湘教版数学选修2-1第一学期期中考

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）漳州一中2013～2014学年第一学期期中考高二年数学（理科）试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题：，，则A．：，B．：，C．：，D．：，2.某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有A．20辆B．40辆C．60辆D．80辆3．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围A． B．C．D．4.以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)甲组乙组90921587424已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为A． B. C. D．5．已知动圆与圆和圆都外切,则动圆圆心的轨迹是A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支6．已知椭圆的上、下顶点分别为、，左、右焦点分别为、，若四边形是正方形，则此椭圆的离心率等于A．B．C．D．7．已知椭圆的两个焦点为，，是此椭圆上的一点，且，，则该椭圆的方程是A.B.C.D.8.对于任意给定的实数，直线与双曲线，最多有一个交点，则双曲线的离心率等于

A． B． C． D．9.已知抛物线，以为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为A.B.C.D.10．若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为A．B．C．D．111．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是12．已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为，且，则双曲线的离心率为A. B. C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．右边框图表示的程序所输出的结果是．14．已知定点在抛物线的内部，为抛物线的焦点，点在抛物线上，的最小值为4，则=.15．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形球盘，点是它的两个焦点，长轴长，焦距，静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线（不与长轴共线）发出，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程为．16．已知椭圆的中心在原点、焦点在轴上，抛物线的顶点在原点、焦点在轴上.小明从曲线、上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（.由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上，小明的记录如下：据此，可推断抛物线的方程为_____________.三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于，求.18．（本小题满分12分）某教室有4扇编号为的窗户和2扇编号为的门，窗户敞开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇．（Ⅰ）记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇”为事件，请列出事件包含的基本事件；（Ⅱ）求至少有1扇门被班长敞开的概率．19.（本小题满分12分）命题:“方程表示双曲线”()；命题:定义域为，若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围.20．（本小题满分12分）如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上.（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率.21．（本小题满分12分）已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点，且？若存在，求出直线的方程;若不存在,请说明理由．22．（本小题满分14分）已知椭圆过点，其焦距为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为.当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 图（1）图（2）漳州一中2013～2014学年第一学期期中考高二年数学（理科）答案一、选择题：1-5.AACCD6-10.CADBB11-12.DC二、填空题：13.132014.415.2016.三、解答题：17．（本小题满分12分）解：(1)设双曲线方程为：，点代入得：，所以所求双曲线方程为：………………6分（2）直线的方程为：，由得：，………………10分.………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）事件包含的基本事件为：、、、、、、、、，，共10个．………6分注：⑴漏写1个情形扣2分，扣完6分为止；多写情形一律扣3分．（Ⅱ）方法一：记“至少有1扇门被班长敞开”为事件．∵事件包含的基本事件有、、、、、，，共7个．……9分∴．……………12分方法二：事件“2个门都没被班长敞开”包含的基本事件有、、，共3个．……………8分∴2个门都没被班长敞开的概率，……………10分∴至少有1个门被班长敞开的概率．……………12分19.（本小题满分12分）解::由得：………………2分:令，由对恒成立.………………3分（1）当时,,符合题意.………………4分（2）当时，，由得，解得：………………6分综上得：:.………………7分因为为真命题，为假命题，所以命题一个为真,一个为假.……………8分∴或………………10分∴或………………12分20.（本小题满分12分）解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上,所以，得.…………2分故所求抛物线的方程是,准线方程是.……………4分（II）设直线的方程为，即：，代入，消去得：.……………5分设，由韦达定理得：，即：.……………7分将换成，得，从而得：，……………9分直线的斜率.……………12分21.（本小题满分12分）解：（I）依题意可设椭圆方程为，则右焦点，由题设：，解得：，故所求椭圆的方程为.……………4分（II）设存在直线符合题意，直线方程为，代入椭圆方程得：，……………6分设，为弦的中点，则由韦达定理得：，……………8分，……………9分因为……………11分不符合，所以不存在直线符合题意.……………12分22.（本小题满分14分）（I）解：依题意得：椭圆的焦点为，由椭圆定义知：，所以椭圆的方程为.……………4分（II）（ⅰ）设，则椭圆在点B处的切线方程为令，，令，所以……………5分又点B在椭圆的第一象限上