七年级数学上册专题4.13 线段公理与直线公理（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

/专题4.13线段公理与直线公理（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法运用的数学知识是（

）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短C．射线只有一个端点 D．过一点有无数条直线2．下列现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线④把弯曲的公路改直，就能缩短路程其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象有（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．③④3．下列四个语句中，正确的是（

）A．如果，那么点是的中点B．两点间的距离就是两点间的线段C．经过两点有且只有一条直线D．比较线段的长短只能用度量法4．在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（

）A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.85．若线段AB＝13cm，MA+MB＝17cm，则下列说法正确的是（

）A．点M在线段AB上B．点M在直线AB上，也有可能在直线AB外C．点M在直线AB外D．点M在直线AB上6．如图，某同学家在A处，现在该同学要去位于D处的同学家，请帮助他选择一条最近的路线是（

）A．A→B→M→D B．A→B→F→DC．A→B→E→F→D D．A→B→C→D7．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间 D．B，C之间8．平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为（

）A．1或4 B．1或6 C．4或6 D．1或4或69．下列说法正确的是（

）A．射线和射线是同一条射线 B．射线的长度是C．直线相交于点

D．两点确定一条直线10．如图，一条街道旁有A，B，C，D，E五幢居民楼，某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表:楼号ABCDE大桶水/桶3855507285他计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点，若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，则可以选择的地点应在().A．B楼 B．C楼 C．D楼 D．E楼二、填空题11．张老师调整教室桌椅时，为了将一列课桌对齐，将这列课桌的最前边一张和最后边一张拉一条线，其余课桌按线摆放，这样做用到的数学知识是_____．12．平面内有n个点A、B、C、D…，其中点A、B、C在同一条直线上，过其中任意两点画直线，最多可以画_____________________条．13．在射线上截取线段，，点M，N分别是，的中点，则点M和点N之间的距离为______．14．已知，如图，在直线l的两侧有两点A、B在直线上画出点P，使PA+PB最短，画法：______．15．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有______填序号．①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．16．下列三个现象：①用两个钉子可以把一根木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行数在一条直线上；③从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有__________（填序号）.17．科学知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面.下面的这两个情景，请你做出判断.情景一：如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所.学数学知识来说明这个问题：_______________________________________________.情景二：农民兴修水利，开挖水渠，先在两端立桩拉线，然后沿线开挖，请你说出其中的道理：________________________________________________________________________________.你赞同以上哪种做法，你认为应用科学知识为人类服务时应注意什么？18．如图所示，设，，．试比较、、的大小：________．三、解答题19．小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星．小刚说：“过两点有且只有一条直线，所以枪管上才有准星．”小强说：“过两点有且只有一条直线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这样不是有三点了吗？既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点是为什么呢？”聪明的你能回答小强的疑问吗？20．如图，已知三点A，B，C，按下列要求画图．(1)画直线AB，射线BC；(2)连接AC并延长至点D，使DC＝AC；(3)取线段AB的中点E，找出一点P，使它到点E，B，D，C的距离之和PE+PB+PD+PC最小，这样作图的依据是．21．如图，已知线段AB，延长线段AB至点C，使BC＝2AB，延长线段BA至点D，使ADAB，点E是线段AC的中点．(1)若AB＝12，求线段DE的长；(2)若DE＝a，请直接写出线段AB的长（用含a的代数式表示）．22．如图，已知平面上有四个村庄，用四个点A，B，C，D表示．(1)连接AB，作射线AD，作直线BC与射线AD交于点E；(2)若要建一供电所M，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所M应建在何处？请画出点M的位置并说明理由．23．已知：如图：，点E是的中点，，若，设多项式的值是t，其中，求线段的长．24．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：(1)请直接写出a、b、c的值．______，______，______．