随机过程论(钱敏平第3版)-习题及答案 【ch05】Brown运动

第五章Brown运动1.略2.略3.略4.略5.略6.Brown运动是一个连续时间的随机过程，其在每个时间点的增量是独立的、具有零均值和方差为时间间隔的标准差的正态分布。平移一个Brown运动意味着在每个时间点将其增量移动tμt，其中t是时间点，μt是Brown运动在时间点t的均值。我们知道，高斯马氏过程具有下列性质：连续性：平移后的过程仍然是连续的，因为Brown运动是连续的。独立增量：平移后的过程的增量仍然是独立的，因为原始的Brown运动增量是独立的。高斯性：由于原始的Brown运动增量是高斯分布的，平移后的过程的增量仍然是高斯分布的。因此，平移后的{B,tμt;t∈R+}仍然是一个高斯马氏过程。接下来，我们求解平移后的过程的转移密度。设平移后的过程为{Bt′,t∈R+}，其中Bt′=Bt+tμt。要计算转移密度，我们需要考虑在时刻t的观测值Bt和时刻s的观测值Bs之间的条件概率分布P(Bs|Bt)。对于标准的布朗运动Bt，该条件概率分布服从正态分布：P(Bs|Bt)=N(Bs;Bt,(s-t))对于平移后的过程Bt′，我们需要考虑时刻t的观测值Bt′和时刻s的观测值Bs之间的条件概率分布P(Bs|Bt′)。我们可以将Bt′表示为Bt′=Bt+tμt，则有：P(Bs|Bt′)=P(Bs|Bt+tμt)由于Bt和tμt是独立的，我们可以将条件概率分布拆分为两个独立的概率分布的乘积：P(Bs|Bt′)=P(Bs|Bt+tμt)=P(Bs|Bt)*P(tμt)根据前面提到的布朗运动的条件概率分布的性质，我们知道P(Bs|Bt)=N(Bs;Bt,(s-t))。对于P(tμt)，由于μt是常数，其分布为一个常数，即P(tμt)=δ(μt)（δ表示狄拉克函数）。因此，我们可以求得转移密度为：P(Bs|Bt′)=P(Bs|Bt)*δ(μt)综上所述，平移后的{B,tμt;t∈R+}仍然是一个高斯马氏过程，并且其转移密度为：P(Bs|Bt′)=N(Bs;Bt,(s-t))*δ(μt)7.8.9.略10.设ξ={N(t),t∈R*}为参数为λ的Poisson过程，其中N(t)表示在时间点t之前的事件数量。首先证明ξ随机连续：对于任意的t1>t0，考虑时间区间[t0,t1]。根据Poisson过程的定义，我们知道在时间区间[t0,t1]内的事件数量N(t1)-N(t0)服从参数为λ(t1-t0)的Poisson分布。因此，在时间点t0附近，我们有：P(N(t1)-N(t0)=0)=e^(-λ(t1-t0))当t1→t0时，(t1-t0)→0，所以以上概率趋近于1。这意味着在时间点t0附近，ξ通常没有事件发生。因此，ξ在随机连续，即在任意时间点附近连续的概率接近于1。接下来证明ξ均方连续：我们知道，Poisson过程的增量是独立的，并且具有相同的指数分布。对于任意的s>t>0，我们有：E[(N(s)-N(t))^2]=Var(N(s)-N(t))=λ(s-t)当(s-t)→0时，E[(N(s)-N(t))^2]→0。这表明ξ在均方意义下连续。最后证明ξ不可能有连续轨道：假设存在时间区间[a,b]，在该区间内ξ是连续的，即在任意时间点t∈[a,b]附近连续的概率接近于1。考虑区间[a,a+δ]，其中δ>0。根据前面的证明，我们知道在时间点a附近，ξ没有事件发生的概率趋近于1，因此在时间区间[a,a+δ]内，ξ没有事件发生的概率大于1-ε，其中ε是一个很小的正数。现在考虑区间[a+δ,a+2δ]，根据前面的证明，同样可以得到ξ在时间点(a+δ)附近没有事件发生的概率大于1-ε，因此在时间区间[a+δ,a+2δ]内，ξ同样不会有事件发生的概率大于1-ε。继续进行下去，可以推断在[a,b]内的任意子区间内，ξ都不会有事件发生的概率大于1-ε。然而，根据Poisson过程的定义，事件在时间区间内发生或不发生是独立事件，因此在[a,b]内的任意子区间内，ξ有事件发生和不发生的概率应该是一样的。这与前面的推断相矛盾，因此假设不成立，ξ不可能有连续轨道。综上所述，ξ是一个随机连续的、均方连续的过程，但不可能有连续轨道。11.略12.略13.14.循序可测性的定义是：对于任意的时刻t1,t2,…,tn，对应的事件{X(t1)≤x1},{X(t2)≤x2},…,{X(tn)≤xn}都是可测的。考虑一个特定的时刻t0，以及一个开区间(a,b)，其中a<X(t0)<b。根据随机过程{X(t)}的连续性，存在一个小的正数δ1，使得对于在区间(t0-δ1,t0+δ1)内的所有时刻t，都有X(t)∈(a,b)。因此，我们可以构造下列事件序列：对于n=1，取t1=t0。对于n=2，取t2=t0+δ1。对于n=3，取t3=t0-δ1。根据连续性的性质，我们有：{X(t1)≤b}是可测的。{X(t2)≤a}是可测的。{X(t3)≤a}是可测的。然而，对于事件{X(t0)≤x0}，其中x0是任意实数，在上述事件序列中的每个事件都与{X(