【ch05】开放量子系统动力学

高等量子力学开放量子系统动力学第五章普通高等教育“十三五”规划教材天津工业大学学位与研究生教育改革项目资助01开放量子系统由第1章知道，对于封闭或孤立的物理系统，若H是不依赖于时间的纯态系统哈密顿算符，则系统的演化算符由式(1.27)给出。然而，对于哈密顿量依赖时间的系统，利用式(1.21),方程式(1.25)的解可以表示为时间序的指数，有式中，T表示时间序算符，“←”表示时间从右向左增加顺序。如果系统初始处于混合态，即利用薛定谔方程，在任意时刻t,系统态为对上述方程进行微分，立即可得密度矩阵的运动方程式(1.112)及刘维方程式(1.113)。刘维方程式(1.113)可以得到一个类似式(5.1)的形式解(已令h=1):01封闭系统及刘维-冯·诺依曼方程02开放系统动力学对于不依赖于时间的哈密顿量，刘维超算符也是不依赖于时间的，显然有2.开放系统动力学一般来说，开放系统是指一个量子系统S耦合到另一个称作环境的量子系统B的系统。因此，它是复合系统S+B的子系统。多数情况下假设复合系统是封闭的，遵循哈密顿动力学，然而，子系统S的状态将随其内部动力学和与环境的相互作用而改变。相互作用导致某种系统-环境关联，以致一般情况下，S态的变化下不再是幺正的、哈密顿动力学的变化，子系统S的动力学由总系统哈密顿演化驱动常称作约化系统动力学，并且S也被称作约化系统。设Hs是系统的希尔伯特空间，Hb是环境的希尔伯特空间。总系统S+B的希尔伯特空间由张量积

表示。总哈密顿量H(4)为其中，Hs是开放系统S的哈密顿量，HB是环境B的自由哈密顿量，HI(t)是系统和环境相互作用的哈密顿量。02开放系统动力学谈到开放系统S,一般是指环境B与它耦合。“库”是指由无限自由度构成的环境，以至于库模的频率是连续的。这个性质将导致开放的、量子系统的不可逆行为。后面我们将把热平衡状态下的库称为“浴”或“热浴”。人们通常遇到的环境模式既不可精确获知也不可控制，因此开放系统一般要用近似方法求解。我们知道，开放系统S的可观测量的形式为

,其中A是作用在希尔伯特空间Hs上的算符，

上的单位算符。如果总系统的状态为p,那么作用在开放系统希尔伯特空间上的可观测量的期望值为其中约化密度矩阵Ps(t)在t时刻可表示为其运动方程为02量子马尔科夫过程设初始时刻t=0时，总系统S+B处于不关联的乘积态

,其中ps(0)是约化系统S的初态，Ps代表环境的状态，描述约化系统状态从t=0到t>0的变化可以写为如果参考态PB及时间t固定，上述关系就确定了一个约化密度矩阵自身的映射，即这个映射描述了开放系统在时间t的状态变化，叫作动力学映射(见表5.1)。动力学映射可以利用开放系统的希尔伯特空间Hs内的算符完全表征。利用环境的密度矩阵PB的谱分解：

，其中

构成一个HB的正交基，

为非负实数且满足

,则得到式(5.11)的下列表示；01开放量子系统动力学概述其中，

中的算符，定义为由式(5.13)容易看出，V(4)具有描述一般量子测量操作

(见式(2.28))的形式。再者，算符

满足条件由此，可推导出因此，我们说，一个动力学映射V(t)是凸线性的、完全正和保迹的量子操作。01开放量子系统动力学概述上面给出了t固定时的动力学映射V(1)。如果让t变化，即可得到动力学映射的一个参数簇{V(t)}t≥0},其中V(0)为单位映射。这个簇描述了开放系统全部的时间演化。然而，如果库关联函数衰减的特征时间远小于系统演化的特征时间，则约化系统的记忆效应可以忽略。因此，像经典理论那样可以获得马尔科夫型的行为。对于均匀情况这一理论将借助如下半群特征构建。马尔科夫量子主方程如果量子动力学半群存在，在某种数学条件下(见下面),一个线性映射L,即半群的生成元，可以表示成如下指数形式：由此，立刻可以得到开放系统约化密度矩阵的一阶微分方程02马尔科夫量子主方程方程式(5.19)叫作马尔科夫量子主方程。半群生成元L为超算符，它可以看成方程式(1.113)中刘维超算符的一般化。在有限维希尔伯特空间

,下形式(数学推导从略):可以构造出一个量子动力学半群的生成元L的如这是量子动力学半群生成元的最一般形式。生成元的第一项表示由哈密顿量H产生的动力学的幺正部分，算符A,通常称作Lindblad算符，并且对应的密度矩阵方程式(5.19)叫作Lindblad方程。我们注意到，如果A.取为无量纲的量，则非负的量x有反比于时间的量纲。后面将会看到，n由环境的关联函数给出，并且对于开放系统的不同衰减模式起着弛豫率的作用。很多情况下为了方便，常引入耗散子因此，量子主方程式(5.19)可以写为如下形式：02马尔科夫量子主方程需要说明的是，由于系统和环境的耦合，哈密顿量H可能含有约化系统S的自由哈密顿量Hs之外的项。另外，值得注意的是，生成元L并不是由唯一确定的哈密顿量H和Lindblad算符

