苏教版学高中数学必修五解三角形章末复习课讲义

利用正、余弦定理解三角形【例１】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝２acosB.（１）证明：A＝２B；（２）若△ABC的面积S＝eq\f（a２,４），求角A的大小．[解]（１）证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝２sinAcosB，故２sinAcosB＝sinB＋sin（A＋B）＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin（A—B）．又A，B∈（0，π），故0<A—B<π，所以B＝π—（A—B）或B＝A—B，因此A＝π（舍去）或A＝２B，所以A＝２B.（２）由S＝eq\f（a２,４），得eq\f（１,２）absinC＝eq\f（a２,４），故有sinBsinC＝eq\f（１,２）sin２B＝sinBcosB，因为sinB≠0，所以sinC＝cosB，又B，C∈（0，π），所以C＝eq\f（π,２）±B.当B＋C＝eq\f（π,２）时，A＝eq\f（π,２）；当C—B＝eq\f（π,２）时，A＝eq\f（π,４）.综上，A＝eq\f（π,２）或A＝eq\f（π,４）.解三角形的一般方法１已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.２已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角.３已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.４已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.１．（２0１9·全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asineq\f（A＋C,２）＝bsinA.（１）求B；（２）若△ABC为锐角三角形，且c＝１，求△ABC面积的取值范围．[解]（１）由题设及正弦定理得sinAsineq\f（A＋C,２）＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sineq\f（A＋C,２）＝sinB.由A＋B＋C＝１80°，可得sineq\f（A＋C,２）＝coseq\f（B,２），故coseq\f（B,２）＝２sineq\f（B,２）coseq\f（B,２）.因为coseq\f（B,２）≠0，故sineq\f（B,２）＝eq\f（１,２），因此B＝60°.（２）由题设及（１）知△ABC的面积S△ABC＝eq\f（\r（３）,４）a.由正弦定理得a＝eq\f（csinA,sinC）＝eq\f（sin１２0°—C,sinC）＝eq\f（\r（３）,２tanC）＋eq\f（１,２）.由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.由（１）知A＋C＝１２0°，所以３0°＜C＜90°，故eq\f（１,２）＜a＜２，从而eq\f（\r（３）,8）＜S△ABC＜eq\f（\r（３）,２）.因此，△ABC面积的取值范围是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs４\al\co１（\f（\r（３）,8），\f（\r（３）,２）））.判断三角形的形状【例２】在△ABC中，若B＝60°，２b＝a＋c，试判断△ABC的形状．思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状．[解]法一：（正弦定理边化角）由正弦定理，得２sinB＝sinA＋sinC.∵B＝60°，∴A＋C＝１２0°.∴２sin60°＝sin（１２0°—C）＋sinC.展开整理得eq\f（\r（３）,２）sinC＋eq\f（１,２）cosC＝１．∴sin（C＋３0°）＝１．∵0°<C<１２0°，∴C＋３0°＝90°.∴C＝60°，则A＝60°.∴△ABC为等边三角形．法二：（余弦定理法）由余弦定理，得b２＝a２＋c２—２accosB.∵B＝60°，b＝eq\f（a＋c,２），∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs４\al\co１（\f（a＋c,２）））２＝a２＋c２—２accos60°，化简得（a—c）２＝0．∴a＝c.又B＝60°，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．根据已知条件通常是含有三角形的边和角的等式或不等式判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系.判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.２．在△ABC中，若eq\f（bcosC,ccosB）＝eq\f（１＋cos２C,１＋cos２B），试判断△ABC的形状．[解]由已知eq\f（１＋cos２C,１＋cos２B）＝eq\f（２cos２C,２cos２B）＝eq\f（cos２C,cos２B）＝eq\f（bcosC,ccosB），得eq\f（cosC,cosB）＝eq\f（b,c）.可有以下两种解法．法一：（利用正弦定理，将边化角）由正弦定理得eq\f（b,c）＝eq\f（sinB,sinC），∴eq\f（cosC,cosB）＝eq\f（sinB,sinC），即sinCcosC＝sinBcosB，即sin２C＝sin２B∵B，C均为△ABC的内角，∴２C＝２B或２C＋２即B＝C或B＋C＝90°.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：（利用余弦定理，将角化边）∵eq\f（b,c）＝eq\f（cosC,cosB），∴由余弦定理得eq\f（\f（a２＋b２—c２,２ab）,\f（a２＋c２—b２,２ac））＝eq\f（b,c），即（a２＋b２—c２）c２＝b２（a２＋c２—b２）．∴a２c２—c４＝a２b２—b４即a２b２—a２c２＋c４—b４∴a２（b２—c２）＋（c２—b２）（c２＋b２）＝0，即（b２—c２）（a２—b２—c２）＝0．∴b２＝c２或a２—b２—c２＝0，即b＝c或a２＝b２＋c２.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.正、余弦定理的实际应用【例３】如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东３0°方向上8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西7５°方向上．已知AB＝５km.（１）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（２）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0．１km）（参考数据：eq\r（３）≈１．