独立性检验的基本思想及其应用

32独立性检验的基本思想及其初步应用1．上节学习了回归分析的基本方法．线性回归模型y＝b＋a＋e不同于一次函数y＝b＋a，含有__________，其中为________，y为________．复习样本点的中心随机误差e解释变量预报变量残差平方和3相关指数：1在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数r的平方2R2取值越大（越接近1），则残差平方和越小，即模型的拟合效果越好实际上就是：|r|越大，则|e|越小★其中：4新课独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响等等？

吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是

在吸烟者中患肺癌的比重是

说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。054%228%探究不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计98749199651、列联表2、三维柱形图3、二维条形图不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟080007000600050004000300020001000从三维柱形图能清晰看出各个频数的相对大小。从二维条形图能看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通过图形直观判断两个分类变量是否相关：不吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例4、等高条形图等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。某企业为了考察同一种产品在甲、乙两条生产线的产品合格率，同时各抽取100件产品，其中甲线中合格产品的个数为97，乙线中合格产品的个数为95。请做出列联表，三维柱形图与二维条形图。练习合格不合格总计甲生产线973100乙生产线955100总计19282001．2×2列联表是传统的调查研究中最常用的方法之一，用于研究两个变量之间相互独立还是存在某种关联性，它适用于分析两个变量之间的关系．2．在实际问题中，判断两个分类变量的关系的可靠性时，一般利用随机变量2来确定，而不利用三维柱形图和二维条形图．练习：1下面是一个2×2列联表则表中a、b处的值分别为 A．94、96 B．52、50C．52、59 D．54、52

Cy1y2合计x1a2173x272027合计b411002．用2统计量进行独立性检验时，使用的表称为____________，要求表中的四个数据____________．

2×2列联表均大于5某学校对学生课外活动内容进行调查，结果整理成下表：利用图形判断学生课外活动的类别与性别是否有关系？体育文娱总计男生212344女生62935总计275279某等高条形图如图所示．由图可以直观地看出喜欢体育还是喜欢文娱在性别上有较大差异，说明课外活动的类别与性别在某种程度上有关系．

上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题。

现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设H0：吸烟与患肺癌没有关系不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表

用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于PAB=PAPB因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；

|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好为事件AB发生的频数；ab和ac恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量（1）

若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则2应很小。根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到2的观测值为：那么这个值到底能告诉我们什么呢？（2）

独立性检验在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率

即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。

也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量2进行多次观测，观测值超过6635的频率约为001。思考

答：判断出错的概率为001判断是否成立的规则如果，就判断不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断成立，即认为吸烟与患肺癌有关系。独立性检验的定义

上面这种利用随机变量2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。在该规则下，把结论“成立”错判成“不成立”的概率不会差过即有99%的把握认为不成立。独立性检验的基本思想（类似反证法）(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下我们所构造的随机变量K2

应该很小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定可信程度上说明不成立.即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对的充分证据。3根据随机变量2的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设合理的程度为99%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99%在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6367.87910.828具体作法是：(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值；(2)利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量的观测值；(3)如果，就以的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据。0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828上面这种利用随机变量2来确定在多大程度上可以认为”两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法要确认”两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设结论”两个分类变量没有关系”2应该很小,如果由观测数据计算得到的2的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理总计aba+bcdc+d总计a+cb+da+b+c+d若要推断的结论为H1:”与Y有关系”,可如下操作:1通过三维柱形图和二维条形图,可以粗略地判断两个变量是否有关系,但是这种判断不精确总计aba+bcdc+d总计a+cb+da+b+c+d不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d主对角线副对角线1在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积ad与副对角线上两个柱形高度的乘积bc相差越大,H1成立的可能性就越大2利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,

并且能较精确地给出这种判断的可靠程度具体做法是:根据观测数据计算由给出的随机变量K2的值k,其值越大,说明”X与Y有关系”成立的可能性越大.当得到的观测数据a,b,c,d都不小于5时,可以通过查表来断言”X与Y有关系”的可信程度分类变量和列联表1分类变量变量的不同“值”表示个体所属的_________，像这样的变量称为分类变量．2列联表①定义：列出的两个分类变量的_______，称为列联表．②2×2列联表一般地，假设两个分类变量和Y，它们的取值分别为{1，2}和{y1，y2}，其样本频数列联表称2×2列联表为自学导引1．不同类别频数表y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d想一想：如何理解分类变量？提示1这里的“变量”和“值”都应作为“广义”的变量和值来理解．例如：对于性别变量，其取值有“男”和“女”两种，这里的“变量”指的是“性别”，这里的“值”指的是“男”或“女”．因此，这里说的“变量”和“值”不一定是取具体的数值．2分类变量是大量存在的．例如：吸烟变量有吸烟与不吸烟两种类别，而国籍变量则有多种类别．独立性检验2．定义利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验公式K2＝_______________________其中n＝___________具体步骤①根据实际问题的需要，确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α.然后查表确定_________②利用公式计算随机变量K2的_________③如果_______，就推断“X与Y有关系”，这种推断_____________不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中_________________支持结论“X与Y有关系”a＋b＋c＋d临界值0观测值犯错误的概率没有发现足够证据≥0独立性检验临界值表P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828想一想：在2运算时，在判断变量相关时，若2的观测值＝56632，则P2≥6635≈2≥10828≈0001，哪种说法是正确的？提示两种说法均正确．P2≥6635≈001的含义是在犯错误的概率不超过001的前提下，认为两变量相关；而P2≥10828≈0001的含义是在犯错误的概率不超过0001的前提下，认为两变量相关．3题型一有关“相关的检验”

某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：试用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？【例1】体育文娱总计男生212344女生62935总计275279

可用数据计算2，再确定其中的具体关系．解判断方法如下：假设H0“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，若H0成立，则2应该很小．∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，且P2≥7879≈≈8106超过7879，这就意味着：“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立的可能性小于0005，即在犯错误的概率不超过0005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”．

为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查得到如下数据：【变式1】成绩优秀成绩较差总计兴趣浓厚的643094兴趣不浓厚的227395总计86103189判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？

为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？要在选报文、理科与对外语有无兴趣之间有无关系作出判断，可以运用独立性检验的方法进行判断．题型二有关“无关的检验”【例2】解列出2×2列联表理文总计有兴趣13873211无兴趣9852150总计236125361规律方法运用独立性检验的方法：1列出2×2列联表，根据公式计算2的观测值2比较与0的大小作出结论．

某教育机构为了研究人具有大学专科以上学历包括大学专科和对待教育改革态度的关系，随机抽取了392名成年人进行调查，所得数据如下表所示：【变式2】

支持教育改革情况学历积极支持教育改革不太赞成教育改革总计大学专科以上学历39157196大学专科以下学历29167196总计68324392对于教育机构的研究项目，根据上述数据能得出什么结论．

某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸单位：mm的值落在2994,3006的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：甲厂

题型三独立性检验的基本思想【例3】分组[29.86，29.90)[29.90，29.94)[29.94，29.98)[29.98，30.02)[30.02，30.06)[30.06，30.10)[30.10，30.14)频数12638618292614乙厂分组[29.86，29.90)[29.90，29.94)[29.94，29.98)