决定的。事实上，生成元在下列变换下是不变的。(1)Lindblad算符集的幺正变换。式中，Uy为幺正矩阵元。(2)非均匀变换。其中，

是复数，b是实数。由于第(2)个不变式性质，所以总是可以去选取无迹的Lindblad算符。02马尔科夫量子主方程对于受到与时间有关外场作用的开放系统，需要借助依赖于时间的生成元描述。将式(5.19)推广到与时间相关的情形，其表达形式为对于固定的时间t≥0,式中L(t)是量子动力学半群。下面引入相应的传播子式(5.26)满足关系代入半群特性式(5.17),则有02马尔科夫量子主方程类似于封闭量子系统，开放量子系统在薛定谔绘景中的每个系统算符A都可以在海森伯绘景中定义相应的算符

。这可以借助下面的关系式做到：类似式(5.26),引入伴随传播子符号T→,定义了反时序算符，而伴随生成元L

定义为＋伴随传播子V

(t,to)满足如下微分方程：＋并且伴随传播子描述了海森伯绘景中算符的时间演化03伴随量子主方程由此得到下列海森伯算符AH(t)的运动方程：式(5.34)称为伴随主方程，如同方程式(5.20)的情况，如果Lindblad生成元不解析地依赖于时间，则可以给出一个重要的特殊情况，此种情况下，伴随Lindblad生成元与V(t,0)对易，并且伴随主方程取如下简单形式：可以看到此时的伴随主方程的右边仅与在时间t的海森伯算符An(t)有关。03伴随量子主方程03主方程的微观推导设量子力学系统S弱耦合于库B,则总系统哈密顿量为为了使推导量子马尔科夫主方程更容易，我们将在相互作用绘景下进行。相互作用绘景下的刘维-冯·诺依曼方程为由方程式(5.37)可得总密度矩阵的积分形式为将式(5.38)代入方程式(5.37)并对库取迹，得到其中，我们已经假设容易看到，方程式(5.39)仍然包含总系统的密度矩阵p(t)。为了从运动方程中消除p(t),我们进行第一次近似处理，叫作玻恩近似。这个近似假设：系统和库之间的耦合是弱的，以至于系统对库的影响是小的(称作弱耦合近似)。因此，库的密度矩阵pg受相互作用的影响可忽路，并且总系统的态在t时刻可以近似表示为张量积形式：01弱耦合限需要强调的是，这并不意味约化系统下不引起库的任何激发。将张量积式(5.41)代入精确的运动方程式(5.39),我们得到一个约化密度矩阵ps(4)的闭合的积分-微分方程：为了简化上述方程，进一步进行马尔科夫近似，即用ps(t)代替被积函数ps(s),这样，我们得到了关于ps(f)的运动方程：此方程叫作Redfield方程。进一步以t-s代替积分函数中的s,并令积分上限为无穷大，则可得到如下马尔科夫量子主方程：式(5.44)近似处理通常称作玻恩-马尔科夫近似，然而，一般情况下它并不能保证方程式(5.44)定义了动力学半群的生成元。因此，下面做进一步近似处理，即对主方程的快速振荡项做平均，称为旋波近似。为了解释这个过程，现将薛定谔绘景下的相互作用哈密顿量H,写为如下形式：01弱耦合限其中，

。是相互作用的最一般形式。如果把相互作用哈密顿量H,分解为系统哈密顿量H₅的本征算符，则近似处理很容易进行。下面假设Hs具有分立的本征值谱ε,并且被Ⅱ(s)投影在属于本征值s的本征空间。那么，我们可以定义算符求和表示对所有H₅的本征值ε'和ε并且具有固定能量差。进行。这个定义的一个立刻的后果是下列关系式得到满足(请读者自行验证):因此，

分别被视为Hs的属于频率

的本征算符。关系式(5.47)和式(5.48)在相互作用绘景下对应的算符取如下形式：最后，我们注意到01弱耦合限其中，

。将式(5.46)对所有能量差求和，并利用完备关系得到由此相互作用哈密顿量可以写为如下形式：这正是所期望的，将相互作用分解为系统哈密顿量的本征算符形式。注意，一般来说频谱

是简并的，即对某一固定的φ,指标α标明了不同的算符

属于相同的频率。由于引入了本征算符分解式(5.53),因此在相互作用绘景下相互作用哈密顿量可以写为特别简单的形式：其中式(5.55)是环境的相互作用绘景算符，我们也注意到条件式(5.40)成为01弱耦合限即

的库平均消失。将式(5.54)代入主方程式(5.44),经过运算得到其中，式(5.57)已经引入了单边傅里叶变换式(5.58)是如下库关联函数的傅里叶变换：现在假设

是库的定态，即

,那么，库关联函数对时间来说是均匀的，则可得到这表明了

不依赖于时间。值得说明的是，如果库函数依赖于时间t,则会有有意义的情况发生。例如，如果库是压缩真空态的时候。对于很大的库，相应的频率间隔很小时，式(5.57)中的

项可以忽略，这是典型的量子光学系统满足的条件，称作旋波近似。因此，我们有01弱耦合限将库关联函数的傅里叶变换分解为对固定的

,系数称为厄密矩阵，并且矩阵是正的。利用这些矩阵，最后我们给出了相互作用绘景下的主方程厄密算符给出了动力学的哈密顿量。这项常称作兰姆移动哈密顿量。注意，借助式(5.51)可以得到01弱耦合限最后，主方程的耗散项取如下形式：需要说明，通过加自由系统哈密顿量Hs到Hus即可得到薛定谔绘景主方程。借助本征算符的性质(见式(5.47)、式(5.48)和式(5.51)),容易证明这一点。总结上面用到的近似。第一个近似是弱耦合假设，这个假设允许将精确的运动方程展开到密度矩阵二阶项，结合条件

