解三角形练习题附答案

一、选择题1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于()A．B．C．D．2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定二、填空题3.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC，则△ABC面积的最大值为________．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为________．5.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA＝，求△ABC的面积．7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sinAsinB＝2＋.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．8.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c＝－3bcosA，tanC＝.(1)求tanB的值；(2)若c＝2，求△ABC的面积．9.在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC＋c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝，b＝4，求边c的大小．10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．（1）求角的值；（2）若角，边上的中线=，求的面积．11.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝，求△ABC的面积．13.如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．

答案解析1.【答案】A【解析】本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程，意在考查考生的转化能力与三角变换能力．由正弦定理可得，2asinB＝b可化为2sinAsinB＝sinB，又sinB≠0，所以sinA＝，又△ABC为锐角三角形，得A＝.2.【答案】B【解析】本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用．依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝，故选B3.【答案】【解析】∵＝＝＝2R，a＝2，又(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.∴＝＝＝cosA，∴A＝60°.∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，∴S△ABC＝·bc·sinA≤×4×＝.4.【答案】【解析】因为4sin2－cos2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，2＋2cosC－2cos2C＋1＝，cos2C－cosC＋＝0，解得cosC＝.根据余弦定理，有cosC＝＝，则ab＝a2＋b2－7，故3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，所以ab＝6，所以△ABC的面积S△ABC＝absinC＝×6×＝.5.【答案】【解析】题考查诱导公式、余弦定理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，所以sin＝，所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理得，BD＝＝＝.6.【答案】（1）；（2）【解析】(1)由题意得－＝sin2A－sin2B，即sin2A－cos2A＝sin2B－cos2B，sin＝sin.由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝.(2)由c＝，sinA＝，＝，得a＝.由a<c，得A<C，从而cosA＝，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，所以，△ABC的面积为S＝acsinB＝.7.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋，化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝，故cos(A＋B)＝－，所以A＋B＝，从而C＝.(2)因为S△ABC＝absinC，由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝.8.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由正弦定理，得sinC＝－3sinBcosA，即sin(A＋B)＝－3sinBcosA.所以sinAcosB＋cosAsinB＝－3sinBcosA.从而sinAcosB＝－4sinBcosA.因为cosAcosB≠0，所以＝－4.又tanC＝－tan(A＋B)＝，由(1)知，＝，解得tanB＝.(2)由(1)，得sinA＝，sinB＝，sinC＝.由正弦定理，得a＝＝＝.所以△ABC的面积为acsinB＝××2×＝.9.【答案】（1）；（2）2±.【解析】(1)用正弦定理，由acosC＋c＝b，得sinAcosC＋sinC＝sinB.∵sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinC＝cosAsinC.∵sinC≠0，∴cosA＝.∵0<A<π，∴A＝.(2)用余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.∵a＝，b＝4，∴15＝16＋c2－2×4×c×.即c2－4c＋1＝0.则c＝2±.10.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，由正弦定理得，即=sin(A+C)．因为B＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，所以．因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以，因为，所以．（2）由（1）知，所以，．设，则，又在△AMC中，由余弦定理得即解得x＝2.故11.【答案】（1）；（2）【解析】(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝.(2)由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sinBsinC＝sinA·sinA＝sin2A＝×＝.12.【答案】（1）；（2）【解析】(1)因为0＜A＜π，cosA＝，得sinA＝＝.又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝cosC＋sinC.所以tanC＝.(2)由tanC＝，得sinC＝，cosC＝.于是sinB＝cosC＝.由a＝及正弦定理＝，得c＝.设△ABC的面积为S，则S＝acsinB＝.13.【答案】（1）