(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）．(3)若数轴上A、B两点间的距离表示成|AB|，且O为原点，数轴上有一动点P，直接写出的最小值是______；的最小值是______；取最小时，点P对应的数x的取值范围是______．参考答案1．A【分析】两个学生看成点，根据两点确定一条直线的知识解释即可．解：∵两点确定一条直线，∴选A．【点拨】本题考查了两点确定一条直线的原理，正确理解原理是解题的关键．2．C【分析】直接利用直线的性质和线段的性质分别判断得出答案．解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，能用“两点之间，线段最短”来解释，故此选项符合题意；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，能用“两点之间，线段最短”来解释，故此选项符合题意．故选：C．【点拨】本题考查了直线的性质和线段的性质，正确掌握相关性质是解题关键．3．C【分析】根据线段的中点和线段的性质进行判断即可．解：A、如果AP=BP，且AP+BP=AB，那么点P是AB的中点，故本选项不符合题意；B、两点间的距离就是两点间的线段的长度，故本选项不符合题意；C、经过两点有且只有一条直线，故本选项符合题意；D、比较线段的长短可以用度量法，但不是只能用度量法，故本选项不符合题意．故选：C．【点拨】本题考查的是两点之间的距离，根据线段的性质和线段的中点的定义是解答此题的关键．4．D【分析】根据最短路径问题得：当BP⊥AC时，的值最小，利用面积关系得到，代入数值求出答案.解：由题意得：当BP⊥AC时，的值最小，∵,∴,解得BP=，故选：D.【点拨】此题考查最短路径问题，三角形的面积计算公式，利用最短路径问题的思路得到当BP⊥AC时，的值最小是解题的关键.5．B【分析】此题要分多种可能情况讨论：当M点在直线外时，根据两点之间线段最短，能出现MA+MB=17；当M点在线段AB延长线上，也可能出现MA+MB=17；由此解答即可．解：（1）当M点在直线外时，M，A，B构成三角形，两边之和大于第三边，能出现MA+MB=17；（2）当M点在线段AB延长线上，也可能出现MA+MB=17．故选：B．【点拨】此题考查比较线段的长短，正确认识直线、线段，注意对各个情况的分类，讨论可能出现的情况．6．B【分析】根据线段的性质，可得D、B两点之间的最短距离是线段BD的长度，所以想尽快赶到同学家玩，一条最近的路线是：A→B→F→D，据此解答即可．解：根据两点之间的线段最短，可得D、B两点之间的最短距离是线段BD的长度，所以想尽快赶到同学家玩，一条最近的路线是：A→B→F→D．故选：B．【点拨】本题考查了线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．7．A【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．【点拨】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．8．D【分析】平面上四点的位置关系由三种情况，即四点在同一直线上时，可以画一条直线；三点在同一条直线上，可以画四条直线；任意三点均不在同一条直线上，则可画六条直线．解：如图所示：分别根据四点在同一直线上、三点在同一条直线上、任意三点均不在同一条直线上描出各点，再根据两点确定一条直线画出各直线可知：平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为1或4或6．故选D．【点拨】本题考查的是两点确定一条直线，解答此题的关键是正确分析四点在同一平面内的位置关系，再画出图形进行解答．9．D【分析】根据直线、射线、线段的性质对各选项分析判断后利用排除法．解：A、射线PA和射线AP不是同一条射线，故本选项错误；B、射线是无限长的，故本选项错误；C、直线AB、CD可能平行，没有交点，故本选项错误；D、两点确定一条直线是正确的．故选：D．【点拨】本题主要考查了直线、射线、线段的特性，是基础题，需熟练掌握．10．C【分析】此题为数学知识的应用，由题意设立大桶水供应点，肯定要尽量缩短居民取水所走路程之间的里程，即需应用两点间线段最短定理来求解．解：设AB=a，BC=b，CD=c，DE=d．每户居民每次取一桶水．以点A为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=55AB+50AC+72AD+85AE=262a+207b+157c+85d，以点B为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=38AB+50BC+72BD+85BE=38a+207b+157c+85d，以点C为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=38AC+55BC+72CD+85CE=38a+93b+157c+85d，以点D为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=38AD+55BD+50CD+85DE=38a+93b+143c+85d，以点E为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=38AE+55BE+50CE+72DE=38a+93b+143c+215d，以点D为取水点，五幢楼内的居民取水所走路程之和最小．故选C．【点拨】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．11．两点确定一条直线【分析】由直线的公理，“两点确定一条直线”进行解题．解：根据两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．【点拨】本题考查了“两点确定一条直线”的公理，难度适中．12．【分析】如果所有点都不在同一直线上，当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…找到规律：当有n个点不在同一直线上时，最多可连成条直线，即可求得点A、B、C在同一条直线上，最多可以画条直线．解：如果所有点都不在同一直线上，当仅有两个点时，最多可连成1条直线；当有3个点时，最多可连成1+2=3条直线；当有4个点时，最多可连成1+2+3=6条直线；当有5个点时，最多可连成1+2+3+4=10条直线；…；可以得到规律：当有n个点不在同一直线上时，最多可连成条直线，已知点A、B、C在同一条直线上，则点A、B、C任意两点的连线都是同一条直线，故最多可以画条直线．