,导致对主方程的玻恩近似。第二个近似是马尔科夫近似，将密度矩阵Ps(s)用当前时刻的密度矩阵Ps(t)代替。再者，将积分限推至无穷大得到主方程的玻恩-马尔科夫近似。玻恩-马尔科夫近似相关的物理条件是，系统和库的关联时间m比系统的弛豫时间

小很多，即

。最后，在旋波近似中，对于比例于exp[i(w'-)(]的快速振荡项中的

部分可忽略，这使得量子主方程为Lindblad形式。相应的物理条件是，问题中涉及频率差的倒数

。01弱耦合限在前面一般性讨论的基础上，下面具体考虑一个奇异耦合情况。从前面的讨论了解到，在弱耦合限条件下，由系统和环境相互作用引起的扰动假设是小的。结果，环境的自由度快速变化并且可以被有效地消除。对于某些合适的时间范围，一定条件下对强耦合情况可以推导线性量子主方程。在这个所谓奇异限下，考虑如下形式的总哈密顿量：其中，相互作用哈密顿量再次被写作其中，

。我们的目的是在ε→0的条件下推导约化密度矩阵的运动方程。为了得到哈密顿量式(5.69)的形式，首先注意到式(5.59)中的库关联函数的衰减时间通过标度关系

因子关系减小。相互作用哈密顿的标度关系

，确保库关联函数的傅里叶变换在ε→0极限下保持有限。在这个模型下推导量子主方程与弱耦合情况类似，差别仅在于此时不需要进行旋波近似，结果得到下列薛定谔绘景下的主方程：02奇异耦合限其中，兰姆移动哈密顿量为这里

的定义类似于式(5.63),并且同样，

是厄密的并且是正的。实际上，主方程式(5.71)是讨论量子Zeno效应时遇到过的。02奇异耦合限04量子光学主方程考虑一个束缚的量子系统，如一个原子或分子，与一个量子化辐射场相互作用，辐射场代表一个无穷自由度的库，束缚系统是我们感兴趣的约化系统，Hs表示自由原子或分子的哈密顿量，而自由量子化辐射场的哈密顿量为01处于量子化辐射场中的物质为简单起见，我们将辐射场分解为在体积为V的盒子中的傅里叶模式，并施加周期性边界条件。这些模式用波矢

来标记，并且用极化矢量

表示两个横向、单位极化矢量，因此有色散关系是

场算符

分别表示具有波矢

和极化矢量

所谓光子的湮灭和产生算符。它们服从如下对易关系：01处于量子化辐射场中的物质最后，我们假设相互作用哈密顿量由偶极近似给出：其中，

是系统的偶极算符，

是电场算符，其在薛定谔绘景下可以表示为式中的系数不同于第4章的式(4.26)是由于本章采用了不同于第4章的高斯单位制的缘故。利用上述定义，给出总系统哈密顿量下面我们进行玻恩-马尔科夫近似处理。为了将偶极算符

分解为Hs的本征算符形式，取如下算符(见方程式(5.46)):注意，偶极算符分量表示为Di(=1,2,3),这里i对应前面的指标α。按照方程式(5.47)、式(5.48)及

,有01处于量子化辐射场中的物质和因此，相互作用绘景下，偶极算符

分解为本征算符，有并且相互作用绘景下，相互作用哈密顿量可以写为类似于方程式(5.54)的形式：其中，

定义了相互作用绘景下的电场算符如方程式(5.56)的形式：由此可以写出类似于式(5.57)的运动方程：01处于量子化辐射场中的物质电场算符的关联函数定义为并且其单边傅里叶变换由下式给出：矩阵

称作谱关联张量。一般地，它依赖于时间t。事实上，它有如下形式：根据库所处的具体状态，式(5.92)可以进一步化简。下面首先来看热库状态的情况。假设辐射库的模式处于温度为T的平衡状态，即01处于量子化辐射场中的物质注意，容易知道

,并且谱关联张量

与时间t无关。随后在旋波近似下，方程式(5.89)化为式(5.94)中的谱关联张量待定。为了给出谱关联张量，我们利用下列关系：其中定义了普朗克分布，它是频率为

的模上的光子的平均数，为计算简单起见，取连续限对波矢

的立体角dΩ积分，利用如下关系：01处于量子化辐射场中的物质式(5.92)化为利用公式其中，P定义了哥西主值。最后，我们得到式中我们引入了如下量值：注意，普朗克分布满足

有01处于量子化辐射场中的物质总结以上结果，得到可以写为所谓Lindblad形式的量子光学主方程：式中，哈密顿量在辐射场的真空涨落(兰姆移动)和热驱动(斯塔克移动)下，导致系统哈密顿量Hs重新归一化。量子主方程的耗散子取如下形式：注意，式(5.110)在求和中我们已经利用式(5.85)将负的频率变为了正频率。可以看到，主方程的耗散子描述自发和热驱动过程。利用方程式(5.41)可知，Lindblad算符

