浙江省绍兴市新昌中学高三数学文期末试卷含解析

浙江省绍兴市新昌中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知(n∈N，n≥1)的展开式中含有常数，则n的最小值是（

）A、4

B、5

C、9

D、10参考答案：B略2.已知函数f（x）=有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．（，1） B．（，1） C．（0，1） D．（﹣∞，1）参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】令f（x）在（﹣2，0]上有2个零点，在（0，+∞）上有1个零点，根据函数类型及零点范围及个数列出不等式组，解出a的范围．【解答】解：∵f（x）由3个零点，∴f（x）在（﹣2，0]上有2个零点，在（0，+∞）上有1个零点．∴，解得＜a＜1．故选：A．【点评】本题考查了函数零点的个数判断，分段函数的应用，属于中档题．3.是定义在上的奇函数，其图象如图所示，令,则下列关于函数的叙述正确的是A．若,则函数的图象关于原点对称B．若,则方程有大于2的实根C．若,则方程有两个实根D．若,则方程有两个实根参考答案：B4.已知函数，在区间内任取两个数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A．[8,+∞)

B．(3,8]

C.[15,+∞)

D．[8,15]参考答案：C5.数列{an}的前n项和为Sn，若，则S5等于(

) A．1 B． C． D．参考答案：B考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用“裂项求和”即可得出．解答： 解：∵，∴…+==．∴．故选B．点评：熟练掌握“裂项求和”的方法是解题的关键．6.当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义；三角函数的化简求值．【分析】利用辅助角公式（和差角公式），可得y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），进而可得函数取最大值时，x的值．【解答】解：函数y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∵0≤x＜2π，∴当x﹣=，即x=时，函数取最大值，故选：B7.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为

A.

B．

C.

D.参考答案：A根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4，即PA⊥平面ABCD，PA=2。且底面梯形的面积为，所以.选A.8.若则的范围是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则y的表达式为（

）

A．y＝2sin()

B．y＝2sin()

C．y＝2sin(2x＋)

D．y＝2sin(2x－)参考答案：C10.设是定义在R上的函数，则下列叙述一定正确的是

（

）

A.是奇函数

B.是奇函数

C.是偶函数

D.是偶函数参考答案：【知识点】函数奇偶性的判定.

B4【答案解析】D

解析：对于选项A：设，则，所以是偶函数，所以选项A不正确；同理可判断：奇偶性不确定，是奇函数，是偶函数，所以选D.【思路点拨】依次设各选项中的函数为，再利用与关系确定结论.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线⊥平面，直线m平面，有下面四个命题：①∥⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥；④⊥m∥其中正确命题序号是

▲

．参考答案：①③略12.在极坐标系中，点M（2，）到直线l：ρsin（θ+）=的距离为．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式．.专题：计算题．分析：先求出点M和直线l的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求点M到直线l的距离．解答：解：点M（2，）的直角坐标为（1，），直线l：ρsin（θ+）=的直角坐标方程为x+y﹣1=0，∴点M到直线l的距离d==，故答案为．点评：本题考查极坐标和直角坐标的互化，点到直线的距离公式的应用，应用点到直线的距离公式求点M到直线l的距离是解题的关键．13.已知x，y∈R+，x+y=1，则的最小值为__________．参考答案：3考点：基本不等式．专题：转化思想；不等式的解法及应用．分析：首先，将所给的条件代入，转化为基本不等式的结构形式，然后，利用基本不等式进行求解．解答：解：∵x，y∈R+，x+y=1，∴+=+=++1≥2+1=3，故答案为：3．点评：本题重点考查了基本不等式问题，考查等价转化思想的灵活运用，属于中档题．14.（5分）（2015?安徽三模）已知锐角α，β满足3tanα=tan（α+β），则tanβ的最大值为．参考答案：考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正切公式化简可得tanβ==，再利用基本不等式求得它的最大值．解答：解：∵已知锐角A，B满足tan（α+β）=3tanA，∴tanα＞0，tanβ＞0，且，化简可得tanβ==≤=当且仅当时，取等号，故tanβ的最大值为．故答案为：点评：本题主要考查两角和的正切公式的应用，利用基本不等式求式子的最大值，属于中档题．15.如图，长为，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块与桌面成30°角，则点A走过的路程是

