【ch04】辐射场的量子化及其与物质的相互作用

高等量子力学辐射场的量子化及其与物质的相互作用第四章普通高等教育“十三五”规划教材天津工业大学学位与研究生教育改革项目资助01辐射场的量子化01经典辐射场01经典辐射场首先对经典电动力学做一个简单回顾。我们知道，自由电磁场(场中没有电荷、电流存在)服从麦克斯韦方程组：引入矢势

和标势

来表示电磁场E和B为式中，

满足如下条件：对于自由电磁场，我们首先关心的是横场。忽略纵场，取库仑规范这时

完全由矢势

决定，

满足波动方程可见，对于自由电磁场，可以将矢势

作为处理的对象，此时有这时，自由电磁场的拉氏密度可以表示为电磁场系统的广义坐标取为

是参量。与此对应，广义动量为01经典辐射场自由电磁场的哈密顿量密度为由式(4.6)和式(4.8)可知，式(4.9)也可以表示为这正是经典电动力学中给出的电磁场能量密度。因此场的总能量为应当注意，电磁场是矢量场，广义坐标现在取为矢势

,所以描述它的变化还应包括其广义速度

、散度

和旋度

。02量子化电磁场使经典电磁场转化为量子场的出发点是使广义坐标A与广义动量P=A满足不对易关系，从而转化为算符。(1)考虑光子是玻色子，所以取如下同时性对易关系：01经典辐射场其中，i,j=1,2,3,表示空间分量指标。场算符和动量算符的海森伯动力学方程为其中，量子场的哈密顿算符由式(4.11)给出，但由于现在A和F已转化为算符，所以H也转化为了算符。可以证明，算符动力学方程式(4.13)和式(4.14)就是经典哈密顿方程的二次量子化形式。(2)在前面建立的自由电磁场量子化理论的基础上，现在进一步将场算符分解为简正模式。

的分解不是唯一的，我们采取常用的按平面波分解的方法，为此将算符A表示为01经典辐射场式中，V是腔的体积。由于矢势

的厄密性，所以第二项是第一项的厄密共轭。这是因为经典电磁场是实数矢量场，所以矢势

也应是实数矢量场，在二次量子化形式中它应转化为厄密算符：

。将展开式(4.15)代入动力学方程式(4.5),并令

,可得式(4.16)的解为现在令其中，

是为了描写场算符

分量

的方向性而引进的一组实正交基矢集。由于横波条件

,有所以

三个单位矢量可张成一右手直角坐标系，我们就是在这个空间中描述电磁场的极化性质的。实基矢满足如下正交条件01经典辐射场和完全性条件为了能得到简洁的量子化电磁场的能量和动量表达式，令则场算符

和广义动量算符

的展开式为利用

的对易关系式(4.12)可以导出关于

的同时性对易关系为01经典辐射场电场强度算符的简正模式展开式可表示为将式(4.23)和式(4.24)代入量子场哈密顿算符式(4.11),得到另外，也可以计算出电磁场的动量为上述结果表明，量子化电磁场明显体现出电磁场的粒子性。与量子化电磁场相联系的基本粒子称为光子，动量为

的光子的能量为

。有两种极化状态的光子，它们分别对应于

和

=2。

是动量为

、极化方向为

的光子数算符，

就是这种状态光子的产生算符和湮灭算符。不存在光子的状态称为光子真空态。光子真空态的能量为由于电磁场的自由度为无穷大，所以E。也为无穷大，可以认为关于电磁相互作用问题的讨论都是在这个背景下进行的。01经典辐射场02原子和电磁场的相互作用01电磁场中带电粒子的哈密顿量01电磁场中带电粒子的哈密顿量设一个电子的质量和电荷分别为m和e,不考虑电子的自旋，当电子在电磁场中运动时，其哈密顿量为式中，是电子的广义动量，

和

分别是电磁场的矢势和标势，V(r)是原子的束缚势。则电子的运动由薛定谔方程描述为我们现在考察一个电子被势V(r)束缚于力心(核)

后的问题。若电磁场的波长远大于原子限度(在量子光学范围内普遍成立),此时场可看成在原子范围内不变，则存在所谓的偶极近似，这时矢势可以表示为

,由此薛定谔方程为式(4.30)的得出利用了规范式(4.4)。令将式(4.31)代入方程式(4.30),则得“”其中总哈密顿量为这个哈密顿量将被用于下面原子一场相互作用的研究中。01电磁场中带电粒子的哈密顿量02原子一场相互作用的一个简单模型首先假设一个单电子原子处于场强E的电磁场中，在偶极近似下系统的哈密顿量为式中，

