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241平面向量的数量积的物理背景及其含义向量的夹角：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB=θ(0º≤θ≤180º)叫做向量与的夹角.θOAB当θ=0º时，与同向；当θ=180º时，与反向；当θ=90º时，与垂直，记作。θsF

一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F

和位移s是向量，是F

与s

的夹角，而功是数量.问题的提出平面向量的数量积：

已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定

其中θ是与的夹角，叫做向量在方向上（在方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即。θBB1OA数量积的几何意义：

数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。θBB1OA思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负呢？当θ为锐角时，向量的数量积为正；当θ为钝角时，向量的数量积为负。由向量数量积的定义，试完成下面问题：注：常记为。0≤证明向量垂直的依据例1.已知，的夹角θ=120º，求。解：思考：等式是否成立？数量积的运算规律：不成立1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号确定；注意：2、两个向量的数量积称为内积，写成

;与代数中的数a·b不同，书写时要严格区分；3、在实数中,若a≠0,且a·b=0,则b=0；但在数量积中,若，且,不能推出。因为其中cosθ有可能为04、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc得a=c.但是有不能得5、在实数中（a·b)c=a(b·c),但例2我们知道，对任意，恒有对任意向量是否也有下面类似的结论？小结向量的数

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