使原子能级下降

能量，即如果

具有能量ε的本征态，则

是Hs的属于本征值

的本征态。01处于量子化辐射场中的物质相应地，算符

使原子能级上升

的量值。因此，

描述自发和热驱动发射过程，发射率为

;而4(o)描述热驱动吸收过程，吸收率为

。最后，我们来看量子光学主方程的有效范围。弛豫时间

由典型的弛豫率的倒数

给出。后者由电偶极转换的转换率

的典型值定义，其中

是偶极算符对应的矩阵元。另一方面，库自由度的真空关联时间

由典型转换频率

的倒数给出。因此，由玻恩-马尔科夫近似的条件

,这明显为弱耦合条件。这个条件在量子光学范围内一般能够得到很好的满足。例如，典型的辐射反比于原子寿命，其数量级为

,而光学频率在

数量级。再者，必须注意，如果主方程含有大量不同转换频率，需要条件

成立。这个条件使人们能够进行旋波近似，并且属于不同频率的转换可以被描述为分离的衰减通道，用不同Lindblad算符。02一个两能级系统的衰减两能级系统的希尔伯特空间等价于一个自旋一1/2系统的希尔伯特空间。现在设这个系统的两个态分别为激发态

,则对应的泡利算符可表示为01处于量子化辐射场中的物质为了计算方便，常定义算符我们取系统的自由哈密顿量在基矢

上为对角的，对于合适的基态能级，则有其中，

为转换频率，并已取

。下面我们将在相互作用绘景下讨论问题。为了具体起见，考虑一个在光学范围内转变频率为a,的两能级原子。我们注意到，算符代表原子哈密顿量的本征算符，有因此，

使原子的能量改变

,分别对应于吸收和发射过程。所以，有如下两个Lindblad算符：其中，

是偶极算符的转换矩阵元(这里假设偶极算符的对角项消失)。在两能级近似下，原子耦合算符在相互作用绘景中可以写为02一个两能级系统的衰减忽略兰姆和斯塔克移动的贡献，可以给出量子光学主方程为(为简单起见，用p代替ps)式中，自发发射率为主方程的耗散项描述了自发发射(发射率为γo)、热发射和吸收(发射和吸收率为γoN)过程。总转换率由下式定义：其中，

定义了转换频率处的普朗克分布。为了求解主方程式(5.117),将密度矩阵写为如下形式：02一个两能级系统的衰减式中，矢量即为著名的布洛赫(Bloch)矢量。它满足条件

,其等价于要求p(t)必须为正。

对应于密度矩阵描述一个真正的统计混合，而布洛赫矢量满足

代表一个纯态。由此可见，两能级系统的密度矩阵的集合与被称为布洛赫单位球的几何体同构，它的表面等价于纯态的集合。矩阵元

分别是激发态和基态能级的布居。非对角元

表示相干，由原子上升和下降算符

的期望值给出。利用泡利矩阵的代数关系，容易得到下列微分方程：容易看到，布洛赫矢量的z分量以指数率γ衰减，而

衰减。上述方程的定态解为02一个两能级系统的衰减并且上能级的定态布居为实际上，主方程的定态解等于热平衡态的解。例如，如果取初态

,赖时间的解为解析地表明了以指数规律趋于热平衡的值。03系统在压缩真空场中的衰减前面考虑的库对于浴动力学来说是定态。为了给出非定态环境的例子，下面我们考虑一个两能级系统相互作用于库的状态

,这里

是压缩真空态。02一个两能级系统的衰减其中，压缩算符

由下式给出：式中，取

。利用压缩算符关系式(3.59)和式(3.60)可得到如下期望值(与方程式(5.95)~式(5.97)比较):式中已经定义了我们注意到，这些关系式与场算符的对易关系，即式(5.78)和式(5.79)相互兼容，并有对于热库，有

。然而，因为PB不是不变的态，电场算符的关联函数式(5.90)在时间上不再是均匀的。结果，谱关联张量明确地依赖于时间t。对于压缩真空态，谱关联张量利用式(5.92)可以写为03系统在压缩真空场中的衰减式(5.237)已经假设压缩均匀覆盖总的4π立体角。我们看到，谱关联张量由两部分组成：第一部分

与时间t无关，而第二部分

涉及快速振荡指数

。相应地，主方程的耗散子由两部分组成，有其中，

决定。因此，形式上它有与方程式(5.117)右边热耗散子相同的结构，其中N是Nk在共振频率

时的值。它由共振压缩参数r给出，有如果忽略兰姆和斯塔克移动的贡献，我们发现，对于谱关联张量与时间有关的部分为03系统在压缩真空场中的衰减和再者，式中M和Mk取共振频率时的值，即具有共振压缩参数r和共振相角θ。为了决定主方程的耗散子D(²),将

代入方程式(5.89)的右边并进行旋波近似。因为

振荡，旋波近似从双频率求和中精确地选取两个共振项，即对应于

情况的项，第一种情况被看到导致如下贡献：而第二种情况导致将偶极矩阵元吸收到压缩相位θ中，则得到03系统在压缩真空场中的衰减最后，我们得到密度矩阵方程为这正是描述两能级系统在压缩真空中的主方程，值得注意，它可以被写为Lindblad形式。引入Lindblad算符：

,容易发现引入泡利矩阵代数，得到如下运动方程：这些方程描述了相干弛豫的相应依赖关系和布洛赫矢量的三个分量的弛豫。设θ=0,则布洛赫矢量的运动方程取如下形式：03系统在压缩真空场中的衰减最后，我们得到密度矩阵方程为在极限r→0下，上述方程转化为真空布洛赫方程(方程式(5.222)～式(5.224),

