2023-2024学年高中数学苏教版2023必修二同步试题 13.2.3直线与平面位置关系（2）线面垂直的判定与性质（含解析）

第第页2023-2024学年高中数学苏教版2023必修二同步试题13.2.3直线与平面位置关系（2）线面垂直的判定与性质（含解析）13.2.3直线与平面位置关系（2）线面垂直的判定与性质

一、单选题

1．在正方体中P，Q分别是和的中点，则下列判断错误的是（）

A．B．平面

C．D．平面

【答案】D

【解析】

【分析】

取中点，连接，通过证明平面可判断A；分别取中点，连接，可证明，即可证明，可判断C；进一步即可证明平面判断B；根据平面可判断D.

【详解】

取中点，连接，因为P，Q分别是和的中点，易得，又，平面，平面，，故A正确；

分别取中点，连接，易得且，

所以四边形为平行四边形，，又，，故C正确；

，，又，，平面，故B正确；

平面即为平面，显然平面，故D错误.

故选：D.

2．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.

【详解】

A.，与相交，所以与异面，故A错误；

B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；

C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；

D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.

故选：D

3．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体PABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF（此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（）

A．6个B．8个

C．10个D．12个

【答案】C

【解析】

【分析】

由题设，若四面体PABC为“鳖臑”，应用线面、面面垂直的判定、性质只需AE⊥EF、AE⊥PC、EF⊥PC，即PAEF也是“鳖臑”，即可保证直角三角形最多，进而确定个数即可.

【详解】

为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体PABC为“鳖臑”，

其中PA⊥面ABC，BC面ABC，则PA⊥BC，

又AB⊥BC，ABPA=A，

∴CB⊥面PAB.

若AE⊥PB，EF⊥PC：

由CB⊥面PAB，BC面PBC，则面PAB⊥面PBC，又AE面PAB，面PAB∩面PBC=PB，

∴AE⊥面PBC，EF、PC面PBC，则AE⊥EF且AE⊥PC，又EF⊥PC，

∴四面体PAEF也是“鳖臑”，则10个三角形全是直角三角形，

故选：C.

4．在四棱锥中，底面为正方形，底面，M是上一点，有以下四个命题：

甲：平面平面；

乙：；

丙：；

丁：.

如果只有一个命题是错误的，则该命题是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题中所给的条件，判断出比较明显的垂直关系，结合题意，有三个真命题一个假命题，假设丁正确，从而判断出两个真一个假，从而确定出结果.

【详解】

底面为正方形，所以，

又因为底面，平面，所以，

又因为，所以平面，所以，

若只有一个假命题，则其它三个命题为真命题，

即由条件可逐步推导出其它三个命题，

若丁正确，即，

因为，所以平面，

又平面，所以平面平面，故甲正确；

因为平面，所以，故丙正确；

若乙也正确，则，，

又在同一平面，且，

所以有平面，因为平面，所以，

因为，，则平面，

平面，平面，则，

，，则平面，则平面平面，与已知条件矛盾，所以乙不正确，

故选：B.

5．已知l，m表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（）

A．若，，则B．若，，则

C．若，，则D．若，，则

【答案】A

【解析】

【分析】

根据线面垂直的性质判断A，根据线面间的位置关系判断BCD．

【详解】

对于A，若，则根据直线与平面垂直的性质，知，故A正确；

对于B，若，则l可能在内，故B不正确；

对于C，若，则或，故C不正确；

对于D，若，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确.

故选：A.

二、多选题

6．下列命题正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据空间直线、平面间的位置关系、线面垂直的判定定理和性质定理判断．

【详解】

由线面垂直的判定定理可得A正确，由线面垂直的性质定理可得B正确，

，可能有，C错误，时可能有，，与相交（可能垂直），D错误，

故选：AB．

7．在正方体，点分别是棱的中点，下列说法正确的是（）

A．B．平面

C．平面D．异面直线、所成角的大小为

【答案】ABC

【解析】

【分析】

对于A：连接，由中位线定理得，又由，可判断；

对于B：根据线面平行的判定定理可判断；

对于C：根据线面垂直的判定定理可判断；

对于D：连接，可得（或其补角）就是异面直线、所成的角，由此可判断.

【详解】

对于A：连接，因为分别是棱的中点，所以，又，所以，又，所以，故A正确；

对于B：由A选项的解析得，又平面，平面，所以平面，故B正确；

对于C：连接，则，又因为分别是棱的中点，所以，所以，

又面，面，所以，又，面，所以面，

所以，同理可证，又，面，所以平面，故C正确；

对于D：连接，因为分别是棱的中点，所以，所以（或其补角）就是异面直线、所成的角，

又是正三角形，所以，所以异面直线、所成角的大小为，故D不正确，

故选：ABC.

