数学哲理性知识的内涵、特征与教学价值

数学哲理性知识的内涵、特征与教学价值

数学哲理性知识是指具有哲学思想和哲学意义的数学知识。数学的哲理性知识往往是表达数学思维的最深入和最复杂的内容，因此也是教育中最难发现的知识。数学家波尔达斯·德莫林斯(Bordas-Dcmoulins)说过:“没有哲学,固然难以得知数学的深度,然而没有数学,也同样无法探知哲学的深度,两者互相依存.”北大数学教育家张顺燕教授也指出:“数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法.”因此,数学学科的哲学探讨,对深化数学思想方法教学尤其重要.传统的数学观是静态的,人们往往把数学等同于数学知识(特别是“事实性结论”)的汇集,数学教学一味追求传授知识,重结果而轻过程,重视形式逻辑而忽视辩证逻辑,数学哲理性知识这一块往往被形式主义的海洋所埋没.从20世纪60年代起,随着数学观在数学哲学领域内的现代演变,即由静态转向动态,动态数学观的基本立场是:“数学主要地即应被看成人类的一种创造性活动.”据此观点,数学教学不应该唯一地去强调数学知识,更应该引导学生像数学家那样去思维,学数学就是做数学.在更宽泛的意义上讲,数学是一种文化,数学文化是一个以理性认识为主体的具有强烈认识功能的思想结构;数学的文化价值在于对人们良好思维习惯的养成,理性精神的培育具有重要作用.诚然,数学哲理性知识是聚焦数学思维与哲学思维的结点,挖掘数学哲理性知识的数学活动过程本身具有极好的思维训练价值;特别是对其间所使用的那些数学思想方法的哲学思考更富有文化教养功能.但是,因受“以考论教,分数等于质量”的传统教学评价意识和功利主义的教学观的影响,我国不少大学的数学教学依然以传授数学知识技能为宗旨,特别是近年来的大学扩招,学生的数学基础相对减弱,而搞课改又使公共数学课的课时越来越少,许多教师课堂教学无暇涉足对数学内容的哲学讨论;另一个原因是:不少教者对数学教学内容缺乏哲学思考的意识或思考不得法,虽言“数学是朴素的哲学”,但是对数学与哲学是如何联姻的、数学中如何产生哲理、如何引导学生挖掘这些哲理知识不得而知.因此,对数学的哲学认识依然是困扰数学教改的一道难题.应该承认,数学学科的的哲学探究是一个深沉的课题,本文仅就挖掘数学哲理性知识的数学辩证逻辑思维与辩证法教学这一主题发表拙见,抛砖引玉,不妥之处,敬请同仁批评指正.1数学思维升华数学哲理性知识可以说是数学与哲学联姻、形式逻辑思维与辩证逻辑思维交互作用的产物,更一般地说是数学思维升华的结晶.数学中凡是在辩证逻辑发生作用的地方,必然会产生哲理性知识.数学哲理性知识往往藏而不露,抽象思辨,只有学会矛盾分析,依靠哲学辩证思维方可挖掘.2辩证逻辑与形式思维规律《论语》讲:“工欲善其事,必先利其器.”欲挖掘教科书中的数学哲理性知识,首先要掌握辩证逻辑思维这一思考工具,学会矛盾分析法;只有结合具体案例,并在与形式逻辑思维的比较鉴别中方能对辩证逻辑思维方法理解透彻,否则在学习中感觉如坠云里雾里,一头露水.这是因为,变量数学与初等数学有着根本的差别:初等数学是常量数学,研究的是常量及固定的图形,因而是静态的,是在形式逻辑范围内活动的;它看问题的立场、观点是孤立的、静止的和片面的.而变量数学研究的是变量之间的依赖关系及不规则的图形,因而是动态的:它看问题的立场、观点则是联系的、运动变化的、因而是辩证的.初等数学与变量数学的关系,就像解剖学中解剖学与生理学,前者研究死的躯体,后者研究活的身体,初等数学只涉及固定和有限,而变量数学却包含了运动、变化和无限.因此,学习变量数学必须要运用辩证逻辑思维去理解它.事实上,形式逻辑研究人类凭其意识能察觉出来的或能描述出过程来的那部分思维活动.它以思维形式结构及其内在规律性为其主要研究对象.其思维规律有:同一律(指思维过程中,对象(问题)不变,概念不变),排中律(指思维的前提条件和思维过程都要防止模棱两可,保持明确清晰的思路),矛盾律(指思维过程或其中任一阶段皆不产生前后矛盾),充足理由律(在于保证思维结果推理结论的唯一性和准确性).形式逻辑的基本规律只能从一个侧面反映客观事物在质量及其属性方面的确定性,不能全面揭示客观事物的矛盾转化和连续变化,因而,它有片面性和局限性.另一方面,任何事物都具有相对静止或相对稳定的一面,所以又必须遵守和服从形式逻辑的基本规律.