第二课时复数乘方与除法

第二课时复数的乘方与复数的除法掌握复数代数形式的乘方和除法运算，掌握复数代数形式的四则运算.课标要求素养要求通过本节课的学习，发展数学抽象素养及数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.复数的乘方运算(1)zmzn＝__________；(2)(zm)n＝________；zm＋nzmn(3)(z1z2)n＝_________.i4n＝____，i4n＋1＝____，i4n＋2＝______，i4n＋3＝______

(n∈N*).2.i的乘方的周期性1i－1－i(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c＋di≠0，且c，d∈R)，3.复数的除法运算(2)复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.点睛复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后即得结果.②注意最后结果要将实部、虚部分开.

1.思考辨析，判断正误 (1)复数加减乘除的混合运算则是先乘除，再加减.()√×√×BBA.1＋i B.1－iC.－1＋i D.－1－i1课堂互动题型剖析2题型一复数代数形式的乘方运算【例1】计算下列各题：(2)(1＋i)4＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i2＝－4.(3)i＋i2＋i3＋…＋i100＝(i＋i2＋i3＋i4)×25＝0.进行复数的乘方运算时要灵活运用乘方的运算性质及一些常用的结论：(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(1±i)2＝±2i.思维升华解

(1)(1＋i)10＝[(1＋i)2]5＝(2i)5＝25·i5＝32i.题型二复数代数形式的除法运算A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.2－i(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(

)A.3＋5i B.3－5i C.－3＋5i D.－3－5iDA(2)∵z(2－i)＝11＋7i，思维升华题型三解复数方程【例3】

在复数集C内解方程z2－10z＋30＝0.

解

配方，得(z－5)2＝－5，思维升华【训练3】

解方程4z2＋1＝0.题型四复数运算的综合问题B解

由(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝a＋2b＋(b－2a)i为实数，∴b＝2a，又a2＋b2＝5，∴z＝1＋2i或－1－2i，思维升华由比较复杂的复数运算给出的复数求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式再写出其共轭复数.

解

由已知得(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝a＋2b＋(b－2a)i为纯虚数，又a2＋b2＝5，②∴z＝－2＋i或2－i，一、牢记3个知识点1.复数的乘方运算律.2.复数的除法运算.3.i的乘方的周期性.二、掌握3种方法1.分母实数化.2.配方法.3.求根公式法.三、注意1个易错点分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.

课堂小结分层训练素养提升3

A2.下列各式的运算结果为纯虚数的是(

)A.i(1＋i)2 B.i2(1－i)C.(1＋i)2 D.i(1＋i)解析由(1＋i)2＝2i为纯虚数知选C.CA.－1 B.1C.－i D.iA4.(1＋i)20－(1－i)20的值是(

) A.－1024 B.1024 C.0 D.512

解析(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10

＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.CABC二、填空题6.若复数z满足iz＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________.27.若x2＋x＋1－i＝0，则x＝____________.i或－1－i∴x＝i或x＝－1－i.－i－210.设复数z满足5＋z＝1＋3i，解

(1)由5＋z＝1＋3i，得z＝1＋3i－5，∴z＝－4＋3i，3经验证D符合.D13.已知关于x的二次方程x2＋(a＋bi)x＋c＝0(a，b，c∈R).(1)求方程有相异两实根的条件；(2)求方程有一实根一虚根的条件.解(1)设原方程的相异两个实根为α，β，∴α＋β＝－a，b＝0.当b＝0时，原方程化为x2＋ax＋c＝0，有相异两个实根的条件为a2－4c>0，b＝0.(2)设实根为m，虚根为z，则由根与系数的关系得mz＝c，因此m＝c＝0，方程化为x(x＋a＋bi)＝0，要使方程有虚根－a－bi，只有b≠0，综上，方程有一实根一虚根的条件是c＝0，b≠0.(1)求复数z；解

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2i＝a＋(b＋2)i，∵z＋2i为实数，∴b＋2＝0，解得b＝－2，∴z＝4－2i.