数学分析 重积分的应用

重积分的应用一、立体的体积二、曲面的面积三、物体的重心四、平面薄片对质点的引力五、矩复习：区域连通性的分类

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD一、立体的体积二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．例1计算由曲面及xoy面所围的立体体积。解设立体在第一卦限上的体积为V1。由立体的对称性，所求立体体积V=4V1。立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底为于是，所求立体的体积例2

求两个圆柱面所围的立体在第一卦限部分的体积。解所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底为它的底为它的曲顶为于是，立体体积为例3

求球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四个卦限部分的体积是对称相等的。因此，若设第一卦限部分的体积为V1，则所求立体的体积为V1可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底D由半圆周及x轴围成。用极坐标系表示于是,所求立体体积二、曲面的面积１．设曲面的方程为：如图，---曲面

S的面积元素曲面面积公式为：３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得解设第一卦限部分的面积为A1，则由对称性，所求的面积为极坐标系下表示：例5求两个圆柱面所围的立体的表面在第一卦限部分的面积A。解所求表面分成Ⅰ和Ⅱ，如图。ⅠⅡ第一块（Ⅰ）在圆柱面第一块（Ⅱ）在圆柱面由对称性，这两块曲面的面积相等，即AⅠ=AⅡ。因此，A=2AⅠ。在AⅠ上，曲面方程为AⅠ在AⅠ上，曲面方程为因此，A=2AⅠ。AⅠAⅠAⅠ于是所求面积，A=2AⅠ设在空间中有n个质量分别是的质点组，它们的坐标分别为

由静力学的知识可知，这个质点组的质心坐标有如下的计算公式：

三、物体的重心设为一块可以度量的几何体，它的密度函数为设在上连续，要求的质心坐标。我们打算用质点组的质心坐标的公式来计算，但质点组是离散分布的，而是质量连续分布的几何体。因此，首先把分划成若干可度量的小块：为了简化符号，也用表示小块的度量。若这些小块分得充分小，每一个小块可近似地看作一个点，于是可近似地看作一个质点组，从而可用质点组的质心坐标公式来近似计算的质心坐标。为此先计算每一个小块的质量，由于密度函数不是常数，即的密度分布不是均匀的，因此不能简单地用密度均匀分布的物体的质量的计算公式：密度×度量，来计算。由于假设连续，因此当比较小时，在上变化不大，于是可近似地看成不变，从而的度量可近似计算为iiMDWÎ"iiMDW)(r这里是中的任意一点，设其在三维空间中的坐标为，于是几何体的质心坐标可近似表示为当然这个质心坐标只能是近似的，如果分得小一些近似程度就要好些，因此在上式中让每一个的直径趋于零取极限，把极限值定义为的质心坐标。于是令让，取极限得上述和式的极限，正是我们在第九章第一节定义的黎曼积分，因此，得到这里如果几何体是三维空间中的一块立体，则上述积分就是三重积分，从而质心坐标可表示为如果几何体是一块平面区域，则上述积分就是二重积分；如果几何体是一块空间曲面，上述积分就成为第一型曲面积分；如果几何体是一条曲线，上述积分就成为第一型曲线积分。解

由于立体关于轴对称，并且立体是均匀的，即密度函数为常数，所以有例6设由上半球面和锥面（以轴为轴，半顶角为