北京市高考石景山区一模试题及答案(理数)

2012年石景山区高三统一测试数学（理科）第I卷选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.L设集合M={X।X2—2X—3<0}N二{XIlogX<0}2，则M∩N等于（）A.(—1,1)C(0,1)

.(1,3)B.D (—1,0).2．在复平面内，2—i复数1+i对应的点位于（）A.第一象限B．第二象限C.第三象限D.第四象限fX=2cosθ,圆［y=2sinθ+2的圆心坐标是（）A.(0,2)(2,0)B.C.(0,—2)D.(—2,0)设m,n是两条不同的直线，°,β,γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A若m//n,m//α,则n//αA.B.若α±γ,P±γ,则α//β若m//α,n//α,则m//n.若m±a,n//α,则m±nD.A．-84B．84C．-36 D．36A24√3 B.16 C.48 D∙144第∏卷非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.—> —>设向量a=(cosθ,1),b=(1,3cosθ)，且a//b,则cos2θ=.等差数列"J前9项的和等于前4项的和.若a4+Clk=0，则k=.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,CE与圆相切交AB延长线上于点E,若DF=CF=2√2,AF：FB：BE=4：2：1，则线段CE的长为 .f(X)=<1-X+a,X<—,21

logx,x≥-2 2的最小值为-1,12.设函数则实数a的取值范围是.13.如图，圆O:X2+>2=π2内的正弦曲线y=SmX与X轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机

往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是 ．1/徉人U={(X,y)lX∈R,y∈R:M=fx,y)I∣x∣+∣y∣<a:P=般,y)|y=f(X)]14・集合现给出下列函数：①y=a，②y=l0gaX，③y=Sin(X+a),④y=Cos,若0<a<1时，恒有P∩CUM=P,则所有满足条件的函数f(X)的编号是．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)在AABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,C，且(2a-C)cosB=bcosC.(I)求角B的大小;2ɔCoSA=——,a=2(Ii)若 2 ，求aaBC的面积.(本小题满分13分)1甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛,甲每次投中的概率为3,乙每次投中的概1率为2，每人分别进行三次投篮.(I)记甲投中的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ;(II)求乙至多投中2次的概率；(III)求乙恰好比甲多投进2次的概率.17.(本小题满分14分)如图,AA=31,(I)(I)(I)ABC-ABCAA三棱柱 111中， 1⊥面D为aC的中点.AB//面BDC求证：1 1；CBDC求二面角C1BDC的余弦值；*在侧棱AAI上是否存在点P，使得ABCBc1AC,BC=AC=2CP1面BDC1?请证明你的结论.18．(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2+2alnX.(I)若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1,求实数a的值；(II)求函数f(x)的单调区间；g(x)=2+f(x)口2(III)若函数 X在［1,2］上是减函数，求实数a的取值范围.19．(本小题满分13分)x2 y2—+—=1已知椭圆a2b2 (a>b>0)右顶点与右焦点的距离为“3—1,短轴长为2、江.(I)求椭圆的方程；(II)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的3√2面积为4，求直线aB的方程.20．(本小题满分13分)若数列｛AJ满足Am=AJ，则称数列｛AJ为“平方递推数列”.已知数列｛a」aI=2,点(In+1)在函数f(X)=2X2+2X的图像上，其中n为正整数.(I)证明数列｛2an+1｝是“平方递推数列”，且数列｛lg(2an+1)｝为等比数列;T(I)设(I)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,T=(2a+1)(2a+1)…(2a+1) ｛a｝Tnn1 2 n ，求数列n」的通项及n关于n的表达式；(I)记bn=log2an+1Tn,求数列｛”的前n项和Sn，并求使｛,^2的n的最小值.2012年石景山区高三统一测试高三数学(理科)参考答案中,即、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．题号J _2 _3 4 _5 67 8答案BDADBBAC、填空题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分．题号91011121314答案1310α"-4π3①②④三、解答题：本大题共6个小题，共80分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（I）因为（2a-C）cosB=bcos0,由正弦定理，得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC2分.2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA4分∙∙0<A<π•sinA≠0,cosB=—2又∙.∙0<B<π,πB=-3(II)由正弦定理sinA sinB,cosA=2A=π由 2可得4πB=—，由3可得SinC=41 1ch√6+∖,’2S=—abSinC=-×2×76× 2 2 416.（本小题满分13分）解：（I）己的可能取值为：0,1,2,3.6分8分11分13分 1分..ab得b='后,,,3+√32., (2、P(ξ=0)=C0-313)8J=27;PG=I)=C3("(2T13人3)49(1Y(2)J(3T1P(ξ=2)=C2-13=2；P("3)=J273713的的分布列如下表:ξ01238丁ɪ1P2799278421Eξ=0X—+1x-+2X-+3X—=127 9 9 27．5分3（II）乙至多投中2次的概率为3_7=8.8分1-C3112J（In）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1,乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2,则A=B1UB2,BJB2为互斥事件.10分8341 1X—+—X—=—P(A)=P(B)+P(B)=27898612．1所以乙恰好比甲多投中2次的概率为6.13分17．（本小题满分14分）（D证明：连接B1C,与BC1相交于O,连接OD.VBCC1B1是矩形，.二O是B1C的中点.又D是AC的中点，・・・0口/从81.VAB12面BDC1,ODU面BDC1,AAB1//WBDC1.1分4分（II）解：如图，建立空间直角坐标系，贝UC1(0，C(0D(1，，33，，0，0），B（0，3，2），0），A（2，3，0），0），CB=(0,3,2)1CD=(1,3,0)1，5分设n=（Xjy「ZI）是面bdc1的一个法向量，贝〃nCB=0,'

