2023-2024学年河南省名校联盟高三（上）段考数学试卷（一）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省名校联盟高三（上）段考数学试卷（一）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.i(1+A.14+14i B.142.已知集合A={x|x≥A.∁R(A⋂B) B.∁3.已知圆经过点A(4,4)，B(A.4 B.5 C.8 D.104.对于任意实数x，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[π]=3，[0.1]=0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)=cos(3x−πA.π10 B.π5 C.3π6.位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆.现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为(

)A.96 B.144 C.240 D.3607.把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面.现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为(

)A.1：33：94 B.8.若α，β为锐角，且α+β=π4，则A.22−2 B.2−二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知一组样本数据x1，x2，x3，…，x10(x1<A.x1 B.x5 C.x610.已知函数f(x)=A.f(x)在定义域上单调递增

B.f(x)没有零点

C.不存在平行于x轴且与曲线11.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1CA.平面BB1P⊥平面ABCD

B.存在点P，使BP=2

C.存在点P，使直线B1P与BD1所成角的余弦值为12.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(A.|AC|=|BD|=12 B.cos∠A三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=14.在△ABC中，BD=13BC，E是线段A15.已知数列{an}满足an+1=3an+16.已知定义在R上的函数f(x)及其导函数f′(x)满足f′(x)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD=90°，D=60°，AC=4，CD=3．18.(本小题12.0分)

记递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5=85，且a6=7a1．

(Ⅰ)求an和Sn；

19.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=2BC=CC1=2，D，E，F分别是棱A1C1，BC，20.(本小题12.0分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,3)，且C的右焦点为F(2,0)．

(Ⅰ)求C的离心率；

(Ⅱ)过点F且斜率为1的直线与21.(本小题12.0分)

小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不过关.已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p(0<p<1)，且每个科目每次考试的结果互不影响．

(Ⅰ)记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0．

(Ⅱ)以(Ⅰ)中确定的p0作为p的值．

(ⅰ22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=mexsinx，m∈R且m≠0．

(Ⅰ)若当x∈(0,π)时，f答案和解析1.【答案】B

【解析】解：i(1+i)3=i(2.【答案】D

【解析】解：因为A={x|x≥1}={x|x≥1}，B3.【答案】B

【解析】解：由于圆经过点A(4,4)，B(−2,4)，C(4,−4)，

满足AB2+AC24.【答案】A

【解析】解：若[x]>[y]，则必有[x]>y≥[y]，结合x≥[x]可得x>y，

所以“[x]>[y]”是“x>y”的充分条件；5.【答案】B

【解析】解：f(x)=cos(3x−π10)的图象向左平移m个单位长度后，

得到的图象对应函数g(x)=cos[3(x+m)−π10]=cos(6.【答案】C

【解析】解：先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，

另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组．再把4组人分到4个场馆，

所以安排方法种数为(C42+C41)A7.【答案】C

【解析】解：现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，

设3个正棱锥的高均为h，轴截面面积的最大值均为S．

设正三棱锥的底面边长为a，当轴截面与底面的一条棱垂直时，轴截面面积最大，所以S=34ah，

可得正三棱锥的体积为V1=13Sa=43S29h.设正四棱锥的底面对角线长为2b，

当轴截面经过底面的一条对角线，轴截面面积最大，所以S=bh，

可得正四棱锥的体积为V2=23Sb=2S23h8.【答案】A

【解析】解：已知α，β为锐角，且α+β=π4，

则tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1，

即1−tanαtanβ=tan9.【答案】AD【解析】解：根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，故x1和x10符合条件；

