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第4章指数函数与对数函数41指数

什么是n次方根？【温故】我们知道，如果，那么叫做的平方根例如，±2就是4的平方根如果，那么叫做的立方根如2就是8的立方根类似地，由于±24=16，我们把±2叫做16的4次方根

一般地，如果，

其中，n＞1，且n∈N*正数有两个平方根，一个算术平方根；0有一个平方根，一个算术平方根；负数没有平方根那么叫做的n次方根，n次方根的性质

【2】当n是偶数时，正数的n次方根有两个，次方根用表示，负的n次方根用表示两者也可以合并成例如

【3】负数没有偶次方根【4】0的任何次方根都是0记作：

因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意实数的偶次方是非负数【1】当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.

这时，a的n次方根用符号表示.例如

什么是根式？【定义】式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数

根指数被开方数根据n次方根的定义，可得：，比如：【1】一般读作“n次根号a”

【2】当a＜0且n为偶数时，在实数范围内没有意义

什么是根式？【探究】表示的n次方根，一定成立吗？

【结论】①当n为奇数时，

②当n为偶数时，

是实数的n次方，在有意义的前提下，实数的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结果恒等于

1234【1】求下列各式的值【解】12

34

有限制条件的根式化简分数指数幂是什么？【探究】根据n次方根的定义和运算，我们知道，也就是说，当根式的被开方数看成幂的形式能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式

【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？【设想】把根式表示为分数指数幂的形式时，例如把写成下列形式：

我们希望整数指数幂的运算性质，如：，对分数指数幂同样适用

分数指数幂是什么？【定义】由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是：

于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿

我们规定，

例如，

我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义不可以显然不是半个相乘，它的实质是根式的另一种写法，如在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同分数指数幂是什么？【问题1】可以理解为个相乘吗？

【问题2】分数指数能约分吗？不能随意约分因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如约分后变成了，而在实数范围内无意义

分数指数幂的运算性质

时运算法则不一定成立研究的一般性要求：，此时法则一定成立

12【1】求下列各式的值【解】1

2

12【2】求用分数指数幂表示下列式子【解】12

【3】计算下式的值【解】

什么是无理数指数幂？【定义】一般地，无理数指数幂为无理数是一个确定的实数这样，我们就将指数幂中的指数的范围从整数逐步拓展到了实数，实数的指数幂是一个确定的实数

【指数幂的拓展顺序】正整数指数幂负整数指数幂零次幂整数指数幂分数指数幂有理数指数幂无理数指数幂实数指数幂无理数指数幂的运算实质【定义】一整数指数幂的运算性质也适用于实数指

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