辩证逻辑是用辩证观点去认识客观世界结构规律的学科.所谓辩证观点就是辩证法,所谓辩证法就是用非静止的、动态的、灵活的、具体问题具体分析的方法和“二象”论的观点去认识客观对象.这里“动态”概念是指一种思想方法,不一定是指物质宇宙内的本原性运动.但有其运动属性下的,附加动力下的因果运动等.辩证逻辑规律有:对立统一律(又叫矛盾律),量变质变律,否定之否定律.形式逻辑只承认既得的概念、判断和推理的方式,只研究这些概念、判断和推理是否符合逻辑规则,辩证逻辑则把概念、推理、判断都看作是一种运动着的东西.辩证逻辑反映了概念、判断和推理的灵活性、可变性和辩证的矛盾性.在人的思维中,是要运用到形式逻辑思维的,然而那是在概念定了格之后才能研究它,只把概念看作认识的结果.而辩证思维则把它看作一个认识过程.如果借用常量与变量的概念来比喻,则一个人的思维原本是一个变量x,辩证逻辑正好刻画了变量的不断变化、发展的面目,而形式逻辑只在x取为某个值x0时才来研究它.辩证逻辑思维规律与形式逻辑思维规律的关系是:“前者是高级的思维规律,后者是低级的思维规律.”辩证逻辑思维规律是以形式逻辑思维规律为基础的,辩证逻辑思维规律是动态下的形式逻辑思维规律,而动态是由一个个静态组成的,由静态所表现和度量的,因而辩证逻辑思维规律在相对静态下时,就变成了静态下的形式逻辑思维规律了.形式逻辑思维规律是辩证逻辑从动态到静态后的有机的一环.微积分的数列极限的“ε-N”定义,就是刻画辩证逻辑思维:运动与静止对立统一规律的一个数学模型.定义中的ε具有确定性与任意性,因为ε的确定性,N在解静态的初等数学不等式|xn-a|<ε下而求得;在ε>0给定后,一个动态的极限过程被凝固成了一个静态的画面;另一方面,为了刻画nx与a的无限接近程度,ε又需要具有任意性,随ε的变化,就得到一系列静态的画面,这些画面的集合就构成了动态的极限过程,由此实现了一系列静态到动态的飞跃,实现了一系列有限向无限的飞跃.因此,数列极限ε-N定义的逻辑思维规律可以说是“变量静态下的形式逻辑思维规律”.3数学与哲学的知识方法—挖掘数学哲理性知识的方法——矛盾分析+哲学辩证思维3.1“二重性”思维中的“变”按照定积分的定义,积分限原本是确定的量,在此却改为变量;定积分本质是一个数值,在此却表示一个函数.在同一个表示式中x具有变与不变二重性,而且把作为积分上限的x和作为积分变量的x视为两个独立的量,这种观点正是辩证逻辑思维所具有的灵活性、可变性和辩证的矛盾性.在定义的结构中,就是利用了x的变与不变的二重性来刻画离散与连续、常量(定积分)与变量(积分上限函数)的矛盾转化.不难看出,“二重性”的思考是基于辩证逻辑思维,它与形式逻辑思维规律中同一律和矛盾律是背道而驰的.由于辩证逻辑是以客观事物的内在矛盾为核心而展开其全部内容,辩证逻辑要研究思维形式如何正确反映事物的运动变化,事物的内部矛盾、有机联系和转化等问题,因而,辩证逻辑思维是在概念的运动、变化、联系和对立统一中把握概念.“二重性”揭示的哲理是:世间万物总是处在运动变化之中,不变是相对的,变才是绝对的.3.2瞬时速度的推理与推理瞬时速度的概念本身是一个矛盾体,速度是表征物体运动快慢的物理量,如果没有时间间隔(即瞬时),物体就无法运动,从而也无法体现速度,而瞬时速度恰恰是没有时间的速度,这就是矛盾.由于形式逻辑是抽象逻辑,它不联系具体内容,无法产生时间间隔,因此形式逻辑思维对此无能为力.而辩证逻辑则是一种联系内容的逻辑,不同内容要用不同的方法进行分析研究,所以也就不能完全用相对独立于内容的形式语言来表达,因而具有非形式化的特征;因此,解决问题只有运用辩证逻辑思维,即先给一个时间间隔Δt,使运动成为可能,时间:t→t+Δt路程:ΔS=S(t+Δt)-S(t),暂时让Δt固定,应用匀速运动公式得时间段Δt内的平均速度:,最后抹去时间间隔造成的影响,即令Δt→0,取极限便得瞬时速度:.哲学地讲,瞬时速度的推算过程正是“否定之否定”的过程,即先由已知的近似值否定了未知的精确值;然后再由已知的精确值否定了已知的近似值.瞬时速度的推算过程也可以说是量变与质变的过程;有限与无限的矛盾转化过程.3.3拉格尔斯塔尔lrt的思想方法.求导函数f′(x)时,与求瞬时速度的思想方法类似,先给x以增量Δx,把x和Δx看作常量,做比值:再把x看作常量,Δx看作变量,令t=Δx则有当极限过程完成后得到f′(x),又把x看成了变量.