分别为原子和辐射场在不存在相互作用情况下的能量，

为电子的位置矢量。自由电磁场的能量算符

由式(4.27)的形式给出。原子的哈密顿算符在只考虑两能级原子时可以如下求得。假设两能级原子的上、下能级分别表示为事实上，它们分别是哈密顿算符HA对应于本征值

的本征矢，有利用两维粒子系统的完备性关系：

,以及态矢量

的正交归一性，得到01电磁场中带电粒子的哈密顿量0202原子一场相互作用的一个简单模型取原子哈密顿算符的矩阵表示为其中，

。忽略不起作用的常数能量，则有式中，我们用到了泡利矩阵

。下面我们用完备性关系来考察

,即

。由于能量本征态的宇称性，使得对角元消失，即有而非对角元为因此，偶极算符er可取如下形式：02由式(4.37)容易得到所以偶极算符

表示为现在再来看二次量子化后的腔中单模场。在初始时刻(t=0)和原子中心处由式(4.26)有其中，

表示真空电场值，v为单模场的频率；

为模函数。因此相互作用哈密顿算符为令

,则式中已令02原子一场相互作用的一个简单模型02式(4.42)中包含一个不确定的相角，当我们取φ=π/2时，有将上述结果结合，得到原子一场系统总哈密顿量为其中，自由电磁场的能量算符我们忽略了零点能取为

。下面对相互作用项式(4.43)做进一步简化。式(4.43)首先可以化为我们注意到，其中σ-a和σa⁺两项违反能量守恒定律。因为σ-a表示消除一个激发态原子使其在变为基态的同时又使一个场粒子消失；类似地，σ+a⁺表示在产生一个场粒子的同时使原子由基态变为激发态。因此，在相互作用哈密顿算符H₁中我们忽略这两项，则有上述做法称作旋波近似。事实上在旋波近似下，我们可以推导出一个普遍的两能级原子与多模场相互作用的哈密顿量为上述单个两能级原子与多模场的相互作用形式是量子光学领域众多计算问题的出发点。显然，单个两能级原子与单模场相互作用系统哈密顿量是式(4.46)的特例。02原子一场相互作用的一个简单模型0203JC模型及其求解由上面的讨论，我们得到频率为v的单模量子化场与一个两能级原子相互作用的系统的哈密顿算符为其中式(4.47)称作Jaynes-Cummings哈密顿量，相应的模型称作JC模型。这个哈密顿量所支配的系统尽管简单，但是可以描述许多有意义的物理现象。为方便我们选择相互作用绘景，在相互作用绘景下哈密顿算符为利用式(1.4),可得如下结果所以，相互作用绘景下哈密顿算符式(4.50)化为02JC模型及其求解02下面我们将用三种不同的方法求解JC模型。1.概率幅方法我们现在在JC模型下求解系统态矢

的运动方程，有对于任意时刻t,态矢量

是|a,n)和|b,n)的线性组合。其中|an)表示原子处于激发态|a)并且场处于n光子态；|b,n)表示原子处于基态b|)并且场处于n光子态。由于我们使用相互作用绘景，态矢量表示为相互作用能式(4.53)只可引起态

间的转化，因此我们只需考虑振幅

的演化。将式(4.55)和式(4.53)代入方程式(4.54),得到考虑到初始条件，由方程式(4.56)和式(4.57)解得03JC模型及其求解02其中由上述结果可求得所谓原子的布居反转：

,从中可以发现原子上下能态间的振荡行为，称为Rabi振荡。对于上述结果的其他有意义的讨论，我们此处不再进行，有兴趣的读者可参阅量子光学相关书籍。2.海森伯算符方法下面我们使用海森伯绘景来求解JC模型。特别地，我们将求解原子和场算符

的算符方程。这些解在研究场的谱特性时非常有用。利用原子一场哈密顿算符式(4.47)可以得到算符

的下列海森伯方程：为了便于求解这些耦合方程，我们定义下列运动常数：03JC模型及其求解02即[N,H]=[C,H]=0,其中N代表原子一场系统总激发算符，C为交换常数。由方程式(4.62)得容易证明将式(4.65)和式(4.66)代入式(4.64),得到类似可得利用方程式(4.67)和式(4.68)可解得03JC模型及其求解02其中，k为常算符，即上述得到的解(见式(4.71)和式(4.72))可以用来计算所有感兴趣的量。3.幺正时间演化算符方法由于JC模型所描述的系统是没有耗散的，因此我们可以用幺正时间演化算符方法来求解。这里的幺正演化算符为考虑共振情况，△=0,这时有注意到