)。可以看到，在压缩真空条件下，布洛赫矢量的分量

以不同的弛豫率衰减。特别注意到，与真空情况比弛豫率在一个方向被增强，同时在另一个方向被减弱，布洛赫矢量的z分量接近于定态，有它与方程式(5.225)有相同的形式，其中这里N=sinh²r起着普朗克分布的作用。04阻尼谐振子03系统在压缩真空场中的衰减下面我们研究主方程的另一个有代表性的例子——阻尼谐振子。该系统自由演化的哈密顿量为

,描述了频率为

的诸振子。其薛定谔绘景下的方程为此方程可以用于描述电磁场模在一个腔中的阻尼，此时a+和a定义了腔模的产生和湮灭算符。环境由腔外的模式给出，并且导致腔模具有γo的阻尼，其中热库中频率为

模的量子平均数为1.泡利主方程和定态解设

(n=0,1,2…)为第n个振子的本征态，即

。主方程式(5.254)导致第n个能级布居，

,形成一个闭合方程，称为泡利主方程，有04阻尼谐振子这个方程的定态解为利用方程式(5.255),式(5.257)可重新写为由上式看出，式(5.258)是振子本征态的玻尔兹曼分布。在这个模上量子的平均数的定态值等于热平均数，有2.伴随主方程为了研究上述问题的动力学，可以直接从主方程推出系统算符期望值的运动方程。另外，也可以利用伴随主方程式(5.35),即04阻尼谐振子决定海森伯算符

的动力学。用海森伯算符在t=0时和薛定谔算符一致作为初态条件，则有从这些方程立刻可以推出振子的平均振幅为和平均量子数因此，振子平均振幅在复平面按指数变化，当rot>1时趋近于初始值。量子的平均数从初值

开始，趋近于与初始值无关的热平均值N。3.相干态表象在量子光学的应用中，人们经常借助相空间方法研究主方程。下面以相干态或P表象为例来研究主方程。系统密度矩阵的相干态表象的定义可以追溯到Glauber(1963)和Sudarshan(1963)给出的定义：04阻尼谐振子因此，Ps(t)代表具有相应权重函数

的相干态

的混合。然而，应该注意到，P只是某种准概率，一般它不是正的分布函数。由密度矩阵的归一化导致如下归一化条件：在产生和湮灭算符

的乘积中，如果所有产生算符置于湮灭算符的左边，则这个乘积被称作正规序积。对于这样一个正规序积，有这是P表象的一个重要性质。由此可以将任何产生和湮灭算符正规序积的期望值转变为同时刻的

分布。为了推导关于

的方程，将量子主方程式(5.254)用下列特性替换到P表象：04阻尼谐振子上述关系很容易由相干态的定义推导出来。经过整理，上面的特性显示出下列对应关系：利用这些关系，容易导出P表象的福克-普朗克型运动方程：04阻尼谐振子这个方程与经典福克-普朗克方程类似。下面就来求解方程式(5.277)。设初始值为这意味着初始为相干态

。相应的解可以通过将式(5.279)代入方程式(5.277)并且推导时间相关函数

的微分方程来获得。然而，通过一个简单的方法将会看到，β(t)等于平均振幅，有相应地，可以得到因此，当振子和周围的库达到平衡时，宽度σ²(t)从零增加到热平均值N。我们注意到，在零温(N=0)时，随着时间的演化初始相干态保持相干态。04阻尼谐振子05量子布朗运动这个模型描述了一个质量为m,位于坐标x处，在势能为V(x)的场中运动的布朗粒子。因此，粒子的自由哈密顿量取如下形式：式中，p为粒子动量。假设粒子被耦合到一个由大量质量为Mn和频率为

的谐振子浴中，其哈密顿量为式中，

分别是浴模的湮灭、产生算符；而Xn和Pn是对应的坐标和正则共轭动量。模型中，假设布朗粒子的坐标x线性耦合于浴振子的坐标Xn。相应地，相互作用哈密顿量Hi

取如下形式：式中，浴算符为后面会看到，这种类型的相互作用给出了布朗粒子势场V(x)的重整化。为了补偿这种重整化，在相互作用哈密顿量中加入如下项是方便的：01Caldeira-Leggett模型该项称作抵消项(counter-term),仅作用在布朗粒子的希尔伯特空间Hs上。它确保势场V(x)包含布朗粒子运动的物理频率。因此，总系统S+B的哈密顿量为02高温主方程下面我们讨论一个最简单的情况，即布朗粒子在弱耦合和高温度限下的运动，在这种情况下推导出的粒子的约化密度矩阵马尔科夫主方程，称作Caldeira-Leggett主方程。01Caldeira-Leggett模型1.主方程的推导以玻恩-马尔科夫近似为出发点，布朗粒子的约化密度矩阵在薛定谔绘景下给出：其中，我们已经引入了超算符这个方程很容易通过式(5.44)变换回薛定谔绘景而得出。注意，抵消项Hc在耦合中必须被作为二阶项，而HI是一阶项，由此式(5.289)给出了运动方程在耦合中的二阶展开。这里我们假设因子化初始条件和浴处于温度为

