灰色聚类方法的研究

灰色聚类方法的研究

传统的优化设计方法是根据选定的传输方案，确定合适的优化规模，选择合适的设计变量，建立正确的数学模型，然后进行必要的处理，将其转变为标准的数学规划问题。最后，使用优化方法进行求解。由于齿轮变速箱优化设计属多目标优化问题,而多目标优化问题的解法主要有两类,一类是把问题转化为一个或一系列简单目标求解,如平方加权法、功效系数法等;另一类是直接求出满意解,但无论哪一类方法都只能求出满意解。本文利用灰色系统理论的灰色聚类方法,在传统优化的基础上,求出了钻床齿轮变速箱优化问题的最满意解,与传统的满意解相比,问题得到了进一步的优化。1灰色聚类方法一个系统由许多因素组成,如果组成系统的因素明确,关系清楚,作用原理明了,这个系统是白色系统。如果系统信息完全缺乏,这样的系统为黑色系统。如果系统只有部分信息已知,这样的系统就是灰色系统。灰色系统理论利用关联分析、灰色聚类、灰色建模等信息加工手段,寻求系统内在的规律,用于预见系统的发展状态,调控系统的发展速度,实现系统物质和能量的优化组合。灰色聚类是研究灰色系统的一种分析、判断方法,他是建立在灰数的白化函数生成的基础上,将聚类对象对于不同的聚类指标所拥有的白化数,按几个灰类归纳,以判断该对象属于哪一类。如在钻床齿轮变速箱优化设计中,变速箱就是灰类对象,而要进行优化的目标,如功率、齿轮重量、中心距、箱体轴向尺寸、齿轮节圆最大线速度、齿轮强度等,即为灰类指标。用灰色聚类方法求多目标优化问题最满意解的程序框图如图1所示。从图1可以看出,用灰色聚类方法求解多目标优化问题,首先应通过传统优化方法求出多目标优化问题的若干个满意解,并用非线性方法求出理想解,然后通过灰色聚类求出最满意解。2钻床齿轮优化设计数学模型图2是一个有12级转速的钻床变速箱主传动系统的转速图,其额定转矩为196N·m,速度公比《=1.41。以该例讨论其优化设计模型。2.1最小传动比的确定钻床齿轮变速箱主传动系统包括3个变速组。一般情况下,同一变速组中的各个齿轮可取同一模数。由于3个变速组之间均有公用齿轮相联系,所有14个齿轮只能取相同的模数,所以取模数m作为设计变量之一。同一变速组的各级传动比ij成等比排列,速度公比《已知,因此只要知道ij中的任一个,其他传动比均可求出。故取第一、二变速组的最小传动比i1和i5作为两个设计变量。同一变速组各齿轮齿数zi都可以表示为最小主动轮齿数与相应传动比的函数。当有公用齿轮时,相邻变速组中的齿轮齿数也可用前一组最小主动齿轮的齿数表示,因此3个变速组中只有一个齿数是独立的。故可取最小主动齿轮的齿数z1作为设计变量。该主传动系统的4个设计变量写成向量形式为:X=[z1‚i1‚i5‚m]Τ2.2计目标及轮齿强度在齿轮变速箱设计中,对于齿轮传动部分的要求是:在满足给定的几何条件及各项传动质量指标的前提下,使其传递功率最大,箱体体积最小,变速箱重量最轻等等。于是相应的设计目标可表示如下。传递功率最大:min(-P)。齿轮体积或重量之和最小:min∑Vi或min∑Wi。中心距之和最小:min∑Ai。箱体轴向尺寸之和最小:min∑bi。齿轮节圆最大线速度最小:minvmax。轮齿的强度最好:minσF或minσH。其中:σF为齿根的弯曲应力;σH为齿面的接触应力。假设要求钻床变速箱主传动系统的体积最小和重量最轻,由于中心距是衡量这两项指标的综合指标,故可取中心距之和作为目标函数。由于变速箱有3个变速组,得:minf=3∑p=1Ap2.3传动比的约束齿轮变速箱优化设计的约束条件应包括几何约束和性能约束两类。该钻床变速箱主传动系统的约束条件共有8项,具体阐述如下。a.最小齿数约束:zi-17≥0,i=1,2,…,14。取无量纲形式,则有zi17-1≥0‚i=1‚2‚⋯‚14。b.模数约束。变速箱中的齿轮模数常取1.75≤m≤3,因此模数的约束为4m7-1≥0和1-m3≥0。c.传动比约束。通用机床的传动比一般在0.25~2之间,因此其传动比的约束为4ij-1≥0和1-ij2≥0‚j=1‚2‚⋯‚8。d.齿轮节圆线速度约束。