第三章 矩阵的初等变换和方程组

第三章

矩阵初等变换

及线性方程组【主要内容】线性方程组应用介绍、矩阵的初等变换、矩阵的秩、线性方程组的解。一、线性方程组的应用解决经济分析中投入产出问题解决交通流量的分析问题配置营养食谱解决化学方程式的平衡问题解决小行星轨道问题解决电路网络问题进行地域人口预测进行石油勘探交通流量分析路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础.根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设计单行线，以免大量车辆长时间拥堵.550290600500370520680730ABCD

计算在4个交叉路口间车辆的数量.为了唯一确定未知流量，还需要增添哪几条道路的流量统计？在DC或CA路段设置一个公交站点,选哪个好?站?站?分析问题交通网络流量分析网络流模型网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划任务分派以及计算机辅助设计等众多领域.当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题时，线性方程组就自然产生了.例如，城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交通流量，电气工程师计算电路中流经的电流，经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等.大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千未知量和线性方程。网络流模型一个网络包含一组称为接合点或节点的点集，并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点流的方向在每个分支上有标示，流量也有显示或用变量标记.网络流的基本假设：(1)网络的总流入量等于总流出量(2)每个节点上流入和流出的总量也相等30x2x1分析问题交通流量建立模型550290600500370520680730ABCD

【建立模型】即就是线性方程组分析问题交通流量线性方程组建立模型模型求解【模型求解】求线性方程组的解解其增广矩阵该交通网络中未知路段的车流量为写成向量形式550290600500370520680730ABCD

计算在4个交叉路口间车辆的数量.为了唯一确定未知流量，还需要增添哪几条道路的流量统计？在DC或CA路段设置一个公交站点,选哪个好?站?站?分析问题交通流量线性方程组线性方程组求解建立模型模型求解23路901路10路3路26路10路3路站71234856380420380350290450480150思考求解线性方程组方程组是否有解?有解时,解的个数是多少?如何解?有多解时,这些解之间的关系如何?所得的解针对实际问题是否合理?无解时,如何找出最接近实际问题的近似解.第一节矩阵的初等变换一、消元法解线性方程组1.上述消元法解方程组的方法中,始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于0的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互交换）（以替换）（以替换）2．上述三种变换都是可逆的,称为方程组的同解变换．增广矩阵定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换

定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．矩阵之间的等价关系具有下列性质

矩阵初等行变换在本课程中的应用求解线性方程组求矩阵的逆矩阵求矩阵的秩求向量组的秩(第四章)判定向量组的线性相关性(第四章)增广矩阵二、阶梯形矩阵定义3例如:(1)可画出一条阶梯线,线的下方全为零.(2)每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面为该行的首非零元.例1将矩阵A化为行阶梯形矩阵:

行阶梯形矩阵练习1:将矩阵B化为行阶梯形矩阵:

定义4例如:解:例2练习2:将矩阵B继续化为行最简形矩阵:

初等变换法求逆阵(A|E)(E|A-1)初等行变换步骤：(1)构造n×2n矩阵(A|E)；(2)对(A|E)施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，此时，原矩阵A位置已化为单位矩阵E，而原右边E对应部分即为A-1.三、用矩阵初等变换求逆矩阵例3

解练习3:用矩阵初等行变换求逆矩阵

四、小结

第二节矩阵的秩一、矩阵的秩例1解例2解例3解计算A的3阶子式，另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！初等变换求矩阵秩的方法：

把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.练习:

练习3课本79页12题.二、矩阵秩的性质

三、小结矩阵的秩矩阵的最高阶非零子式的阶数即为该矩阵的秩.通常用下述方法求矩阵的秩:把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.第三节线性方程组的解线性方程组的矩阵表示一、线性方程组有解的判定条件问题：我们分齐次线性方程组(b=0)和非齐次线性方程组(b≠0)来讨论:对n元齐次线性方程组Ax=0有:(1)R(A)=n时,方程组只有零解;(2)方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩R(A)<n.

n元非齐次线性方程组Ax=b：无解的充要条件是R(A)<R(A,b);(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n;(3)有无限多解的充要条件是