的热平衡状态ps,即为了讨论方便，我们引入如下关联函数：02高温主方程下面我们会清楚地看到，函数

经常分别被称作耗散和噪声核。利用谱密度定义可以将浴关联函数表示为由此，超算符x可以写为生成元x的性质强烈地依赖于由密度J(

)所决定的耗散和噪声核的行为。为了获得真正的不可逆动力学，人们引入了浴模的连续分布，并且用浴模频率

的光滑函数代替谱密度。在唯象模型中，人们经常引入一个不依赖于频率的阻尼常数

并且对于很小的

取谱密度正比于频率02高温主方程下面将会看到，这种称作Ohmic的谱密度将引起具有比率为y的独立于频率的阻尼。另一方面，环境的高频模导致粒子势场中的物理参数的重整化。为了解释粒子哈密度量的这种重整化，人们将高频截断

引入谱密度中。下面我们取带有Lorentz-Drude截断函数的Ohmic谱密度：对这种类型的谱密度，浴关联可以被解析地确定为这里，噪声核

用下列公式计算：其中，

称作Matsubara频率。我们看到，当n≠0时，关联函数含有关联时间

和

。因此，最大关联时间为02高温主方程并且玻恩-马尔科夫近似应用的条件为此条件对应于推导弱耦合和量子光学主方程时的条件

然而，量子光学情况下，旋波近似要求约化系统的演化比典型弛豫时间快，即

。而这里我们研究的情况是系统的演化比浴关联时间慢。如果我们定义

为系统演化的典型频率，则有量子光学和量子布朗运动情况的基本差别见表5.2。为了化简生成元x的表达式，我们通过自由动力学给出

的近似结果：02高温主方程将式(5.306)代入式(5.297),可以看到生成元由四项组成：此方程右边的第一项可以由下式决定：因此，我们有另外，由于

,方程式(5.307)右边第一项可以写为如下形式：显然，这项补偿了方程式(5.289)中哈密顿量抵消项的贡献。因此，和浴的相互作用使得自由粒子哈密顿量Hs重整化，这正好被抵消项Hc消除。02高温主方程为了决定式(5.307)右边的第二项，我们用如下关系式：得到并且允许第二项写为相应地，我们发现因此，方程式(5.307)的第三项计算得到02高温主方程最后，式(5.307)中的第四项依赖于频率截断Ω,并且将由具有Lorentz-Drude截断的Ohmic谱密度的解析表达式(5.301)决定。在高温限，即

,我们得到因此，第四项化为为了估计这项的重要程度，我们把它与第三项(见式(5.315))做比较。因为动量的数量级为

,可以看到式(5.317)与式(5.315)的不同在于相差一个

因子，而从假设可知这个因子很小。因此，我们可以忽略主方程中的第四项。总结以上结果，最后得到Caldeira-Leggett主方程为主方程右手边第一项描述系统自由相干动力学；第二项正比于弛豫时间

,是耗散项，这项源于耗散核D(

)的贡献；最后一项正比于温度，描述热涨落。后面将会看到，它对理论描述退相干现象起着重要的作用。02高温主方程容易想到这样的问题，布朗运动主方程的生成元可以写成Lindblad形式吗?回答是否定的。2.近似定态解在坐标表象，主方程式(5.318)将取如下形式：通过以下定义引入新的变量从而获得关于函数

的如下方程：在如下近似条件下定态解为02高温主方程因此，主方程式(5.318)的近似定态解为式中，归一化因子为由以上结果看到，坐标空间密度矩阵的对角项表示一个正比于

的平衡分布，与统计力学结果一致。非对角元以与对角元为|x-x|的距离指数衰减，其中关联长度由热波长

给出。将式(5.322)左边展开到二阶项，可以看到，只要热波长小于

则式(5.322)即给出了一个很好的近似。我们注意到，对于势场

,式(5.322)成为了等式。此时定态矩阵可以表示为高斯函数02高温主方程式中，坐标和动量的方差为因此，坐标和动量不确定性的乘积为所以在高温近似下，不确定性的积远大于不确定关系所允许的最小可能值。3.平均值和方差的运动方程利用主方程式(5.318),我们容易获得布朗粒子坐标和动量的一阶矩和二阶矩的下列方程：02高温主方程这些是阻尼粒子坐标和动量的一阶和二阶矩的厄伦费斯特(Ehrenfest)方程，它们包括摩擦力-2rp。下面针对自由布朗粒子(V=0)来求解上述运动方程。对一阶矩，其解为因此，初始动量在

时间范围内指数弛豫到零，而平均位置渐近地移动

距离，我们定义02高温主方程则可表示二阶矩的解如下：因此，在长时限下

可以得到渐近表达式显然，长时限下不是定态，动量不确定值与热平衡时的值相等(见方程式(5.327))。然而，位置不确定性随着时间的平方根增加，与经典布朗运动一致。对于纯高斯初始态(最小不确定性),可知

这导致如下结果：02高温主方程其中，第二个等式在yt<1时成立。第二个等式的第二项描述了高斯波包按照自由薛定谔方程扩散。对于短时限，可以看到环境的影响对扩散产生了一个正比于时间t的三次方的贡献。03精确的海森伯运动方程在许多应用中，并不总是需要寻求一个约化密度矩阵的近似主方程，而可以用系统运动的海森伯方程讨论问题。因为在Caldeira-Leggett模型中，浴是谐振子集合，并且和约化系统的耦合是线性的，所以可以完全从海森伯运动方程中消除浴变量的动力学。1.海森伯方程的推导完全Caldeira-Leggett模型导致下列布朗粒子和环境振子的精确的海森伯运动方程：02高温主方程因此，相应的布朗粒子坐标的方程为浴振子的坐标方程为方程式(5.349)表明，第n个浴振子被线性依赖于布朗粒子坐标的力