为了抑制振动,降低噪声,齿轮节圆线速度v应小于允许速度[v]。取[v]=12m/s,则此约束为1-vi12≥0‚i=1‚2‚⋯‚14。e.齿根圆直径约束。为了保证轮毂有足够的强度,齿根圆和键槽底平面之间的距离一般不应小于2.5m,于是,此约束为(zi-2.5)md0i+2t1i+5m-1≥0‚i=1‚2‚⋯‚14式中:d0为轴孔直径;t1为键槽深度。f.最大齿顶圆直径约束。为了避免齿顶和相邻轴或轴上零件相互干涉,其间隙不应小于1mm。齿顶圆直径的约束为:1-(zi+2)m2aq-dq-2≥0i=1‚2‚⋯‚14式中:dq为相邻轴或轴上零件的外径;aq为与相邻轴之间的中心距。g.齿面接触强度约束。齿面接触应力σH应不大于许用接触应力[σH],每对齿轮的约束为:1-2?140z1jm[σΗ](i+1)3Μ1jΚjiBj≥0j=1‚2‚⋯‚7式中:M1为小齿轮的转矩,N·m;K为载荷系数;B为轮齿的接触宽度,mm。h.齿根弯曲强度约束。齿根弯曲应力σF应不大于许用弯曲应力[σF],故此约束为:1-2Μ1jΚjYjm2z1jBj[σF]j≥0j=1‚2‚⋯‚14式中Y为齿形系数。3求聚类矩阵灰色聚类求多目标优化问题最满意解通常按下列步骤进行。a.求样本矩阵(D)。设F1(x(1))λ,F2(x(2))λ,…,Fn(x(n))λ为求得n组满意解,即F1(x(1))λ=[f1(x(1))λ‚f2(x(1))λ‚⋯‚fm(x(1))λ]F2(x(2))λ=[f1(x(2))λ‚f2(x(2))λ‚⋯‚fm(x(2))λ]⋯Fn(x(n))λ=[f1(x(n))λ‚f2(x(n))λ‚⋯‚fm(x(n))λ]则样本矩阵为D=[f1(x(1))λf2(x(1))λ⋯fm(x(1))λf1(x(2))λf2(x(2))λ⋯fm(x(2))λ⋯⋯⋯⋯f1(x(n))λf2(x(n))λ⋯fm(x(n))λ]b.求转换样本矩阵,即象矩阵(d)。d=[d11d12⋯d1md21d22⋯d2m⋯⋯⋯⋯dn1dn2⋯dnm]当指标要求“越大越好”时,为dij=DijmaxiDij(i=1‚2‚⋯‚n；j=1‚2‚⋯‚m)当指标要求“越小越好”时,为dij=miniDijDij(i=1‚2‚⋯‚n；j=1‚2‚⋯‚m)当指标要求“适度”时,为dij=max(Dij‚D0)min(Dij‚D0)(i=1‚2‚⋯‚n；j=1‚2‚⋯‚m)c.求阈值及阈值矩阵(A)。A=[ρ1d(max)‚ρ2d(mean)‚ρ3d″(min)]。一般取ρ1=0.80,ρ2=1.0,ρ3=1.20。d(max)=maximaxjdijd(mean)=1mn∑i=1n∑j=1mdijd(min)=miniminjdij(dij≠0)d′(min)=miniminjdij(dij＞d(min))d″(min)=miniminjdij(dij＞d′(min))d.求标定聚类权矩阵(η)。ηjk=λjk∑j=1mλjk(j=1‚2‚⋯‚m)式中:λjk为fjk的阈值;fjk为第j个指标对于第k个灰类的白化函数值。e.求聚类矩阵(σik)。σik=∑j=1mfjk(dij)ηjkσik为所有指标的第i个聚类对象对于第k个灰类的灰色聚类权。f.求归一化聚类矩阵(σc)。g.求W矩阵及最满意解。W=σc×AΤ=(W1‚W2‚⋯‚Wn)Τ式中:W1,W2,…,Wn分别对应F1,F2,…,Fn的终合评分值,值最大者为最满意解,且满意解的优劣可根据数值的大小进行排列。4灰色聚类分析算法利用非线性方法求得的理想解为:F(x*)=[1.503‚0.621‚0.430‚18.679]利用直接法求得的4个满意解如下:F1=[2.457‚0.518‚0.320‚20.761]F2=[2.031‚0.615‚0.452‚21.234]F3=[1.750‚0.416‚0.331‚20.671]F4=[1.846‚0.396‚0.374‚21.402]利用灰色聚类方法求得:W=(0.543?2‚0.597?8‚0.679?4‚0.615?6)因为W3