7３，sin7５°≈0．97，cos7５°≈0．２6，tan7５°≈３．7３，sin５３°≈0．80，cos５３°≈0．60，tan５３°≈１．３３，sin３8°≈0．6２，cos３8°≈0．79，tan３8°≈0．78）思路探究：（１）以BD为边的三角形为△ABD和△BCD，在△ABD中，一角和另外两边易得，所以可在△ABD中利用余弦定理求解DB.（２）以CD为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解．[解]（１）设BD＝xkm，则在△ABD中，由余弦定理得５２＝8２＋x２—２×8xcos３0°，即x２—8eq\r（３）x＋３9＝0，解得x＝４eq\r（３）±３．因为４eq\r（３）＋３>8，应舍去，所以x＝４eq\r（３）—３≈３．9，即这条公路的长约为３．9km.（２）在△ABD中，由正弦定理得eq\f（AD,sin∠ABD）＝eq\f（AB,sin∠ADB），所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝eq\f（AD,AB）·sin∠ADB＝eq\f（４,５）＝0．8，所以cos∠CBD＝0．6．在△CBD中，sin∠DCB＝sin（∠CBD＋∠BDC）＝sin（∠CBD＋7５°）＝0．8×0．２6＋0．6×0．97＝0．79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×eq\f（BD,sin∠DCB）≈３．9．故景点C与景点D之间的距离约为３．9km.正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中目的是发现已知量与未知量之间的关系，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.３．如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方２0km和５４km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8s后监测点A,２0s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是１．５km/s.（１）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；（２）求静止目标P到海防警戒线a的距离（精确到0．0１km）．[解]（１）由题意得PA—PB＝１．５×8＝１２（km），PC—PB＝１．５×２0＝３0（km）．∴PB＝x—１２，PC＝１8＋x.在△PAB中，AB＝２0km，cos∠PAB＝eq\f（PA２＋AB２—PB２,２PA·AB）＝eq\f（x２＋２0２—x—１２２,２x·２0）＝eq\f（３x＋３２,５x）.同理cos∠PAC＝eq\f（7２—x,３x）.∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴eq\f（３x＋３２,５x）＝eq\f（7２—x,３x），解得x＝eq\f（１３２,7）.（２）作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·eq\f（３x＋３２,５x）＝eq\f（３×\f（１３２,7）＋３２,５）≈１7．7１（km）．所以静止目标P到海防警戒线a的距离为１7．7１km.与三角形有关的综合问题[探究问题]１．如图所示，向量eq\o（AB,\s\up１２（→））与eq\o（BC,\s\up１２（→））的夹角是∠B吗？在△ABC中，两向量eq\o（AB,\s\up１２（→））·eq\o（AC,\s\up１２（→））的数量积与余弦定理有怎样的联系？[提示]向量eq\o（AB,\s\up１２（→））与eq\o（BC,\s\up１２（→））的夹角是∠B的补角，大小为１80°—∠B，由于eq\o（AB,\s\up１２（→））·eq\o（AC,\s\up１２（→））＝|eq\o（AB,\s\up１２（→））|·|eq\o（AC,\s\up１２（→））|cosA＝bccosA.所以eq\o（AB,\s\up１２（→））·eq\o（AC,\s\up１２（→））＝bccosA＝eq\f（１,２）（b２＋c２—a２），有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题．２．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？[提示]用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论．【例４】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知eq\o（BA,\s\up１２（→））·eq\o（BC,\s\up１２（→））＝２，cosB＝eq\f（１,３），b＝３．求：（１）a和c的值；（２）cos（B—C）的值．思路探究：（１）由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解．（２）由（１）结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解．[解]（１）由eq\o（BA,\s\up１２（→））·eq\o（BC,\s\up１２（→））＝２得cacosB＝２．又cosB＝eq\f（１,３），所以ac＝6．由余弦定理，得a２＋c２＝b２＋２accosB.又b＝３，所以a２＋c２＝9＋２×6×eq\f（１,３）＝１３．解eq\b\lc\{\rc\（\a\vs４\al\co１（ac＝6，,a２＋c２＝１３，））得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs４\al\co１（a＝２，,c＝３））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs４\al\co１（a＝３，,c＝２．））因为a＞c，所以a＝３，c＝２．（２）在△ABC中，sinB＝eq\r（１—cos２B）＝eq\r（１—\b\lc\（\rc\）（\a\vs４\al\co１（\f（１,３）））２）＝eq\f（２\r（２）,３），由正弦定理，得sinC＝eq\f（c,b）sinB＝eq\f（２,３）×eq\f（２\r（２）,３）＝eq\f（４\r（２）,9）.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝eq\r（１—sin２C）＝eq\r（１—\b\lc\（\rc\）（\a\vs４\al\co１（\f（４\r（２）,9）））２）＝eq\f（7,9）.于是cos（B—C）＝cosBcosC＋sinBsinC＝eq\f（１,３）×eq\f（7,9）＋eq\f（２\r（２）,３）×eq\f（４\r（２）,9）＝eq\f（２３,２7）.１．（变条件，变结论）将本例中的条件“a>c，eq\o（BA,\s\up１２（→））·eq\o（BC,\s\up１２（→））＝２，cosB＝eq\f（１,３），b＝３”变