2023=2024学年北师大版数学必修第一册课堂达标检测 第4章4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（含解析）

第第页2023=2024学年北师大版数学必修第一册课堂达标检测第4章4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（含解析）第4章4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

一、选择题

1．下列函数中y随x的增大而增大，且增长速度最快的是()

A．y＝2020lnxB．y＝ex

C．y＝2020xD．y＝2020·2x

2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()

ABCD

3．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为()

A．甲B．乙

C．丙D．丁

4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

x1.99345.16.12

y1.54.047.51218.01

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()

A．y＝2x－2B．y＝x

C．y＝log2xD．y＝(x2－1)

5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2y2>y3B．y2>y1>y3

C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1

6．在某个物理实验中，测量得列变量x和变量y的几组数据，如下表：

x0.500.992.013.98

y－0.990.010.982.00

则对x，y最适合的拟合函数是()

A．y＝2xB．y＝x2－1

C．y＝2x－2D．y＝log2x

7．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有()

A．f(bx)≥f(cx)B．f(bx)≤f(cx)

C．f(bx)0且a≠1)的图象．

有以下说法：

①第4个月时，剩留量就会低于；

②每月减少的有害物质质量都相等；

③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.

其中所有正确说法的序号是________．

12．甲、乙两地相距500km，一辆运输汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v不能超过120km/h.已知运输汽车每小时运输成本为元，则全程运输成本y与速度v的函数关系是y＝________，当运输汽车的行驶速度为________km/h时，全程运输成本最小．

三、解答题

13．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．

14．某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

15．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2023年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：

x1234

f(x)4.005.587.008.44

若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝x＋a.

(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2023年和2023年的数据求出相应的解析式；

(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2023年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2023年的年产量．

第4章4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

一、选择题

1．下列函数中y随x的增大而增大，且增长速度最快的是()

A．y＝2020lnxB．y＝ex

C．y＝2020xD．y＝2020·2x

B[由于指数型函数的增长是爆炸式增长，所以当x越来越大时，函数y＝ex与y＝2020·2x的增长越来越快，由于e>2，当x超过某一个值时，函数y＝ex的值会超过y＝2020·2x的值，故选B.]

2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()

ABCD

D[设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.]

3．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为()

A．甲B．乙

C．丙D．丁

D[法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．

法二：由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面，故选D.]

4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

x1.99345.16.12

y1.54.047.51218.01

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()

A．y＝2x－2B．y＝x

C．y＝log2xD．y＝(x2－1)

D[法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.

法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.]

5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2y2>y3B．y2>y1>y3

C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1

B[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]

6．在某个物理实验中，测量得列变量x和变量y的几组数据，如下表：

x0.500.992.013.98

y－0.990.010.982.00

则对x，y最适合的拟合函数是()

A．y＝2xB．y＝x2－1

C．y＝2x－2D．y＝log2x

D[将x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；将x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.]

7．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有()

A．f(bx)≥f(cx)B．f(bx)≤f(cx)

C．f(bx)0时，3x>2x>1，函数y＝f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以f(bx)0且a≠1)的图象．

有以下说法：

①第4个月时，剩留量就会低于；

②每月减少的有害物质质量都相等；

③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.

其中所有正确说法的序号是________．

①③[由于函数的图象经过点，故函数的关系式为y＝t.

当t＝4时，y＝g(x)；

当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)<g(x)．

14．某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

[解]作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(如图)．

观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．

15．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2023年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：

x1234

f(x)4.005.587.008.44

若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝x＋a.

(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2023年和2023年的数据求出相应的解析式；

(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2023年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2023年的年产量．

[解](1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，

若模型为f(x)＝2x＋a，

则由f(1)＝21＋a＝4，

得a＝2，即f(x)＝