物理学中的对称性问题

物理学中的对称性问题

双重性是人们通过改变自然来理解自然的概念。在自然界物质世界的运动进化过程中，它表现出不同的团体作用。在基础物理问题中,存在着广泛的对称性,如抛体运动的上升过程与下降过程的对称;地球自转与公转带来的白天、黑夜与一年四季的变化的对称;力学定律具有伽利略变换不变性的对称;晶体的点阵结构的对称;平面镜成像中物与像的对称;网络里电压和电流、阻抗和导纳的对称;正反粒子、波动性和粒子性的对称;信息论中信息输入与输出、狭义相对论中空间和时间的对称;电磁理论中电和磁的对称;描述电子在库仑场中运动的球函数等都体现了很高的对称性。此外,许多物理公式和图像都具有优美直观的对称性,如:基尔霍夫的电流方程组,用完美的对称、简洁的形式,奠定了电路网络的基础。哈密顿正则方程组也有很高的对称性,而麦克斯韦电磁方程组更显示了完美的对称———电场和磁场、时间和空间的对称性。其次物理学中还存在着繁多的守恒定律,无论是一般的还是局部的守恒定律,都表示了自然过程的基本性质和关系的一种稳定性、相对的不变性,而守恒常常离不开对称,因为根据诺特定理:每一种对称性均对应于一个物理量的守恒定律,反之亦然。运动定律的空间平移时间平移空间旋转的对称性分别对应着动量守恒、能量守恒、角动量守恒。而空间反演和电荷规范的对称性对应着宇称守恒定律和电荷守恒定律等。著名的数学物理学家韦尔认为:“对称是一个广阔的主题,在艺术和自然两方面都意义重大,很难找到可以论证数学智慧作用的更好的主题。”在各种物理问题的解决过程中,人们经常自觉或不自觉地使用对称性,在这些问题中,如果离开对称性,则有些求解是较为复杂的,而利用对称性来求解,就可以使复杂问题简单化。在现代物理学中,对称性更是研究现代物理前沿问题的一把钥匙,特别是在微观物理领域中,对称性已经成为研究物理问题的一种强有力的手段。1求它上升的最大高度在运动学中,常常要研究物体的上抛运动问题。假如有一个竖直上抛运动的物体,如图1所示,到达最高点的最后一秒内的高度是它上行到最大高度的15,求它上升的最大高度。对于这个问题,如果用通常的方法,用竖直上抛的运动方程规律来列出多个方程,然后去解联立方程组,则显得较为麻烦。现在,用对称性方法,先对这种上抛运动作一个简单分析。物体的上抛运动,在时间的反演变换下就变成了一个自由落体运动。由运动的对称性可知,物体作竖直上抛运动到达最大高度前的最后一秒钟上升的高度,正好就是物体作自由落体时最初一秒钟内落下的高度。因此,马上就可以得到物体最大高度为这样就使问题大为简化。2弹簧的对称作用考虑这样一个问题,如图2所示。这是两个物体,质量分别为m1和m2,两物体之间用一个倔强系数为k的弹簧连接起来,求需要多大的压力F加在m1上,才能在压力撤去后m1跳起来时,刚好把m2也提起来。对于这个问题,通常是用机械能守恒定律来进行求解的,但过程较为复杂。从这个物理体系的对称性上来分析,则十分简单明了。弹簧是一个具有对称性的物体,弹簧的对称性就是在用力压弹簧时,一松开后弹簧伸长,这相当于用同样大的力F去拉弹簧所产生的效果。为了使物体m1跳起来时下面物体m2刚好能被拉起来,这时弹簧发生的形变情况应该与用一个力f提起这个系统使下面物体m2刚好被拉起来一样,而这个力f至少要等于系统的重量,就是根据弹簧的对称性,F也至少应该为f,则有可见,不用去求解方程式,直接分析系统的对称性,就可以简单找到结果。3电场的影响有一个正三角形如图所示每个顶点上分别放置一个等量同号的电荷,求其中心的场强。由对称性分析可知,电场是一个矢量,每一个顶点上的电荷产生的场强,在大小上都是一样的,差别只在于方向上。而由于是正三角形,相邻两个电场矢量夹角均为120°,因此有由此还可以推广结论,在任意正多边形的每一个顶点上,分别放置等量同号的电荷,则在其中心的电场强度均为零。4求两端m、n间的总电阻在电路问题中,利用对称性分析,可以使问题得到大量简化,从而减少变量,化繁为简,使计算大为简化。考虑如图4所示的一个复杂电路问题,这是一个无穷长电路,求端点M,N间的总电阻。这是一个看起来较为复杂的电路,主要是由于电路具有无穷长,但从整个电路的对称性出发,可发现电路具有平移对称性,把M1,N1的左边电路去掉后,M1,N1间的总电阻还是等于M,N间的总电阻。