故答案为：．【点拨】本题考查了探究图形类规律以及直线的性质：两点确定一条直线．注意讨论点共线及不共线的情况，不要漏解．13．或【分析】可分两种情况：当点C在线段AB上时，当点C在AB延长线上时，根据两点间的距离和线段中点的定义可求解MN的长．解：①点C在线段AB上时，如图所示：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴AM=BM=AB，又∵AB=8cm，∴BM=4cm，又∵点N是BC的中点，∴CN=BN=BC，又∵BC=3cm，∴BN=1.5cm，又∵MN=BM-BN，∴MN=4-1.5=2.5cm；②点C在线段AB延长线上时，如图所示：同理可求出BM=4cm，BN=1.5cm，又∵MN=BM+BN，∴MN=4+1.5=5.5cm；综合所述：MN的长度为2.5cm或5.5cm，故答案为：5.5cm或2.5cm．【点拨】本题主要考查两点间的距离，线段中点的定义，注意画出草图、分类讨论是解决本题的关键．14．连接AB交直线l于P【分析】连接AB交直线l于P，根据两点之间线段最短可得AB为PA+PB的最小值，即可得答案．解：如图，连接AB，交直线l于P，∵两点之间线段最短，∴AB为PA+PB的最小值，故答案为：连接AB交直线l于P【点拨】本题考查作图，熟练掌握两点之间线段最短是解题关键．15．②④【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断．解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是利用两点之间，线段最短；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短．故答案为：②④．【点拨】此题考查了线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质的区别是解题的关键．16．①②【分析】根据直线的性质，“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”来判断．解：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可以用“两点确定一条直线”来解释；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上，可以用“两点确定一条直线”来解释；③从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料，可以用“两点之间线段最短”来解释；故答案为：①②．【点拨】本题考查了直线的性质，“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”．17．情景一：两点之间，线段最短;情景二：两点确定一条直线;赞同第二种，应用科学知识为人类服务时，应注意保护周边的环境等.（合理即可）【分析】学校和图书馆、两根立桩之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可．解：第一个情景是根据两点之间线段最短的原理来做的，第二个是两点确定一条直线;我赞同第二种做法．我们利用科学的同时，必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境．故答案为两点之间线段最短；两点确定一条直线;我赞同第二种做法．我们利用科学的同时，必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境．【点拨】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键.18．【分析】根据连接两点的所有线中,线段最短的性质解答.解：∵AB+AE＞BE，CD+DE＞CE，∴AB+AE+CD+DE＞BE+CE，即l＞m，又BE+CE＞BC，即m＞n，∴．【点拨】本题考查了知识点两点之间线段最短，解题的关键是熟记性质.19．见分析【分析】根据直线的性质，结合实际意义，易得答案．解：如果将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即可看到哪儿打到哪儿．换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上．【点拨】题考查直线的性质，无限延伸性即没有端点；同时结合生活中的射击场景，立意新颖，熟练掌握直线的性质是解题的关键．20．(1)见分析(2)见分析(3)两点之间，线段最短【分析】(1)根据直线，射线的定义画出图形即可；(2)根据线段的定义画出图形即可；(3)用量取法得出点E，再根据线段的性质分析即可．(1)解：作图如下，直线AB，射线BC即为所求：(2)解：作图如下，线段DC即为所求：(3)解：如图：由图可知：PE+PB+PD+PC=DE+BC，此时和最小，理由：两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短．【点拨】本题考查了作图一基本作图，直线，射线，线段的定义，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握直线，射线，线段的定义．21．(1)22(2)【分析】（1）先根据线段的比例得到和的长，再根据线段的和差得到和的长，进而可得答案；（2）设，根据线段的比例与线段的和差用含的代数式表示出的长，再整理可得答案．（1）解：，，，，，，，点是的中点，，；（2）设，，，，，，，，点是的中点，，，，解得．．【点拨】本题考查两点间的距离，解题关键是熟练掌握中点的性质和线段和差的运算．22．(1)图见分析；(2)点M见分析，理由见分析．【分析】（1）根据射线、直线的定义进而得出E点位置；（2）根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．(1)解：如图所示，(2)解：如图所示：点M即为所求．理由是两点之间，线段距离最短．【点拨】本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短．23．CD=12【分析】先化简多项式，再把a的值代入化简后的式子求出t的值，然后设BE为x，根据题目的已知条件表示出AC和DE即可解答．解：=3a2-（-5a-a+16+2a2）=3a2+5a+a-16-2a2=a2+a-16，当a=4时，a2+a-16=42+×4-16=22，∴t=22，∵BE=AB，∴设BE=x，AB=5x，∵AD=DB，∴AD=x，BD=4x，∵点E是BC的中点，∴BE=EC=x，∴