解说立体几何中的“坐标法”

解说立体几何中的“坐标法”江苏省姜堰中学张圣官（225500）空间直角坐标系是现行高中数学新增加的内容，在使用上就是把空间的点、向量先用坐标表示，然后利用坐标来计算有关角的大小与线段的长度，或者判断与证明线线、线面以及面面的位置关系。利用“坐标法”解（证）立体几何题，所作的辅助线明显比纯几何推理需要作的要少，且思路简单明了，更易于程序化来解题。用“坐标法”解题是数与形结合的典范，它特别适用于易于建立空间直角坐标系的图形（如正方体等）。下面分别介绍在空间直角坐标系中如何确定点的坐标、常见特殊点的坐标特点及利用“坐标法”解（证）立体几何题的步骤。一、如何确定空间点的坐标空间点的坐标是有序实数对（x,y,z）,其中的三数x,y,z包含坐标的符号与坐标的绝对值。要确定一个点的坐标，应先判断三个坐标的符号，然后再确定三个坐标的绝对值。1．点的坐标的符号判断点在坐标平面上的射影位于坐标轴的正方向,则这点对应的坐标的符号为正,否则符号为负。如点位于x轴正方向，则横坐标为正；点位于z轴负方向，则竖坐标为负。2．点的坐标的绝对值确定过这个点向三个坐标平面作垂线，看垂线段平行于哪个轴，则这条线段的长度就是该点的绝对值。如这条垂线段平行于y轴且长度为a,则点的纵坐标的绝对值是a；如这条垂线段平行于z轴且长度为a,则点的竖坐标的绝对值是a。二、 常见特殊点的坐标特点1．坐标轴上点的坐标的特点①x轴上的点的纵坐标和竖坐标均为0形如（a,0,0）；②y轴上的点的横坐标和竖坐标均为0，形如（0，a,0）；③z轴上的点的横坐标和纵坐标均为0,形如（0,0,a）。2．坐标平面上点的坐标的特点①X0Y平面上所有点的竖坐标是0,形如（a,b,0）；②Y0Z平面上所有点的横坐标是0,形如（0,a,b）；③ZOX平面上所有点的纵坐标是0,形如（a,0,b）。三、 利用“坐标法”解（证）立体几何题的步骤第一步,建立坐标系通常取垂直且相交于同一点的三条直线作为三条坐标轴,它们的交点作为原点,并选取适当的单位长度；第二步,表示点的坐标将题中相关点（即在问题中出现的且要求的点）用坐标表示,这一步是解（证）题的关键；第三步,表示向量的坐标根据点的坐标可以求出所需要的向量的坐标,即用向量终点的坐标减去起点的坐标；第四步,求出问题的解将点或向量的坐标代入公式（如两向量的夹角公式等）；第五步,作出结论根据上一步所求得的结果,作出问题的正确结论。［例题］如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,M是棱AA］的中点，点O是对角线BD1的中点。（1） 求证：BD］丄AC；（2） 求异面直线CM与BD1所成的角；（3） 求证：OM是异面直线AA1与BD1的公垂线；（4） 求异面直线AA1与BD1的距离。解：以D为原点，DC、DA、DD’所在的直线分别为角坐标系，则D（0,0,0),1 —F…/A（0，1，0），C（1，0,X、0)M（0,1，青），0（2’(1)BD=(-1,-1,1)，AC=(1,-1,0)，1•・•BD-AC=(-1)x1+(-1)x(-1)+1x0=01出J丘1y、z轴，建立如图所示空间直B（1，1，0），D1（0,0，1），・•・Bq丄AC，即BD1丄AC。（2）设异面直线CM与BD1所成的角为9,JCM=(-出),BD1=ii」)，所以co®CMBD1二（-co®CMBD1二（-1）x（-1）+1x（-叫灯二|CMJ12+12+1X\：1+12+12故异面直线CM与BD1所成的角为arcco写。(3)OM=(-2,0),AA=(0,0,1),BD=(-1,-1,1),因为OM因为OM・AA=0，OM・BD=0，11所以OM丄AA，0M丄BD】，即O