理科数学全国通用版一轮复习课时跟踪检测第12章第1节合情推理与演绎推理

第十二章推理与证明、算法、复数第一节合情推理与演绎推理A级·基础过关|固根基|1.(2019届南充一诊)按如图所示的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形“△”或“△”，则该图案共有()…A．16层 B．32层C．64层 D．128层解析：选B设该图案共有n层，则1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝1024，即n2＝1024，所以n＝25B．2．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．在古代是用算筹来进行计数的，表示数的算筹有纵、横两种形式，如图所示．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为()中国古代的算筹数码解析：选A由题意知，千位9为横式，百位1为纵式|，十位1为横式—，个位7为纵式，故选A．3．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为eq\f(b,a)和eq\f(d,c)(a，b，c，d∈N*)，则eq\f(b＋d,a＋c)是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，如果初始值取3.1<π，即eq\f(31,10)<π<eq\f(16,5)，则在此基础上使用三次“调日法”，得出的π的更为精确的近似分数值为()A．eq\f(22,7) B．eq\f(47,15)C．eq\f(63,20) D．eq\f(69,22)解析：选A第一次为eq\f(31＋16,10＋5)＝eq\f(47,15)，该值为π的一个不足近似分数值，即eq\f(47,15)<π<eq\f(16,5)；第二次为eq\f(47＋16,15＋5)＝eq\f(63,20)，该值为π的一个过剩近似分数值，即eq\f(47,15)<π<eq\f(63,20)；第三次为eq\f(47＋63,15＋20)＝eq\f(22,7)，该值为π的一个更为精确的过剩近似分数值．故选A．4．(2020届广州四校联考)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前N项和为M，满足：①N>80，②M是2的整数次幂，则满足条件的最小的N为()A．21 B．91C．95 D．101解析：选C由题意，数列分段给出，第n段是首项为1，公比为2的n项等比数列，因此前n段包含的项数为1＋2＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，这些项的和为20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋2n－1)＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2n＋1－n－2.设所求的N项中包含完整的n段等比数列以及第n＋1段等比数列中的项，则N＝eq\f(n（n＋1）,2)＞80，解得n≥13，n∈N＋，此时N＝91，M＝2n＋1－13－2＝2n＋1－15，不满足M是2的整数次幂；当N＝92时，M＝2n＋1－14，不满足M是2的整数次幂；…；当N＝95时，M＝2n＋1，此时满足M是2的整数次幂，故满足条件的最小的NC．5．(2019年全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是eq\f(\r(5)－1,2)(eq\f(\r(5)－1,2)≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A．165cm B．175cmC．185cm D．190cm解析：选B头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是eq\f(\r(5)－1,2)≈，可得咽喉至肚脐的长度小于eq\f(26,0.618)≈42(cm)；由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是eq\f(\r(5)－1,2)，可得肚脐至足底的长度小于eq\f(42＋26,0.618)＝110(cm)，即有该人的身高小于110＋68＝178(cm)．又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×≈65(cm)，即该人的身高大于65＋105＝170(cm)，故选B．6．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行．武汉市体育局为了让市民更多地了解军运会，并倡议大家做文明公民，准备组建A，B，C，D四个宣讲小组，开展丰富多彩的宣传和教育活动，其中甲、乙、丙、丁四人在不同的四个小组中，在被问及参加了哪个宣讲小组时，甲说：“我没有参加A和B小组．”乙说：“我没有参加A和D小组．”丙说：“我也没有参加A和D小组．”丁说：“如果乙不参加B小组，我就不参加A小组．”则参加C小组的人是________．解析：由题意知，丁参加A小组，则乙参加B小组，由乙、丙的说法知，丙参加C小组，则甲参加D小组．故参加C小组的人是丙．答案：丙7．(2019届厦门模拟)已知圆：x2＋y2＝r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比以上结论，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为________．解析：设圆上任意一点为(x0，y0)，把圆的方程中的x2，y2替换为x0x，y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方法，设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上任意一点为(x0，y0)，则切线方程为eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1(这个结论是正确的，证明略)．答案：eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝18．(2020届贵阳摸底)数式1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))中省略号“…”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式＝t(t＞0)，则1＋eq\f(1,t)＝t，t2－t－1＝0，取正值得t＝eq\f(\r(5)＋1,2).用类似方法可得eq\r(12＋\r(12＋\r(12＋…)))＝______．解析：根据已知代数式的求值方法，令eq\r(12＋\r(12＋\r(12＋…)))＝m(m＞0)，两边平方得，12＋eq\r(12＋\r(12＋\r(12＋…)))＝m2，即12＋m＝m2，解得m＝4(－3舍去)．答案：49．观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)；1＋3＋6＋…＋eq\f(1,2)n(n＋1)＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)；1＋4＋10＋…＋eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)＝eq\f(1,24)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)；…可以推测，1＋5＋15＋…＋eq\f(1,24)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝____________________．解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为eq\f(1,5×4×3×2×1)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝eq\f(1,120)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．答案：eq\f(1,120)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)10．(2019届黑龙江检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则____________成等比数列．解析：利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．答案：T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)B级·素养提升|练能力|11.(2019届广东七校联考)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是()A．33 B．34C．36 D．35解析：选B由题意可知，六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25B．12．(2019届南宁市联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是()A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．故选C．13．(2019届陕西西安测试)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为eq\f(n（n＋1）,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n；正方形数N(n，4)＝n2；五边形数N(n，5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n；六边形数N(n，6)＝2n2－n；…可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.解析：观察n2和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列．易知n2前的系数为eq\f(1,2)(k－2)，n前的系数为eq\f(1,2)(4－k)，则N(n，k)＝eq\f(1,2)(k－2)n2＋eq\f(1,2)(4－k)n，故N(10，24)＝eq\f(1,2)×(24－2)×102＋eq\f(1,2)×(4－24)×10＝1000.答案：100014．(2019届湖北八校联考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值