,利用03JC模型及其求解02得到因此任意时刻t的波矢可如下求得：作为一个例子，假设初始原子处于激发态

,场处于数态的线性叠加，即将式(4.78)和式(4.80)代入式(4.79),得到因此，有容易发现，式(4.82)、式(4.83)与式(4.58)、式(4.59)在△=0时完全一致。03JC模型及其求解0204两能级原子自发发射理论(Weisskopf-Wigner理论)在前面讨论单模场的基础上，现在我们考虑一种更实际的连续模场的系统。在相互作用绘景和旋波近似下，系统的哈密顿量为其中，h.c.为前一项的共轭，

,后是原子位置。相互作用绘景的哈密顿量用与4.2.2节相同的方法得到。假设t=0时刻，原子处于激发态

,场处于真空态

,则t时刻的态矢量为并且设将式(4.85)和式(4.86)代入薛定谔方程得到概率幅

的如下运动方程：04两能级原子自发发射理(Weisskopf-Wigner理论)02首先，对方程式(4.89)积分，则得其次，将式(4.90)代入方程式(4.88),得到为了解上述(精确)方程做如下一系列近似(WW近似):假设场模在频率空间是近连续的，则有其中，体积V由下式决定：对θ、

做运算并使k=vk/c,得到令

,下限做替换

,且利用积分，有04两能级原子自发发射理论(Weisskopf-Wigner理论)02因此，得到其中衰减常数为方程式(4.96)给出解为式(4.98)表示，处于激发态|a)的原子在真空中以指数时间衰减，其寿命为

,期间原子发射能量子为

。最后，我们得到场态为04两能级原子自发发射理论(Weisskopf-Wigner理论)0205阻尼的量子理论(密度算符方法)在实际量子力学问题中，阻尼起着重要作用。例如，一个原子由激发态衰减到基态，以及场在腔中的衰减等。一般来说，一个系统的阻尼通过它与具有大量自由度的库相互作用来描述。然而，我们感兴趣的仅是与系统相关的变量的演化。这需要我们获得迹掉库变量后的系统的运动方程。有几种不同的方法处理上述问题，这里我们采用密度算符方法。1.一般库(reservoir)理论考虑一个系统(S)与库(R)相互作用，这个复合系统的密度算符定义为PsR,则系统的约化密度算符为0205阻尼的量子理论(密度算符方法)设系统一库的相互作用能为V(4),则Psr的动力学方程为(见式(1.112))形式上对方程式(4.101)积分，得到02式中，

是相互作用的初始时刻。将

代回方程式(4.101),得到如果初始时刻没有相互作用，即V=0,则系统和库是独立的。此时假设库处于平衡态，则有由于V很小，我们可以将式(4.103)的解表示为如下形式：其中，

是属于V的高阶项。为了满足式(4.100),我们须使

成立。若将式(4.105)代入式(4.103)并保留至v²阶项，则有考虑到阻尼对库记忆的破坏作用，引入所谓马尔科夫(Markovian)近似(关于一般性马尔科夫近似，读者可见第5章),即用

,方程式(4.106)化为下面我们就几个例子具体计算系统一库相互作用问题。05阻尼的量子理论(密度算符方法)2.原子在热库和压缩真空库中的衰减一个激发态原子的衰变可以通过原子耦合与一个简谐振子库模型来获得理解。类似地，腔中辐射场的衰变可以通过考察腔场中感兴趣的模与全体库模耦合来描述。讨论这个问题对于量子光学多个领域都具有重要意义。下面就来考虑一个两能级原子系统的衰变问题。设一个两能级原子在一个简谐振子库中受阻尼产生辐射衰减，在相互作用绘景和旋波近似下哈密顿量为其中，

分别为原子基态和激发态，Vk=ck为简谐振子频率分布。先将V(t)代入方程式(4.106)第一项，看到(Ps=Paom)05阻尼的量子理论(密度算符方法)下面我们对方程式(4.109)等式右边逐项做计算。(1)首先计算第一项。同理可得(2)其次计算V(t)的二阶项。为简化书写，令

所以相互作用哈密顿量V1和V₂分别处于t和t两个不同时刻，双对易子给出如下结果：05阻尼的量子理论(密度算符方法)现在分别计算式(4.114)等式右边的各项：05阻尼的量子理论(密度算符方法)因此，利用式(4.114)和式(4.119)～式(4.122)可得如下关系：由定义式(4.112)可知所以05阻尼的量子理论(密度算符方法)先将式(4.125)～式(4.130)代入式(4.123),再代入方程式(4.109),并且也将式(4.110)和式(4.111)同时代入式(4.109),得到式中的期望值与库的状态有关。下面具体考察一种所谓热库状态的情况。(3)热库(Thermalrese