．参考答案：【考点】弧长公式．【专题】应用题；解三角形．【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转到A1，A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转到A2，A3是由A2以D为旋转中心，以∠A2DA3为旋转角，顺时针旋转到A3，最后根据弧长公式解之即可．【解答】解：第一次是以B为旋转中心，以BA==2为半径旋转90°，此次点A走过的路径是×2=π．第二次是以C为旋转中心，以CA1=1为半径旋转90°，此次点A走过的路径是×1=，第三次是以D为旋转中心，以DA2=为半径旋转60°，此次点A走过的路径是×=，∴点A三次共走过的路径是．故答案为：．【点评】本题主要考查了弧长公式l=|α|r，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．16.计算：=

．参考答案：17.复数的值是

。参考答案：答案：解析：复数=。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在多边形中，，，，，是线段上的一点，且，若将沿折起，得到几何体.（1）试问：直线与平面是否有公共点？并说明理由；（2）若，且平面平面，求三棱锥的体积．参考答案：解：（1）直线与平面没有公共点，理由如下：连接，交于点，连接．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴平面，即直线与平面没有公共点.（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，∵，平面，平面，∴平面，∴三棱锥的高等于点到平面的距离，即，∵，∴．

19.已知函数f（x）=ln（1+x）﹣mx．（I）当m=1时，求函数f（x）的单调递减区间；（II）求函数f（x）的极值；（III）若函数f（x）在区间[0，e2﹣1]上恰有两个零点，求m的取值范围．参考答案：（I）解：依题意，函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），当m=1时，f（x）=ln（1+x）﹣x，∴…（2分）由f'（x）＜0得，即，解得x＞0或x＜﹣1，又∵x＞﹣1，∴x＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．................4

（II）求导数可得，（x＞﹣1）（1）m≤0时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值．…（6分）（2）m＞0时，由于，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，从而．

…9（III）由（II）问显然可知，当m≤0时，f（x）在区间[0，e2﹣1]上为增函数，∴在区间[0，e2﹣1]不可能恰有两个零点．

…（10分）当m＞0时，由（II）问知f（x）极大值=，又f（0）=0，∴0为f（x）的一个零点．

…（11分）∴若f（x）在[0，e2﹣1]恰有两个零点，只需即，∴…（13分）20.（本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：视力数据4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人数

2

2

21

1

（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为、、、、．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于的概率．参考答案：（1）；（2）.试题分析：（1）平均数与一组数据里的每个数据都有关系，；（2）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（3)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（4）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.试题解析：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为考点：1、数据的平均数；2、利用古典概型求随机事件概率.21.已知椭圆的离心率是.（1）求椭圆C的方程；（2）已知F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B两点，直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M、N.如果为锐角，求k的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】（1）由题意，列出方程组，求得，即可得到椭圆的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量【详解】（1）由题意，椭圆的离心率是，可得解得，所以椭圆的方程为.（2）由已知直线的斜率不为0，设直线的方程为，直线与椭圆的交点为，.由得.由已知，判别式恒成立，且，.①直线的方程为，令，则.同理可得.所以将①代入并化简，得.依题意，角为锐角，所以，即.解得或.综上，直线的斜率的取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1上的任意一点到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离之和为2．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设椭圆C2：x2+=1，若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M，垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N．（i）求证：|MN|的最小值为；（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆定义可知曲线C1的轨迹是椭圆，设C1的方程为，由已知条件知2a=2，c=1，由此能求出曲线的方程．（Ⅱ）（ⅰ）当k=0，M为C2长轴端点，N为C1短轴的端点，|MN|=设直线OM：y=kx，代入x2+=1，得（2+3k）x2=2，由此能求出|MN|的最小值．（ⅱ）存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆．设Rt△MON斜边上的高为h，当k=0时，h=，当k≠0时，|OM|?|ON|=，由此能推导出存在以原点为圆心，半径为且与直线MN相切的圆，并能求出圆的方程．解答： 满分．（Ⅰ）解：由椭圆定义可知曲线C1的轨迹是椭圆，设C1的方程为，a＞b＞0，所以2a=2，c=1，则b=1，故的方程．…（Ⅱ）（ⅰ）证明：当k=0，M为C2长轴端点，则N为C1短轴的端点，|MN|=．…当k≠0时，设直线OM：y=kx，代入x2+=1，整理得（2+3k）x2=2，即x2=，y2=，所以|OM|2=x2+y2=．…又由已知OM⊥ON，