所驱动。为了得到x(t)的闭合运动方程，我们用x()和浴模的初始条件解方程式(5.349)并将结果代入方程式(5.348)中。为此目的，用产生和湮灭算符

来表示浴振子的坐标，即03精确的海森伯运动方程则方程式(5.349)的解可如下给出：将式(5.351)代入方程式(5.348)得到式中，B(t)是相互作用绘景算符，有式(5.353)对应于薛定谔绘景算符

。借助耗散核，可以将布朗粒子坐标的运动方程写为在量子布朗运动的理论中，将耗散核用另一个被称作阻尼核的量表示是很有用的，即03精确的海森伯运动方程式(5.355)满足并且用耗散核我们可以把方程式(5.354)中的耗散项写为利用方程式(5.357)可以看到，式(5.358)最后一项

消除了势场

中的抵消项的贡献。因此，最后得到了如下精确的海森伯运动方程：方程式(5.359)正是期望得到的布朗粒子坐标的运动方程。在环境处于Ohmic谱密度具有无限截断Ω→o的情况下，我们得到阻尼核为(见方程式(5.299)和式(5.355))则海森伯运动方程取如下形式：03精确的海森伯运动方程方程式(5.359)中B(t)的统计由量子关联函数

描述。需要强调的是，由于是在海森伯绘景，所以平均是对总系统的初始分布p(0)进行的。如果我们用非关联的初态

,则这个关联函数等于方程式(5.293)引入的噪声核

对Ohmic谱密度，结果为在高温限下可以假设，当

时，对所有相关频率

给出式(5.364)表明，关联函数消除了h。2.二次势对于二次势03精确的海森伯运动方程海森伯方程式(5.359)化为为了求解上述方程，令式(5.366)的右边为0,则得到两个特解分别为G₁(t)和G₂(t)。这两个特解的初始条件为引入拉普拉斯变换则两个特解的拉普拉斯变换分别为式中，

为阻尼核的拉普拉斯变换。因此，海森伯方程式(5.366)的解为03精确的海森伯运动方程利用此解，所有渴望得到的布朗粒子的平均值、方差和关联函数都可以由总系统的初始值p(0)进行平均得到。3.自由布朗运动下面我们以自由布朗运动(即V=0)为例来考察上述讨论。取Ohmic谱密度，对于无限截断，特解取如下形式：对于因子化初始态

,布朗粒子和浴振子的初始坐标是非关联的，并且平均值

消失。例如，利用式(5.375),布朗粒子的平均动能为03精确的海森伯运动方程其中，我们用到了噪声核式(5.363)。如果取极限,则平均动能的渐近值为其中，动能的热分布为在高温限

下，上述表达式将导致著名的经典统计力学结果，

。另一方面，真空分布

为03精确的海森伯运动方程因此，由布朗粒子与环境的高频模的真空涨落的相互作用得到了它的平均动能的对数发散分布。进一步，我们来决定粒子的平均平方位移：这是布朗运动理论中的一个非常重要的量。利用方程式(5.374)和式(5.363)可以得到上述平方模内第二项导致积分在无限截断限下发散。事实上，平均平方位移为这表明

导致相应的平均平方位移发散贡献，意味着布朗粒子能够从环境高频模中吸收任意的能量，并且在有限时间内移动任意距离。这种奇异行为被称作初始摇摆(initialjolte),很清楚是因为假设非关联初始态的结果。也就是说，如果我们让时间t和t'趋向无穷大，而保持它们之差

固定，则所有的瞬时项消失并且平均平方位移成为r的函数，积分给出03精确的海森伯运动方程因此，由布朗粒子与环境的高频模的真空涨落的相互作用得到了它的平均动能的对数发散分布。进一步，我们来决定粒子的平均平方位移：对任意有限温度，可以用

代替上述积分中的第二个因子，则有如下渐近表达式：可知，对于经典布朗粒子有同样的结果。另一方面，对于零温度，积分项中

代替，则可得如下渐近表达式：式(5.385)成立的条件是

。我们看到，平均平方位移仅微弱地随时间的对数增加，量子弥散的关联长度量级为

。4.响应函数、平衡关联函数和涨落-耗散定理为了确定总系统的平衡涨落，需要引入涨落-耗散定理(FDT)。涨落-耗散定理和海森伯运动方程的精确解一起决定了布朗粒子的所有平衡关联。为了构造FDT,我们引入总系统海森伯绘景算符z(t)的对称自相关函数：03精确的海森伯运动方程为简单起见，假设

。这里需要强调的是，平均是对总系统的如下平衡分布进行的：式中，H是复合系统S+B的哈密顿量。由于时间的均匀性，自相关仅依赖于

,并且满足。平衡涨落谱由自相关函数的傅里叶变换给出，有注意到，谱有如下特性：关于变量z(t)的响应函数定义为它描述了系统对外力F()(t>0)的线性响应，并且由总系统的哈密顿量中依赖于时间的扰动

表示。然后由一阶微扰理论得到系统的线性响应为03精确的海森伯运动方程式中，

是对应扰动哈密顿量H+V(t)的海森伯算符。式(5.391)中响应函数的傅里叶变换可以写为式中，我们已经将元

分解成了实部和虚部。涨落-耗散定理提供了一个系统对外力的线性响应和平衡涨落之间的关系。用频率的语言给出这个关系：它用响应函数傅里叶变换的虚部表示平衡涨落的谱。对于一般的热平衡系统和任何海森伯绘景可观测量z(t),涨落-耗散定理均成立。现在我们把这个定理应用到处于谐振子势的布朗粒子的坐标x(t)上。因为对易子