〔nC1D=0即I3y+2Z=0, 111 1 11X+3y=0TTn=(L-ξ,2)1乙，取 327分易知CC=（0,3,0）是面ABC的一个法向量.8分CoS:n,CC\nCC= 1—nXCC1 1272・・・二面角C1—BD—C的余弦值为7.9分(Ill)假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥≡BDC1.设P(2,y,0)(0≤y≤3)，则CP=(2,ʃ—3,0)10分CPCB=0,< 1ECPCD=0则113(y-3)=0,,即∣2+3(y-%012分R==L=3解之〔3.・・方程组无解.・・・侧棱AA1上不存在点P,使CP⊥面BDC1.13分14分18．(本小题满分14分)2a2x2+2af(x)=2x+—= 解：(I)1分(1)由已知f'(2)=1,解得a=-3函数f(X)的定义域为(0,+æ)当a≥0时，f'x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+æ)5分3分，(2)xx；f,(x)=2(x+Wa)(x-Wa)当a<0时 x当X变化时，f，(ɪ),f(x)的变化情况如下:x(0,J-a)-aa(√-a,+∞)f'(x)-0+f(x)X极小值Z由上表可知，函数f(X)的单调递减区间是(0,C-a)单调递增区间是Q-a,+æ)8分(II)由2 2 2ag(x)=—+x2+2alnx g(x)=-——+2x+——x29分x得x，由已知函数g(X)为［1,2］上的单调减函数，则g'(X)≤0在［1,2］上恒成立，2 2a——+2X+—≤0在［1,2］上恒成立.即 X2x1a≤--X2即X在［1,2］上恒成立.11分h(X)=1-X2令X1在口⑵J(X)=x2-2X=-(1+2X)<0X2所以h(X)在［1,2］为减函数.h(X)min7=h(2)=-2，，7a≤--所以214分19．(本小题满分13分)a—c=γ13—1b=22a2=b2+c2K解：(I)由题意，I1分解得α='氐c=12分X2y2——+——=1.即：椭圆方程为3** 23分AB43,(II)当直线ab与X轴垂直时，此时^OBOB=v3不符合题意故舍掉;4分当直线ab与X轴不垂直时，设直线ab的方程为：＞=k(X+1),代入消去∙y得:(2+3k2)X2+6k2X+(3k2—6)=06分K设A(X1，yj,B(X2,y2)，则X+X12-6k2XX122+3k23k2-62+3k2，7分所以网二号7 9分d)ɪ原点到直线的AB距离 PI+k2,SABId=1ɪ4瓜k2+I)所以三角形的面积2 2%：1+k2 2+3k2S=3%2nk2=2nk=±Xt-,'2由4，l:<2X—V+J2=0Tl:x2X+V+√2=0所以直线ABJ 或ABJ .20．(本小题满分13分) 12分 13分解：（I）因为an+1)2a2+2a,2a+1)2(2a2+2a)+1)(2a+1)2

n n n+1 n n n所以数列｛2an+1｝是“平方递推数列”. ——2分由以上结论 n+1 n n，所以数列｛lg（2an+1）｝为首项是lg5公比为2的等比数列. ——3分（II）lg(2a+1)=[lg(2a+1)]×2n-1=2n-Ilg5)