求偏导函数时,变量y看作常量,而在整个函数F(x,y)和中,y本身却是变量.重积分的计算策略是:在直角坐标系下化重积分为累计积分.先是固定一个变量,不妨先固定x=x0得再让x0变为任意的x得最后对x积分得在运算中,Δx和x一会儿看成常量,一会儿又看成变量;y体现了变的一面,又有相对的、暂时的、不变性的一面,y有所为而有所不为,这种变量与常量互易法,反映了事物运动变化中的动态与静态的矛盾转化.其思想方法本质上就是一种辩证逻辑思维.因为辩证逻辑思维是把概念、推理、判断都看作是一种运动着的东西,认为概念还在发展变化之中;它着眼于概念的内在矛盾运动及其相互转化,研究思维形式如何正确反映客观事物的运动变化和内部矛盾,这里体现了辩证逻辑思维所具有的可变性和动态性.然而,这在形式逻辑思维规则中是行不通的,因为它违犯了同一律和矛盾律.换句话说,它违犯了初等数学所要求的概念的明确性和一义性规则.这正是大学新生思维困惑之所在.以静化动,从运动变化中理解数学对象的变化发展过程,动中寓静,从不变中把握数学对象的本质特征,动静转化,充分揭示运动形态间的相互联系,可以说是变量数学解决问题的主要策略和哲学智慧.微积分的研究对象充满了矛盾性和辩证性,揭示这些矛盾,促使矛盾转化,从而达到解决数学问题的目的,这体现了数学方法的辩证性.哲学地看,常量与变量互为存在的前提:“失去一方,另一方就不复存在,且在一定条件下转化.这种转化靠简明的数学形式语言得以实现.”4数学哲理性知识是培育知识产权、净化心灵的重要方式理性是人性的底蕴,理性也是人类发展的独特力量.法国哲学家帕斯卡(Pascal.Blaise)说“人是有思想的芦苇”,人是理性的存在物.数学是理性思维的产物,数学是人类思维的精致化,数学是孕育理性主义思想的摇篮.人类理性通过数学而引入.数学家、数学教育家克莱因(Klein.F)指出:“数学就为心灵做好了思考更高级思维形式的准备.通过使心灵抛弃对可感知和易逝事物的思考,而转向对永恒事物的沉思,这样数学就净化了心灵.”数学向我们展示的不仅是一门知识体系,一种科学语言,一种技术工具,而且数学还是一种思想方法,一种理性主义的思维范式和认识模式.在数学哲理性知识中不仅蕴含了人类必不可少的哲学信念,而且产生这些知识过程中的哲学思辨,哲理分析是理性思维的光辉典范;数学哲理性知识的教育价值就在于由它所引发的哲学思维中存在的理性精神.探究数学哲理性知识教学,其意义不只在于获得某些结论性的哲理知识,而且在于以这些知识为载体,通过对其产生过程的火热思考,揭示其间所使用的哲学辩证思维方法,解决学生的思维困惑;不仅能提高学生分析问题和解决问题的能力,而且还能帮助学生树立理性主义世界观、认识论和方法论;还学生一双哲学家的眼睛,激励他们去研究和欣赏身边的数学方面的有关哲学问题,养成良好的哲学思维品质,完善思维结构;进而通过学习数学哲理知识,领悟唯物辩证法,提升理性精神,促进理性发展.5数学的辩证思维—对数学思维教学的启示——重视哲学的思考+辩证逻辑思维由于变量数学领域到处充斥着矛盾运动,蕴涵着丰富的辩证法因素,只要拿起辩证逻辑这一思想武器,让思维的触角深入到哲学层面,就能征服蕴藏着无限财富的数学世界,领悟到深刻的哲学思想和辩证哲理.荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔(H.Freudenthal)说过:“真正能够起到思维训练作用的是数学方法而不是具体的体材,因而必须强调方法,并尽可能使之明确.”由此引发对思维教学的启示:世事万物都处在联系与不断变化之中,切不可用孤立的、静止的观点看待事物,在数学中更是这样.矛盾着的双方常相辅相成,在一定条件下相互转化.不难看出,变量数学中的所有静态的表达都是来自对变化的动态的考察,如果离开了变化,去孤立、静止地教和学,就违背了数学思维的辩证性.思维是数学的灵魂,数学是研究思维的学科,数学与哲学是紧密相关的学科.数学教学更应侧重于教会人们怎样思维.怎样哲学地思考,数学的计算也是为了更有效、更有说服力地思维.辩证逻辑思维是变量数学思想方法的主要力量;数学教学要善于洞察教科书形式逻辑表达的背后的辩证逻辑,克服只重视形式逻辑思维而不重视辩证逻辑思维的倾向;帮助和引导学生自觉去体会数学活动过程中所执行和使用的哲学辩证思维方法.数学思维教学的真谛,不只是让学生学到