1.3简单曲线的极坐标方程

1、圆的极坐标方程三、简单曲线的极坐标方程【教学目标】

知识与技能：掌握极坐标方程的意义,能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程,掌握直线的极坐标方程。过程与方法：通过例题与练习的学习培养学生归纳类比推理的能力,体会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化。

情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。使学生能品尝到成功的喜悦，激发兴趣，培养发散思维。

【重点与难点】

重点：极坐标方程的意义,直角坐标方程与极坐标方程的互化。

难点：极坐标方程的意义,直线的极坐标方程的掌握。

问题提出1.在极坐标系中，点M的极坐标是怎样构成的？点M的极坐标是极径ρ和极角θ组成的有序数对(ρ，θ).ρθMxO2.以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么点M的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ,θ)的互化公式是什么？x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.

3.在平面直角坐标系中，方程f(x，y)＝0是曲线C的方程应具备的条件是什么？〔1〕曲线C上任意一点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；〔2〕以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都在曲线C上.

在极坐标系中，对一条曲线C，它也有相应的极坐标方程.因此，如何建立曲线的极坐标方程，如何根据曲线的极坐标方程分析曲线的有关性质，也就成为一个需要研究的课题.O(0,π/2),A(2a,0)探究:圆的极坐标方程思考1：在极坐标系中，若半径为a的圆的圆心坐标为C(a，0)(a＞0)，则该圆与极坐标系的相对位置关系怎样？试画图表示.xOC思考2：设该圆与极轴的另一个交点为A，点M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，那么极径ρ和极角θ之间满足什么关系？Mθρρ＝2acosθ思考3：点O，A的极坐标可以分别是什么？它们都满足等式ρ＝2acosθ吗？A思考：由此可知，圆上任意一点的极坐标(ρ，θ)中至少有一个满足等式ρ＝2acosθ；反之，极坐标适合该等式的点都在这个圆上吗？都在这个圆上MθρxOCA思考：等式ρ＝2acosθ叫做圆C的极坐标方程.一般地，在极坐标系中，对于平面曲线C和方程f(ρ，θ)＝0，在什么条件下，方程f(ρ，θ)＝0是曲线C的极坐标方程？(1)曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0；(2)坐标适合方程f(ρ,θ)＝0的点都在曲线C上例1、圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？xOrM

＝r练习1:求以下圆的极坐标方程(１)圆心在极点，半径为2；

(２)圆心在Ｃ(a,0)，半径为a；

(３)圆心在(a,/2)，半径为a；

(４)圆心在Ｃ(0,０)，半径为r

＝2

＝2acos

＝2asin

2-2r0rcos(

-

０)

+

0

2-r2=0思考：一般地，求曲线的极坐标方程的根本步骤是什么？〔1〕建立极坐标系，设动点坐标；〔2〕找出曲线上的点满足的几何条件；〔3〕将几何条件用极坐标表示；〔4〕化简小结.下结论建立极坐标系设点〔,〕找

,的关系化简F(,)=0辨析:圆心在不同位置时圆参数方程和特征.练习4:以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是()C练习3:极坐标方程分别是r＝cosq和r＝sinq的两个圆的圆心距是多少?你可以用极坐标方程直接来求吗？〔〕C2、直线的极坐标方程三、简单曲线的极坐标方程探究:直线的极坐标方程

思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线OM的最小正角为450，则射线OM的极坐标方程是什么？过极点作射线OM的反向延长线ON，则射线ON的极坐标方程是什么？直线MN的极坐标方程是什么？M45°xON射线OM：；射线ON：；和思考2：假设ρ＜0，那么规定点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，那么上述直线MN的极坐标方程是什么？M45°xON或和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？可以考虑允许极径可以取全体实数。思考：设点P的极坐标为P，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。

解：如图，设点为直线上异于P的点连接OM，﹚oMxp在中有

即显然P点也满足上方程。﹚例1.设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。oxMP﹚﹚解：设点任意一点，连接OM为直线上除点P外的则由点P的极坐标知设直线L与极轴交于点A。则在由正弦定理得显然点P的坐标也是它的解探究：过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是什么？Mρθ当a＞0时，ρcosθ＝a；xOAxOAMρθ当a＜0时，ρcosθ＝－a.求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。OBAM(r，q)x1.与极轴垂直且与极点距离为a的直线的极坐标方程：几种特殊的直线的极坐标方程：2.与极轴反向延长线垂直且与极点距离为a的直线的极坐标方程：3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：A、两条相交的直线B、两条射线C、一条直线D、一条射线()B(