热质传递过程的普适导热定律

热质传递过程的普适导热定律

0瞬态热传导方程的建立和完善发烧科学源于人类对冷和热现象本质的追求。追求热与冷现象本质的目的可能是人类最初对自然法则的追求之一。关于热的本质的认识,历史上曾有过激烈的争论,它们可归结为两类。一类是热的物质说或热质说,认为热是一种看不见、没有质量的流体,能渗入一种物质中,并可从高温物体流向低温物体,但其数量是守恒的。与其对应的一类是热的运动说或热动说,认为热是物体组成粒子永不停息的、无规运动的结果,它是一种特定的能量形式。由于热的物质说的内容与人们的直观观感和常识十分吻合,很容易为人们接受,而且基于热质说的观点物理学也取得了一系列非常重要的发现,例如布莱克发现了“比热”和“潜热”,瓦特根据布莱克理论改进了蒸气机,拉普拉斯和泊松找到了声速与比热比的关系,卡诺建立了热机效率的卡诺定理等,从而热质说在18世纪下半叶达到鼎盛时期。然而,由于热质说无法解释摩擦生热的现象,以及19世纪40年代,在焦耳精确测量了热功当量和建立了能量守恒与转化定律之后,热质说逐渐衰落,而热动说为大家所公认。现代的热学理论,包括热力学、传热学都是基于热动说的观点发展而来的。由于热是一种能量而不是某种流质,热学的研究方法与力学有很大的不同,正如傅里叶在他的专著中曾指出力学理论不能应用于热现象。随着高科技的发展,如脉冲激光的加热或焊接、超高频计算机芯片的发热,传热学中核心定律的傅里叶导热定律不再适用,近年来随着微纳技术的发展,发现在碳纳米管等低维材料中的稳态导热亦质疑傅里叶导热定律。实际上,因为基于傅里叶导热定律的瞬态热传导方程是抛物形的,因此出现热扰动传播速度无穷大的非物理现象。早在20世纪40年代就有学者试图从理论上对傅里叶导热定律进行修正。最早和最有代表性的是CATTANEO和VERNOTTE提出的热流定律式中,q为热流密度,∇T是温度梯度,K是导热系数,而τ是驰豫时间。他们引入了附加项τ∂q/∂t,从而使介质中的温度梯度不仅与热流有关,而且与热流与时间的变化率有关。式(1)称CV方程或CV模型。把此新的热流定律式(1)代入能量守恒方程得到的导热微分方程式为它是具有阻尼的波动方程,式中a=K/(ρcp)为热扩散系数(ρ为密度,cp为定压比热),tc=a/τ是热波的波速。可以看到,热扰动是以波的形式传递,传递的速度为有限值。还有很多学者[13,14,15,16,17,18]对快速瞬态的非傅里叶效应进行理论分析和数值模拟,试验研究由于难度很大而很少见,而且很难与理论分析结果作比较。然而,BAI等以及KÖRNER等指出基于CV模型的热波方程,当两个冷却波叠加时会产生负温度的非物理现象。因此CV模型并不能代表导热现象的一般规律。与以往的研究不同,不是通过增加附加项或作某些假定修正傅里叶导热定律,我们是从重新审视热的本质开始,在此基础上探索导热现象的一般规律。1能量与转速的关系热是组成物体分子无规运动的能量,但是根据爱因斯坦的质量与能量的概念是统一的思想,可以求得热能所当量的质量。爱因斯坦的质能关系式为式中,m是运动物体的相对性质量,m0是运动物体的静质量;v为物体的运动速度;c是真空中光的传播速度;E是运动物体的相对性能量,E0是静止物体的能量。当物体的运动速度远小于光速时,由于运动引起的物体的质量增量等于可以看到,质量增量就等于能量与光速平方的比值。由于气体中的分子热运动能或固体介质中的晶格振动热能本质上也是机械运动,所以可把机械运动的质能关系推广至热运动。热质与热能的关系为式中Eh是物体的内能,mh是热质,V是体积,ρh是物体的热质密度。因此,对于具有一定温度的物体,其内能(热能)所对应的质量即热质等于它与光速平方之比。2热质坚守方程热量即热质在介质中传递的快慢在现有文献中是以热流或热流密度来描述的,可以从热流密度中导出热量的运动速度式中q是热流密度,C为定容比热,T为温度,则ρCT是介质单位体积的热能,而u则是热量的运动速度。两边除以光速平方,即可得热质流密度式中ρh是热质密度,u=uh,是热量或热质的漂移速度。对于温差为(T1–T2)的无穷大平板的一维导热问题,热质守恒方程式为式中,uh1和uh2分别为高温和低温侧的热质漂移速度,ρh1和ρh2分别为高温和低温侧的热质密度。从式(8)可以看到虽然流进与流出平板的热质相等,但由于热质密度是温度的函数,所以流出平板的热质速度大于流进的速度,这表明热质是加速运动。3气体常数c基于热质概念,过增元等建立了固体介质中声子气(热质气)的状态方程式式中,ph是热质压力,R为气体常数,C是固体比热,γ是格留乃森系数。热质压力梯度就是推动热质运动的驱动力热质(声子气)运动时,由于声子之间的相互作用以及介质中的缺陷必然遇到阻力,由于热质宏观速度很小,阻力通常与速度成正比式中,β是阻力系数。4热质运动方程和一般热态导数法4.1热质惯性力由于引入了热质、热质速度和热质力等概念,从而可以用牛顿力学分析方法建立连续介质形式的热质动量守恒方程式对于一维导热问题,并把式(6)、(10)、(11)代入式(12)经整理后可得式中左边第1、2项代表热质速度随时间变化引起的热质惯性力,第3、4项代表速度随空间变化引起的惯性力。由于热量在介质中的传递本质上是热质的运动,而式(13)是由热质守恒与动量守恒方程导得的热质运动方程,因此它描述的是热量(热质)在介质中运动的普适规律,它就是普适导热定律。4.2傅里叶导热定律的物理意义热质运动方程式的左边代表了热质运动的惯性力,当热流密度不是很大,热流密度随时间的变化率不是很大时,惯性力可以被忽略,从而退化为傅里叶导热定律,即而且,从推导过程可以看到∂T/∂x代表了热质的驱动力,而q/K代表的是热质运动阻力,所以可以看到傅里叶导热定律的物理意义是驱动力与阻力的平衡。4.3惯性力退化后的cv模型对于热质运动方程式(13),如果忽略左边的第3、4项速度空间变化引起的惯性力,以及忽略第2项惯性力,则退化为CV模型的热流定律可见CV模型相当于只考虑了部分惯性力的影响。4.4密度对传热过程的惯性力对于稳态导热,方程式(13)中左边的时间项可以忽略时,热质运动方程退化为它表明当稳态导热的热流密度很大时(即热质速度很大时),速度空间变化引起的惯性力不能忽略,傅里叶导热定律也不再适用。这种情况在微纳米器件的导热中必需予以考虑。下图揭示了普适导热定律与特定条件下的导热规律的关系。5热质运动学模型(1)根据爱因斯坦的质能关系式可以确定物体热能所当量的质量称为热质,基于介质中的热量传递本质上是热质在介质中的运动,所以可以用牛顿力学的方法定量描述热量传递的基本规律