2、3插值拟合复习要点

第二章插值

/*Interpolation*/主要内容§2插值函数的特点及寻求方法§1插值的概念§4埃尔米特插值§3拉格朗日多项式§5分段低次插值§1概念/*Concept*/函数解析式未知，或计算复杂，用函数g(x)

去近似代替它，使得

g(xi)=f(xi)(i=0,…n),g(x)

f(x)

这类问题称为插值问题。函数g(x)称为插值函数。x0…xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间称为插值区间。g(xi)=f(xi)称为插值条件。x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)本章只讨论多项式的插值问题，即构造n次多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

使满足Pn(xi)=yi§2插值函数的特点和寻求方法插值函数的特点

它是几个函数的线性组合，有几个已知函数值，则有几项，每项的系数为已知函数值。

已知函数值前的函数叫形（状）函数，或叫基函数。(1)、形（状）函数值在节点处是“1”，在其它节点处是“0”。(2)、形（状）函数之和等于1。(3)、形（状）函数只描述函数（图象）的形状，而函数值则是形函数的幅值。

节点处的函数值是精确的，其它各点的值是近似的。

Important！插值函数的寻求方法

待定系数法

试凑法

混合法：试凑法和待定系数法相结合的方法。1.几个边界条件,插值函数就有几项.2.每一项由节点函数值和形函数构成.3.形函数在本节点的值为1,其它节点为0.§3

拉格朗日插值LagrangePolynomialn

1希望找到li(x)，i=0,…,n使得

li(xj)=

ij；然后令

==niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=

yi

。li(x)每个li有n个根x0…

xi…xn

=-=---=njj

ijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(

-==j

ijiiiixxCxl)(11)(LagrangePolynomial与有关，而与无关节点f

插值余项/*Remainder*/分子：哪个节点的形函数缺哪个坐标分母：哪个节点的形函数，哪个坐标在前Important！n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)n=2Important！§3LagrangePolynomial定理(唯一性)满足的n阶插值多项式是唯一存在的。注：假设不将多项式次数限制为n，那么插值多项式不唯一。例如也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。§4埃尔米特插值/*HermiteInterpolation*/不仅要求函数值重合，而且要求假设干阶导数也重合。即：要求插值函数(x)满足(xi)=f(xi),’(xi)=f’(xi),…,(mi)(xi)=f(mi)(xi).注：

N个条件可以确定阶多项式。N

1

要求在1个节点x0处直到m0

阶导数都重合的插值多项式即为Taylor多项式其余项为

一般只考虑f与f’的值。2n+2个条件，可确定2n+1次多项式。1概念/*Concept*/§4HermiteInterpolation例：设x0x1x2,f(x0)、f(x1)、f(x2)和f’(x1),求多项式P(x)满足P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且P’(x1)=f’(x1),并估计误差。模仿Lagrange多项式的思想，设解：首先，P

的阶数=3

+=213)()()()()(=0iiixhx1f’xhxfxP

h0(x)有根x1,x2，且h0’(x1)=0

x1是重根。)()()(22100xxxxCxh--=又:h0(x0)=1C0h2(x)h1(x)有根x0,x2

))()(()(201xxxxBAxxh--+=由余下条件h1(x1)=1和

h1’(x1)=0可解。与h0(x)完全类似。

(x)

h1有根x0,x1,x2

h1))()(()(2101xxxxxxCx---=

h1又:’(x1)=1C1

可解。其中hi(xj)=

ij,hi’(x1)=0,

(xi)=0,

’(x1)=1

h1

h1与Lagrange分析完全类似2

方法/*Method*/——混合法试凑待定系数§4HermiteInterpolation一般地，x0,…,xn处有y0,…,yn和y0’,…,yn’，求H2n+1(x)满足H2n+1(xi)=yi，H’2n+1(xi)=yi’。解：设

+=ni)()()(=0iixhxhyixH2n+1

n=0iyi’其中hi(xj)=

ij,hi’(xj)=0,

(xj)=0,

’(xj)=

ij

hi

hihi(x)有根x0

,…,xn,除了xi

外都是2重根)()()(2xlbxaxhii+=

由余下条件hi(xi)=1和

hi’(xi)=0可解a和b

(x)

hi有根x0

,…,xn,除了xi

外都是2重根

hi)()(ili2(x)xxcx-=

hi又:’(xi)=1c=1

hi)(x)(ili2(x)xx-=设则3推广/*Evolution*/§5分段低次插值/*piecewisepolynomialapproximation*/例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n越大，端点附近抖动越大，称为Runge现象Ln(x)

f(x)

分段低次插值§5PiecewisePolynomialApproximation

分段线性插值

/*piecewiselinearinterpolation*/在每个区间上，用1阶多项式(直线)逼近f(x):记，易证：当时，一致失去了原函数的光滑性。给定在上利用两点的y及y’构造3次Hermite函数导数一般不易得到。

分段Hermite插值

/*Hermitepiecewisepolynomials*/内容提要：函数逼近的概念最小二乘原理第三章函数逼近与曲线拟合/*ApproximationTheory*/用简单的函数P〔x〕近似地代替函数f〔x〕，是数值分析最根本的概念和方法之一。近似代替又称逼近，函数f〔x〕叫做被逼近函数，P〔x〕叫做逼近函数。插值法也是逼近的方法，不过，它要求逼近函数P〔x〕与被逼近函数f〔x〕在节点处有相同的函数值〔甚至导数值〕，但在非节点，误差可能很大，所谓龙格现象，就是一例。本章主要研究在逼近多项式次数确定为尽量低的情形下，使其逼近的误差在某种意义上到达最小。也就是要使计算简单，还有使逼近的精度尽可能地高。函数逼近的概念/*ApproximationTheory*/

第三章曲线拟合与函数逼近/*ApproximationTheory*/仍然是x1…xm;y1…ym,求一个简单易算的近似函数P(x)f(x)。但是①

m很大；②

yi本身是测量值，不准确，即yi

f(xi)这时没必要取P(xi)=yi,而要使P(xi)

yi总体上尽可能小。常见做法：

使最小/*minimaxproblem*/

太复杂

使最小不可导，求解困难

使最小/*Least-Squaresmethod*/最小二乘原理对为多项式情形定义：设f(x)在[a,b]上有函数表其中求一个m(<n)次多项式 使偏差 的平方和最小的方法称为最小二乘法xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn最小二乘原理按照极值理论，要使得R到达极小，必须有：称n次方程组为正那么方程组，通过它可以求出求解步骤由观测数据表中的数值，点画出函数粗略的图形从粗略图形中确定近似公式的函数类型通过最小二乘原理确定函数中