三、填空题

8．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）

【答案】(答案不唯一)

【解析】

【分析】

直四棱柱，是在上底面的投影，当时，可得，当然底面ABCD满足的条件也就能写出来了.

【详解】

根据直四棱柱可得：∥，且，所以四边形是矩形，所以∥，同理可证：∥，当时，可得：，且底面，而底面，所以，而，从而平面，因为平面，所以，所以当满足题意.

故答案为：.

9．，，是三直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有．

【答案】

【解析】

【分析】

由线面垂直的判定定理即可求解

【详解】

由线面垂直的判定定理可知：

，，，，且，

则，

故答案为：

10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，若点为的中点，则点到平面的距离为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由∥平面知，点到面的距离等于点到面的距离，把问题转化为解直角三角形问题．

【详解】

∵是正方形，∴，

又∵平面，平面，∴∥平面，

于是点到面的距离等于点到面的距离．

取中点，连接.

∵平面，∴，

∵是正方形，∴，

又∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面，

∵为中点，，∴，

∴，又∵平面平面，

∴平面，∴点C到平面的距离为OC，

∵为等腰直角三角形，，∴，

∴点C到平面的距离等于，故点D到平面的距离等于．

故答案为：．

11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝__时，D1E⊥平面AB1F．

【答案】1

【解析】

【分析】

要D1E⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明D1E⊥AF即可．

【详解】

解：连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影，

∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，

于是D1E⊥平面AB1F，又平面AB1F，所以D1E⊥AF．

连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．

∴D1E⊥AF，，因为，所以平面，

又平面，所以DE⊥AF．

∵ABCD是正方形，E是BC的中点．

∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，

即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．

∴＝1时，D1E⊥平面AB1F．

故答案为：1.

12．如图，矩形中，，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知中平面，在边上取点，使，由线面垂直的判定定理及性质可得满足条件时，，即以为直径，的中点为圆心的圆，再根据，，满足条件的点至少有1个，从而可得的取值范围．

【详解】

解：平面，平面，

，

又，，

平面，又平面，

，

所以点是以中点为圆心，以为直径的圆与的交点，

，，在线段上至少存在一个点满足，

．

故答案为：．

四、解答题

13．在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

根据线面平行的性质定理将问题转化为证明AE⊥平面PCD，再转化为AE⊥DC，然后再转化为CD⊥平面PAD，最后结合已知可证.

【详解】

证明：因为PA⊥平面ABCD，

CD平面ABCD，

所以PA⊥CD．

又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．

因为PA∩AD＝A，PA平面PAD，AD平面PAD，

所以CD⊥平面PAD．

又AE平面PAD，所以AE⊥DC．

因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD平面PCD，CD平面PCD，

所以AE⊥平面PCD．

因为l⊥平面PCD，

所以l∥AE．

14．如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：

(1)CD⊥AA1；

(2)AB1⊥平面CED.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由直棱柱的性质和线面垂直的性质可证；

（2）根据线面垂直判定定理将问题转化为CD⊥AB1，然后转化为证明CD⊥平面A1B1BA，然后结合已知条件可证.

(1)

由题意知AA1⊥平面ABC，CD平面ABC，

所以CD⊥AA1.

(2)

因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.

又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB平面A1B1BA，A1A平面A1B1BA，

所以CD⊥平面A1B1BA.

因为AB1平面A1B1BA，

所以CD⊥AB1.

又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD平面CED，CE平面CED，

所以AB1⊥平面CED.13.2.3直线与平面位置关系（2）线面垂直的判定与性质

一、单选题

1．在正方体中P，Q分别是和的中点，则下列判断错误的是（）

A．B．平面

C．D．平面

2．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（）

A．B．C．D．

3．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体PABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF（此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（）

A．6个B．8个

C．10个D．12个

4．在四棱锥中，底面为正方形，底面，M是上一点，有以下四个命题：

甲：平面平面；

乙：；

丙：；

丁：.

如果只有一个命题是错误的，则该命题是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

5．已知l，m表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（）

A．若，，则B．若，，则

C．若，，则D．若，，则

二、多选题

6．下列命题正确的是（）

A．B．

C．D．

7．在正方体，点分别是棱的中点，下列说法正确的是（）

A．B．平面

C．平面D．异面直线、所成角的大小为

三、填空题

8．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）

9．，，是三直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有．

10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，若点为的中点，则点到平面的距离为______．

11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1