去掉x5，样本平均数不变，则根据方差的计算公式可知方差变大，

故x5不符合条件；去掉x6，样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件．

故选：A10.【答案】BC【解析】解：对于A，f(x)的定义域为(−∞,0)⋃(0,+∞)，

当x<0时，0<ex<1，则f(x)>0，

当x>0时，ex>1，则f(x)<0，

显然f(x)在定义域上不是单调递增，故A错误；

对于B，令f(x)=0，得ex=0，无解，所以f(x)没有零点，故B正确；

对于C，求导得f′(11.【答案】AC【解析】解：对于A，因为BB1⊥平面ABCD，所以平面BB1P⊥平面ABCD，故A正确；

对于B，当点P与C1重合时，BP取最小值22，故不存在点P，使BP=2，故B错误；

对于C，当点P与D1重合时，直线B1P与BD1所成角等于∠BD1B1，cos∠BD1B1=B1D1BD1=63，

当点P与C1重合时，直线B1P与BD1所成角等于∠BD1A1，cos∠BD1A1=A1D1BD1=33，

所以直线12.【答案】AC【解析】解：对于A，由双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(6,0)，

所以圆的半径为6，由对称性可知AC和BD是圆O的两条直径，所以|AC|=|BD|=12，故A正确；

对于B，若cos∠AOF=223，则可得cos∠AOD=cos2∠AOF=2×(223)2−1=79，而∠AOD与∠AOB互补，13.【答案】4

【解析】解：把y=4代入抛物线方程y2=2px(p>0)，得M(8p,4)，

根据抛物线的定义有14.【答案】2

【解析】解：如图所示，因为BD=13BC，所以CB=32CD，

所以CE=xCA+32yCD，

因为A，E，D三点共线，

所以x+15.【答案】5

【解析】解：因为数列{an}满足an+1=3an+2，a3+a2=22，

由a3=3a2+2a3+a2=22，解得a2=5a3=17，又a2=3a1+2，所以a1=116.【答案】(l【解析】解：由题意，对任意x∈R，都有f′(x)>−f(x)成立，即f′(x)+f(x)>0，

构造函数g(x)=exf(x)，则g′(x)=f′(x)ex+f(x)e17.【答案】解：(Ⅰ)在△ACD中，由正弦定理得CDsin∠CAD=ACsinD，

所以sin∠CAD=CD⋅sinDAC=3【解析】(Ⅰ)在△ACD中由正弦定理可求得sin∠CAD的值，再结合∠CAD<90°与同角三角函数基本关系即可求得；18.【答案】解：(Ⅰ)设数列{an}的公差为d(d>0)，

因为S5=5a3=85，所以a3=17，

由a6=7a1得，a3+3d=7(a3−【解析】(Ⅰ)结合等差数列前n项和的性质与通项公式，求出公差d与a1，再由等差数列的通项公式与前n项和公式，得解；

(Ⅱ)采用裂项求和法，即可得解．

本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与前n19.【答案】证明：(Ⅰ)在△ABC中，因为E，F分别是BC，AC的中点，

所以AB//EF．

因为AC//A1C1，AF=12AC=12A1C1=DC1，

所以四边形AFC1D为平行四边形，

所以AD//FC1，

又因为AD⋂AB=A，FE⋂FC1=F，

所以ABD//平面FEC1．

解：(Ⅱ)因为AC=2，CB=1【解析】平面内两条相交直线与另一个平面平行，则平面与平面平行．

建立空间直角坐标系，利用坐标求解即可．

本题考查面面平行的证明以及线面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由C的右焦点为F(2,0)，可得c=2，

即a2−b2=4，

由点(2,3)在椭圆上，可得4a2+9b2=1，

解方程可得a=4，b=23，

所以双曲线的离心率为e=ca=12；

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知C的方程为x216+y212=1．

设【解析】(Ⅰ)由右焦点坐标可得c，由点(2,3)满足椭圆方程可得a，b的方程，结合a，b，c的关系式，解方程可得a，进而得到离心率；

(Ⅱ)联立直线21.【答案】解：(Ⅰ)小李每个科目每次考试合格的概率均为p(0<p<1)，且每个科目每次考试的结果互不影响，

由题意知f(p)=3p2(1−p)，0<p<1，

则f′(p)=−9p2+6p=3p(2−3p)，

当0<p<23时，f′(p)>0，

当23<p<1时，f′(p)<0，【解析】(Ⅰ)利用概率的求法公式可得f(p)=3p2(1−p)，再根据导数讨论单调性和最值；

(Ⅱ)(22.【答案】解：(Ⅰ)