湖南省岳阳市湘临中学2022年高三数学文期末试卷含解析

湖南省岳阳市湘临中学2022年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列，则公差d等于

A．

B．

c．2D．一【知识点】等差数列D2参考答案：A由等差数列的性质可得a4+a8=2a6=10，解得a6=5，

又a10=6，∴a10-a6=4d=1,d=【思路点拨】由等差数列的性质可得a4+a8=2a6=10，可解得a6=5，可得数列的公差d.2.设全集则下图中

阴影部分表示的集合为

A.

B.

C.

D.参考答案：A集合，图中阴影部分为集合，所以，选A.3.复数（是虚数单位）的虚部是（

）A．

B.

C．1

D.参考答案：C4.若函数与函数在[]上的单调性相同,则的一个值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（

）A．-10

B．-3

C．4

D．5参考答案：A6.的值等于（

）A．

B．

C．1

D．2参考答案：A试题分析：．考点：二倍角公式，诱导公式．7.设集合，则A∩B=（

）A.(0,4) B.(1,4) C.(3,4) D.(1,3)参考答案：D【分析】求出集合A，直接进行交集运算即可.【详解】，故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.8.已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有为真命题答案：D9.已知偶函数f(x)满足，且当时，，关于x的不等式在区间[－200,200]上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D分析：由偶函数满足，可得函数周期为8，利用导数研究函数的单调性，画出函数图象，在[0,200]上有25个周期，且有150个整数解，每个周期内有6个解，由可得结果.详解：由，可知函数的对称轴为，由于函数是偶函数，,所以函数是周期为的周期函数，当时，，函数在上递增，在上递减，最大值，且，由选项可知，解得或，根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，没有整数解，根据函数为偶函数，在上有个周期，且有个整数解，也即每个周期内有个解，，故，解得，故选D.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．10.给定函数①，②，③，④，其中在上单调递减的个数为A.0

B.1个

C.2个

D.3个参考答案：C①为幂函数，，所以在上递减.②，在上递减，所以函数在，递减.③，在递增.④的周期，，在上单调递增，所以满足条件的有2个，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设直线，与圆交于A，B，且，则a的值是______．参考答案：10或－30因为，圆心为，半径为，，由垂径定理得，所以圆心到直线的距离为4．，，故填10或－30．12.已知向量满足，，.若对每一确定的，的最大值和最小值分别是，则对任意，的最小值是________________.参考答案：略13.设，直线和圆（为参数）相切，则a的值为

.参考答案：圆化为普通方程为，圆心坐标为，圆的半径为，由直线与圆相切，则有，解得.

14.若△ABC的三条边a，b，c所对应的角分别为A，B，C，且面积S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角A=．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据余弦定理得b2+c2﹣a2=2bccosA，根据三角形的面积公式S=bcsinA和题意求出tanA，根据A的范围和特殊角的三角函数值求出A的值．【解答】解：由余弦定理得，b2+c2﹣a2=2bccosA，因为S△ABC=（b2+c2﹣a2），所以bcsinA=×2bccosA，则sinA=cosA，即tanA=1，又0＜A＜π，则A=，故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围．15.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是____________．参考答案：略16.关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0至少有一个模为1的复数根，则实数a的所有可能值为

．参考答案：【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】原方程的根是实根与虚根讨论：（1）对于方程2x2+3ax+a2﹣a=0若方程有实根，（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ﹣isinθ，分别求出a的值，从而得到答案．【解答】解：（1）对于方程2x2+3ax+a2﹣a=0若方程有实根，则实根中有一个根为1或﹣1，△=9a2﹣8（a2﹣a）=a（a+8）≥0，得a≤﹣8或a≥0，将x=1代入方程，得2+3a+a2﹣a=0，即a2+2a+2=0，a无实根；将x=﹣1代入方程，得2﹣3a+a2﹣a=0，即a2﹣4a+2=0，得a=2±（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ﹣isinθ，△=9a2﹣8（a2﹣a）=a（a+8）＜0，得﹣8＜a＜0由韦达定理，有cosθ+isinθ+cosθ﹣isinθ=2cosθ=﹣a，得cosθ=﹣a，（cosθ+isinθ）（cosθ﹣isinθ）=cos2θ+sin2θ=1=（a2﹣a），即（a+1）（a﹣2）=0，?a=2或a=﹣1，a=﹣1时，cosθ=∈[﹣1，1]；a=2不在﹣8＜a＜0的范围内，舍去．∴a=﹣1故答案为：a=2±或﹣117.已知△ABC中，角C为直角，D是BC边上一点，M是AD上一点，且|CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB，则|MA|=

