,10,13,16},A∩B={1,4}.故任取x∈A∪B,则x∈A∩B的概率是2=1.8 413∙有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9（cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率是（A.202b∙51C.53D.10)答案:D解析:任取三根共有10种情况，构成三角形的只有3、5、7,5、7、9,3、7、9三3种情况，故概率为m.二、填空题（本大题共7小题,每小题4分,共28分,将答案填在题中的横线上）14．课题组进行城市空气质量调查,按地域把24个城市分成甲,乙,丙三组,对应的城市数分别为4,12,8,若用分层抽样抽取6个城市,则丙组中应抽取的城市数为.［答案］215．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是 ．答案：4解析：可重复地选取两个数共有4x4=16（种）可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1,2；2,1；2,4；4,2共4种，故所求的概率.4_1为诬二不16．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看到的是绿灯的概率是8答案:记．40 8解析P(A)―30+5+40—1517•把两封不同的信投入A,B两个信箱,A,B两信箱中各有一封信的概率为.答案:12解析:分别记两封信为a,b,共有A中两封,B中无;A中a,B中b;A中b,B中a;A中无,B中两封,4种情况.其中A,B各一封的有2种情况.故所求概率P=-=1.4 218•已知直线l过点(-1,0),l与圆C:(x-1)2+y2=3相交于A,B两点,则弦长∣AB∣≥2的概率为最［答案d19•从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是.3答案品解析：基本事件(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),3而两数都是奇数的有3种，故所求概率P=1o∙20•在区间［—1,2］上随机取一个数X，则X∈［0,1］的概率为.答案：31—0 1\o"CurrentDocument"解析由几何概型知所求的P=ʒ ：—=子\o"CurrentDocument"2——1 3三、解答题(本大题共6小题洪70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)21•(10分)过等腰R3ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求AD<AC的概率.解在AB上取一点E,使AE=AC,连接CE(如图)，则当射线CD落在∠ACE内部时，AD<AC.易知∠ACE=67.5°,,AD<AC的概率P=67j0°-=0.75.22•(12分)袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球.解：设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．・•・取出的两个球全是白球的概率为A6 2P(A)=13=5.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．8，取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)=15.23∙(12分)如图，在墙上挂着一块边长为16Cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm，4cm,6Cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(cm2).记“投中大圆内”为事件A,“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B,“投中大圆之外”为事件C,则事件A所占区域面积为SA=π×62=36π(cm2)；事件AB所占区域面积为SR=π×42—∏×22=12π(cm2)；事件C所占区域面积为Sr=BC(256-36π)cm2.由几何概型的概率公式，得(1)P(A)=SsAr=64∏；S3(2)P(B)=WB=64∏；S9(3)P(C)=e=—64∏.24．(12分)在一次数学统考后,某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析,获得成绩数据的茎叶图如图所示.(1)计算样本的平均成绩及方差.(2)在这10个样本中,现从不低于84分的成绩中随机抽取2个,求93分的成绩被抽中的概率.解⑴这10名同学的成绩是：60,60,73,74,75,84,86,93,97,98,则平均数由=80.方差s2=.1［(98-80)2+(97-80)2+(93-80)2+(86-80)2+(84-80)2+(75—80%+10(73-80)2+(74-80)2+(60-80)2+(60-80)2］=174.4.即样本的平均成绩是80分,方差是174.4.(2)设A表示随机事件”93分的成绩被抽中”，从不低于84分的成绩中随机抽取2个结果有:(98,84),(98,86),(98,93),(98,97),(97,84),(97,86),(97,93),(93,84),(93,86),(86,84),共10种.而事件A含有4个基本事件:(98,93),(97,93),(93,84),(93,86).42所以所求概率为P=1OU5.25．(12分)24．全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.组号分组频数1[4,5)22[5,6)83[6,7)74[7,8]3(1)现从融合指数在［4,5)和［7,8］内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在［7,8］内的概率;(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.解法一：(1)融合指数在［7,8］内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在［4,5)内的“省级卫视新闻台”记为b1,b2.从融合指数在［4,5)和［7,8］内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}洪10个.其中,至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9个.所以所求的概率p=2.10(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5x2+5.5×_8_+6.5x2_+7.5x』=6.05.20 20 20 20解法二:(1)融合指数在［7,8］内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在［4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在［4,5)和［7,8］内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}洪10个.其中,没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:^1》亦共1个.所以所求的概率P=1—ɪ=-9.1010(2)同解法一.26．(12分)某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.组号分组频数频率第1组[160,165)50.050第2组[165,170)①0.350第3组[170,175)30②第4组[175,180)200.200第5组[180,185]100.100合计1001.00⑴请先求出频率分布表中①,②位置的相应数据,再完成频率分布直方图.S^s。组即(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试.⑶在⑵的前提下,学校决