1.3.2三角与二项式系数的性质

1.3.2杨辉三角和二项式系数性质【教学目标】知识与技能：利用二项式定理得出二项式系数的一些性质，能运用二项式系数的性质解决一些简单问题。过程与方法：通过学习“杨辉三角〞的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法，培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力。情感态度与价值观：了解我国悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣。【重点与难点】重点：二项式系数的性质；难点：二项式系数的性质的应用。复习回忆:二项式定理及展开式:二项式系数通项计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:n(a+b)n展开式的二项式系数12345

611121133114641151010511615201561你发现了什么？11

121133114641151010511615201561上表写成如下形式:①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上〞两个数的和.杨辉三角这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的?详解九章算法?一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：杨辉(宋朝)在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡〔1623-1662〕首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当n=6时,其图象是7个孤立点f（r）r63O6152011.对称性

与首末两端“等距离〞的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：二项式系数的性质f（r）r63O6152012.增减性与最大值所以相对于的增减情况由决定．

二项式系数的性质由：

可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半局部是逐渐减小的,且中间项取得最大值。f〔r〕rnOOnf〔r〕n为奇数n为偶数当n是偶数时，中间的一项取得最大值.当n是奇数时，中间的两项和相等,且同时取得最大值3.最大值4.各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于同时由于，上式还可以写成：二项式系数的性质例1.证明:在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．=2n-1在展开式证明:得即所以赋值法即在(a+b)n

的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．练习.假设的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，求它的中间项.解：∵展开式中各项的二项式系数与该项的的系数相等∴由可得：2n-1=1024解得n=11，T6=462x-4，T7=462x∴有两个中间项分别为

一般地，展开式的二项式系数有如下性质：〔1〕〔2〕〔3〕当时，〔5〕当时，课堂小结（4）当n为偶数时，最大当n为奇数时，=

且最大

1、若展开式中前三项系数成等差

数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项。练习：的展开式中，无理项的个数是（）

A.83B.84C.85D.86B

2、在的展开式中，1）系数的绝对值最大的项是第几项？2）求二项式系数最大的项；3）求系数最大的项；4）求系数最小的项。练习：

余数是1，所以是星期六

4、今天是星期五，那么天后的这一天是星期几？课堂练习1.等于〔〕A.B.C.D.3.求的展开式中项的系数.4．那么的展开式中含项的系数是.2.，那么=；5.求值：课堂练习6的展开式中，无理项的个数是（）

A.83B.84C.85D.867.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50.=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a50x50(1)求展开式的各项系数和；(1)即求：a0+a1+a2+…+a50令x=1得：(2)求x的偶次幂项系数和.(2)即求：a0+a2+a4+…+a50令x=1得：a0+a1+a2+a3+…+a50=251-23令x=-1得：a0-a1+a2-a3+…+a50=0解:设:(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50a0+a1+a2+…+a50=251-23课堂练习证明:由课堂练习求证:n为偶数时，求证：证明:左边=