是c数，我们立刻能够用海森伯运动方程式(5.366)的精确解(见式(5.372))决定响应函数，有03精确的海森伯运动方程上述关系式(5.394)也可以直接由式(5.372)推出。即在系统的总哈密顿量上加上扰动-xF(t),相当于用B(t)+F(t)代替运动方程式(5.366)中的B(t)。这样的替代使得方程式(5.372)右手边有了附加项

,事实上还表明了响应函数通过式(5.394)与特解

相关联。响应函数的傅里叶变换为因此，响应函数傅里叶变换的虚部为由式(5.396)和涨落-耗散定理式(5.393)立刻推导出布朗粒子坐标的关联函数为借助方程式(5.397)和式(5.396)可以决定精确的平衡关联。例如，由自相关函数的定义有03精确的海森伯运动方程因此作为一个例子，考虑带有Lorentz-Drude截断的Ohmic谱密度(见式(5.299))。按照定义式(5.355)可以求得阻尼核为其拉普拉斯变换为因此，我们有其中，在无限截断条件下，Ω→

,阻尼核的拉普拉斯变换成为实的，并且涨落谱取如下形式：03精确的海森伯运动方程对于

,谱成为与热平衡条件下阻尼谐振子的经典涨落谱一致。03精确的海森伯运动方程06量子轨道我们用如下两步计算波函数

的变化。第一步，由波函数

用下面的非厄密哈密顿量计算得到

01蒙特卡罗波函数方法对于很小的δt,有因为H是非厄密的，所以

不是归一化的，因此式中01蒙特卡罗波函数方法且有我们总是可以通过调节δt,使得δp<1。第二步，考虑量子跳跃测量过程。为了决定量子跳跃是否已经发生，我们定义一个均匀分布于0和1之间并且与δp可比较的随机数ε。有两种情况：(1)ε≥8p,这是大多数情况，因为δp<<1。这种情况没有跳跃，并且2)ε<δp,状态Cm|d())之一在各种可能的跳跃中按照相对概率Pm=δPm/δp(注意，

发生一次量子跳跃。所以02蒙特卡罗方法在平均上等价于主方程我们定义

,其中Av为在时刻t对多次蒙特卡罗结果的平均，所有都起始于

。下面我们将表明

一致。现在来计算

。01蒙特卡罗波函数方法式(5.420)可以改写为最后，如果对大量轨道取平均，即可得到主方程式(5.409)。类似于主方程方法，人们感兴趣的是计算可观测量的平均值。这里，对每条轨道可得

。因此02蒙特卡罗方法在平均上等价于主方程并且有03随机薛定谔方程(SSE)和耗散系统可以证明蒙特卡罗方法和主方程在一定条件下等价。如果一个具有密度算符p的开放系统初始为纯态，由于和库的相互作用而演化为混合态，则不可能有对于

的决定方程，但是可以像期望的那样，定义一个给出和环境相互作用概率性质的随机方程。我们已经知道，一大类描述耗散量子系统的主方程可以被写为Lindblad形式：02蒙特卡罗方法在平均上等价于主方程式中，Ps是系统的约化密度算符。上述方程的一个例子是场在温度为T的有损腔中的主方程，在相互作用绘景下这个方程写为式中，a和a+分别为光子的湮灭和产生算符，

是由普朗克分布给出的热光子平均值，

这里

是阻尼时间。这里假设方程式(5.424)的形式解为定义则有03随机薛定谔方程(SSE)和耗散系统注意到利用Dyson展开，则式(5.432)可表示为式中方程式(5.434)可以被重新写为上面求和号中的每一项可以看作量子轨道，求和号中时刻t的约化密度算符包括了所有可能的量子轨道。对于这些轨道的每一条，式(5.436)表明，系统的演化可以被看成一系列与算符Jn相联系的量子跳跃。算符J,随时间演化与算符S(t)相联系。每条轨道的概率通过对式(5.436)相应的项求迹给出由式(5.433)和式(5.435),可以写出03随机薛定谔方程(SSE)和耗散系统式中因此，如果p是纯态，则S(t)p也是纯态。同样，对于Jnp也是如此。这意味着，当考虑单个量子轨道时，纯态保持为纯。也注意到，跳跃之间的演化由非幺正算符N(t)给出。由式(5.432)可知，跳跃算符可以有不同的选择。这些不同的选择对应于利用密度算符Ps时间演化量子轨道的不同分解，并且对不同的实验方法，最终导致对系统演化的连续监测。由于这种连续监测，初始纯态保持为纯，因为这种情况下没有信息损失。例如，对于腔中的场，连续监测意味着场由于与库相互作用而导致获得或失去光子。04一个蒙特卡罗SSE模拟03随机薛定谔方程(SSE)和耗散系统下面来看一个蒙特卡罗方法量子跳跃轨道的物理实现。设一束两能级原子穿过无损腔并与某个电磁场发生相互作用，设原子束起着库R的作用，腔模起着系统S的作用。原子被制备在上态

,两态的转换频率w与腔模共振。原子从腔出来时由检测器测量其状态。在原子进入腔之前处于上态和下态原子的比率为式中，

的能级差，T是库温度。我们现在分析在原子离开腔后的连续测量下，S的态矢量

的时间演化。假设人们知道