．参考答案：2【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形．【分析】设∠DBM=θ，在△CDA中，由正弦定理可得=，在△AMB中，由正弦定理可得=，继而可得=，问题得以解决【解答】解：设∠DBM=θ，则∠ADC=2θ，∠DAC=﹣2θ，∠AMB=﹣2θ，在△CDA中，由正弦定理可得=，在△AMB中，由正弦定理可得=，∴===，从而MA=2，故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数.（1）求的单调区间和最小值；（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．参考答案：【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．B11B12

【答案解析】（1）函数在上递增，在上递减，最小值为（2）4

解析：（1），。有，函数在上递增

…..3分有，函数在上递减

…..5分在处取得最小值，最小值为

…..6分（2）∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3，即mx≤2x?lnx+x2+3，又x＞0，∴，令，令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上递减当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上递增，∴h（x）max=h（1）=4．即m的最大值为4．【思路点拨】（l）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f（x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．19.设命题p：关于m的不等式：m2﹣4am+3a2＜0，其中a＜0，命题q：?x＞0，使x+≥1﹣m恒成立，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】通过解不等式先化简条件p，q；将条件p是q的充分但不必要条件转化为A?B，根据集合的包含关系，列出不等式组，解不等式组求出a的范围．【解答】解：解m2﹣4am+3a2＜0，a＜0，得：3a＜m＜a，由?x＞0，x+≥2=4，若?x＞0，使x+≥1﹣m恒成立，则1﹣m≤4，解得m≥﹣3，∵p是q的充分不必要条件，∴0＞3a≥﹣3，解得：﹣1≤a＜0，∴a的取值范围为[﹣1，0）．20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=，BC=，PA=2，点M在线段PD上． (Ⅰ)求证：AB⊥PC； (Ⅱ)若二面角M-AC-D的大小为45°，求AM的长．参考答案：解：(Ⅰ)证明：如图1，设E为BC的中点，连结AE， 则AD=EC，且AD∥EC，所以四边形 AECD为平行四边形，故AE⊥BC，又AE=BE=EC=， 所以∠ABC=∠ACB=45°，得AB⊥AC．因为PA⊥平面ABCD，ABì平面ABCD，所以AB⊥PA． 又PA∩AC=A，PAì平面PAC，ACì平面PAC， 所以AB⊥平面PAC，得AB⊥PC．……………4分 (Ⅱ)解法一：如图2，设AC与BD交于点O，连结OP，过点M作MN⊥AD于N，过点N作NG⊥AC于G，连结MG，则MN∥PA， 由PA⊥平面ABCD，得MN⊥平面ACD，所以MN⊥AC，故AC⊥平面MNG，得AC⊥MG， 所以∠MGN就是二面角M-AC-D的平面角，即∠MGN=45°．……………10分设MN=x，则NG=AG=x，所以AN=ND=， 可得M为PD的中点．连结PO交BM于H，连结AH， 由(Ⅰ)AB⊥平面PAC，所以∠BAH就是BM与平面PAC所成的角．

………12分 在△ABM中，AB=4，AM=PD=，BM=，所以， 又∠BAH与∠ABM互余，所以， 即BM与平面PAC所成的角的正弦值为．……………15分解法二：如图,3，以A为坐标原点，以射线AE、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系A-xyz，则，，，，，． 设，， 则，, 所以， 即，……………10分 设n=(x1,y1,z1)是平面AMC的一个法向量， 则， 令，得，即． 又m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量， 所以， 解得，即M为PD的中点，故，．……………13分 而是平面PAC的一个法向量，设BM与平面PAC所成的角为θ， 则， 故BM与平面PAC所成的角的正弦值为．……………15分 （其它建系方法类似给分）