矩阵理论第三章 特殊变换及其矩阵

第三章特殊变换及其矩阵§1、正规变换与正规矩阵正规变换（正规矩阵）可以说是对称变换（对称矩阵）、正交变换（正交矩阵）等的推广和抽象，即只关心永恒的主题----“对角化”的问题。这又一次体现出现代数学高度的抽象和统一。链接：《现代数学的特点与意义》，孙小礼、杜珣，《大学数学》，1992，2（或杜珣《现代数学引论》序言）或其他。两方阵互逆的条件是成立关系式从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限制，两矩阵是可交换矩阵。联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果再限定两矩阵互为转置，即要求成立，情况又如何？显然对称矩阵和反对称矩阵都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具有性质的矩阵就“一统江湖”，具有了统一性，我们称之为正规矩阵。对称矩阵最主要的性质是可以对角化，尤其是可以正交对角化，推广到正规矩阵后这个性质是否还能保留呢？定义1酉空间上的线性变换称为上的一个正规变换，如果存在的标准正交基及对角矩阵满足并称在标准正交基下的矩阵表示为正规矩阵。一、正规变换(NormalTransformation)定义2对于复方阵（或实方阵），如果存在酉矩阵或正交矩阵，使得或则称酉相似（或正交相似）于。显然过渡矩阵是酉矩阵（请试试自己证明一下）定理3正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是酉相似的。证明：设正规变换在的两组标准正交基和下的矩阵表示分别为，并设因为所以，结论成立。根据定理3，正规变换在任一标准正交基下的矩阵表示必定酉相似于对角阵。二、正规矩阵的等价定义100多年前(1909年)给出的Schur引理是矩阵理论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵计算中也具有相当重要的地位。并称为方阵的Schur分解。定理4(Schur引理)任何复方阵必酉相似于一个上三角阵。即存在酉矩阵，使根据Schur引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义。定理5方阵是正规的，当且仅当为证明这个结论，再给出一个引理。引理6满足的三角阵必是对角阵。证明对上三角阵，比较等式两边乘积矩阵在第行第列位置上的元素，并注意到，因此对，有当时，有可知对施行归纳法，可得，证毕。定理5的证明必要性。如果是正规矩阵，那么存在酉矩阵及对角阵，使得因此充分性。根据Schur引理，存在酉矩阵及上三角阵，使得显然当且仅当。根据引理6，是对角矩阵。故是正规阵。例7判断下列矩阵是不是正规矩阵：（1）实对称矩阵（）；（2）实反对称矩阵（）；（3）正交矩阵（）；（4）酉矩阵（）；（5）Hermite矩阵（）；（6）反Hermite矩阵（）；（7）形如的矩阵。定理8方阵是正规的，当且仅当与对角矩阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特征值。证明：必要性。如果是正规矩阵，那么存在酉矩阵及对角阵使得，即因此充分性。若有，显然可验证定理9与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵。证明：如果存在酉矩阵，使得，则定理10方阵是正规的，当且仅当有个两两正交的单位特征向量,即对应于不同特征值的特征子空间相互正交。证明：必要性。如果是正规矩阵，那么存在酉矩阵及对角阵使得，即因此充分性。若有个两两正交的单位特征向量，取即可。例11设为正规矩阵，且，则因为是正规矩阵，所以存在酉矩阵，使得再由，得因此，即，故从而，故课后思考1、实正规矩阵是否正交相似于实对角矩阵？2、实正规矩阵是否正交相似于复对角矩阵？3、实正规矩阵正交相似于什么样的“简单”矩阵？§2、Hermite变换及Hermite矩阵单从变换的角度我们很难把Hermite变换（对称变换）与正规变换联系起来，但从Hermite矩阵（对称矩阵）的定义，或者从Hermite矩阵（对称矩阵）都可对角化上却能找到两者的关联，这似乎可以作为数学的“奇异美”的一个例证。推广到酉空间，相应的矩阵称为Hermite矩阵，满足关系式既然矩阵与变换一一对应，那么Hermite矩阵以及实对称矩阵与什么样的变换对应呢？推广到酉空间，相应的矩阵称为Hermite矩阵，满足关系式既然矩阵与变换一一对应，那么Hermite矩阵以及实对称矩阵与什么样的变换对应呢？推广到酉空间，相应的矩阵称为Hermite矩阵，满足关系式既然矩阵与变换一一对应，那么Hermite矩阵以及实对称矩阵与什么样的变换对应呢？我们知道，实对称矩阵满足关系式任取，设则设在酉空间的一组标准正交基下的矩阵表示为且。定义1

设是酉空间（或欧氏空间）上的线性变换，称为上的Hermite变换（对称变换），如果对任意，都有并称在的任意一组标准正交基下的矩阵表示为Hermite矩阵（对称矩阵）。一、Hermite变换（对称变换）定理2

酉空间（或欧氏空间）上的线性变换是Hermite变换（对称变换）的充要条件是在的任意一组标准正交基下的矩阵满足所以从而证明：必要性。设在的一组标准正交基下的矩阵表示为。例3(方阵的Cartesian分解)任意复方阵可分解为其中都是Hermite矩阵。例4(正交投影变换)酉空间或欧氏空间中的任意向量在的子空间上的正交投影为，即有则沿到的正交投影变换既是Hermite变换，也是幂等变换()。证明：

对任意，同样有因此另外显然有这说明正交投影变换的矩阵表示（称为正交投影矩阵）既是Hermite矩阵也是幂等矩阵()正交投影变换的矩阵表示是什么样的矩阵呢？考虑正交投影注意到再联想到此投影的像空间，不难发现其基满足这说明正交投影变换的矩阵表示应该是由像空间的基与其转置相乘而得的矩阵？考虑正交投影注意到并且确实成立定理5(正交投影变换的矩阵表示I)酉空间或欧氏空间中的子空间由单位正交列矩阵（各列都是单位列向量，且两两正交）张成，即则沿到的正交投影变换可表示为证明：

按施密特正交化过程可知，存在另一个单位正交列矩阵，使得满足，则这里证明：

按施密特正交化过程可知，存在另一个单位正交列矩阵，使得满足，则因此对任意，有显然如果仅仅知道列满秩矩阵，显然的各列构成维子空间的一组基，那么根据QR分解可知，存在单位正交列矩阵和上三角矩阵，使得因此定理6(正交投影变换的矩阵表示II)酉空间或欧氏空间中的子空间由列满秩矩阵

的列向量张成，即则沿到的正交投影变换可表示为例7(斜投影变换)酉空间或欧氏空间中的任意向量有直和分解则沿到的斜投影变换是幂等变换()。定义8

设是酉空间（或欧氏空间）上的线性变换，称为上的反Hermite变换（或反对称变换），如果对任意，都有并称在的任意一组标准正交基下的矩阵表示为反Hermite矩阵（反对称矩阵）。定理9

酉空间（或欧氏空间）上的线性变换是反Hermite变换（或反对称变换）的充要条件是在的任意一组标准正交基下的矩阵满足例10(Cayley变换)方阵是实反对称矩阵，那么是非奇异的，并且Cayley变换矩阵是正交矩阵。证明：

因为，所以对任意的，有因此。对于由于，从而方程组只有零解，所以是非奇异的。由于所以从而可推出例11(广义特征值问题的Cayley变换)对于广义特征值问题，如果是所谓极点（pole),