因此,如果设M,N间的总电阻为R,则有解这个方程,可得可见,一个复杂的电路问题,用了对称性分析后,问题化为一个简单的问题了。5电位移的能量分布有一个点电荷q,以速度v(v<<c)作低速直线运动,求其空间的电磁场E和H。对于这个问题,首先注意到这个点电荷是在作低速运动(远小于光速c),这时可以认为点电荷周围的电场分布仍然保持着球对称的性质。因此,可以用这个点电荷作为球心,经过考察点作一个球面S,由于对称性,在这个球面上的任意一点D的大小都应该相等,方向与矢径r重合。所以,可得到所以,电位移矢量为于是,对于各项同性介质来说,电场为下面再考虑磁场问题。磁场分布应该具有轴对称性,对称轴与这个点电荷的速度v重合,如图5所示。以对称轴为轴线,过考察点作圆,这时圆的半径为根据麦克斯韦电磁方程组有用对称性来分析,在圆周上任一点,H的大小都应该相等,方向应该沿着圆周切线方向并按照右手定则由速度v来确定。这时有由于这里没有电流I,只有电荷运动激发出的磁场,取S为圆周的边缘,以r为半径的一个球冠,则有由于电荷的运动,角度α随着时间t变化,则有即有dtdα=rvsinα(15)这样一来可得到结合上述式子,可得到磁场H为写成矢量式为由此可见,从对称性出发,先分析整个物理系统的对称特点,就使问题的解决变的简单多了,如果用一般的电磁场方法去做,则会困难得多。6对整个刚体的旋转问题考虑一个刚体转动问题,如图6所示,有一个质量为M,半径为R的密度均匀的圆盘,在距圆心O为d的地方挖去一个半径为r的小圆,则这个圆盘就出现了一个空洞,求这个带有空洞的圆盘以过圆心O点并垂直于这个圆盘的Z轴的转动惯量。对于这个物体转动问题,要计算其转动惯量,一般是用转动惯量的定义式I=∫r2dm去对整个刚体进行积分运算,但由于这个刚体有一个小空洞,使得这一处地方很难进行积分运算,求解起来相当复杂。但从对称性的角度来看这个问题,就变得较为简单了。如果将空缺的小圆盘补上,则这个大圆盘就对O点完全对称了,空洞的圆盘重新作为一个完整圆盘,其转动惯量可设为I1,而小圆盘对自己圆心的转动惯量可设为I2,再考虑到小圆盘的平移对称性,应该还有一个因为平移的转动惯量I3,则这个带有空洞的圆盘以过圆心O点并垂直于这个圆盘的Z轴的转动惯量就为I=I1-I2-I3,整个刚体的转动问题变得很简单。将空缺圆盘视为一个新的完整圆盘,则其密度发生了变化,设其质量面密度分布为σ,则有则新的完整圆盘的转动惯量I1为小圆盘对于自身圆心的转动惯量I2为再考虑平移对称性问题,则有小圆盘平移的转动惯量I3为则整个圆盘的转动惯量I为由此可见,利用对称性分析,这个物体的转动惯量问题变得十分简单,不需要繁杂的数学积分运算,只需要简单的代数加减法就能解决问题了。7电动力学的物理中重要近50年来,粒子物理与场论飞速发展,而对称性的指引在其中起了决定性的作用。在粒子物理中,物理学家根据对称性预言并发现新粒子,正电子、欧米格负粒子和顶夸克等就是极好的例证。在场论中,对称决定相互作用。粒子之间的相互作用有电磁作用、引力作用、强作用、弱作用4种,它们的区别很大,电磁作用和引力作用是长程力,强作用和弱作用是短程力,它们的强度差别非常大,强作用最强,电磁作用次之,弱作用更次,引力作用最弱,在粒子物理中引力作用可以不考虑。对于电磁作用已经建立起量子电动力学它是物理学中最成功的理论。在这个理论中,力的传递者是电磁场,场的量子是光子,电磁作用是通过交换光子而传递的,光子的静质量为零,与电磁作用的长程性联系在一起。关于弱作用,在弱作用宇称不守恒基础上发展了弱作用的中间玻色子理论,认为弱作用是交换中间玻色子而传递的,中间玻色子的质量很大,与电磁作用中的光子不同,它是与弱作用的短程性联系在一起。人们研究发现,这4种相互作用所遵从的守恒定律不同,强作用具有的守恒量最多,电磁作用次之,弱作用更次,这表明它们具有的对称性是不同的。据此,杨振宁和米尔斯根据某种对称性提出了著名的杨-米尔斯场论,该理论的变换群决定了无质量的粒子(称为“规范玻色子”)的数目和性质,规范玻色子在粒子之间来回跳跃就产生了相互作用。不同的玻色子决定不同的相互作用,如光子决定电磁相互作用,W或Z玻色子决定弱相互作用,胶子决定强相互作用,而理论推测与实验研究表明,引力相互作用是由引力子决定的。对称性存在于物理学的基本规律之中,在研究许多物理问题时,从对称性或构造对称性的角度