两角和与差的正弦余弦和正切公式课件高一上学期数学人教A版

5.5.1两角和与差的正弦、

余弦和正切公式

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb.1.两角差的余弦公式对于任意角a，b有C（a-b）

此公式给出任意角a，b的正弦、余弦值与其差角a-b的余弦值之间的关系.称为差角的余弦公式.简记作C（a-b）.有了公式C（a-b）以后，我们只要知道cosa，cosb，sina，sinb的值，就可以求cos(a-b)的值了.例1.

利用差角余弦公式,求cos15º的值.解法1:cos15º=cos(45º-30º)=cos45ºcos30º+sin45ºsin30ºcos15º

=cos(60º-45º)=cos60ºcos45º+sin60ºsin45º解法2:例2.

已知sina=

a(p),cosb=

b是第三象限角,求cos(a-b)的值.解:已知则cosa=又

b是第三象限角,则sinb=∴cos(a-b)=cosacosb+sinasinbcos(a+b)=cos[a-(-b)]=cosacos(-b)+sinasin(-b)=cosacosb-sinasinb

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb.

于是我们得到两角和的余弦公式,简记作C(a+b).2.两角和的余弦公式sin(a+b)=(拆开a+b

重新分组)3.两角和的正弦公式

于是我们得到两角和的正弦公式,简记作S(a+b).sin(a-b)=sin[a+(-b)]=

sinacos(-b)+cosasin(-b)=

sinacosb-cosasinb4.两角差的正弦公式

于是我们得到两角差的正弦公式,简记作

S(a-b).5.两角和的正切公式

于是我们得到两角和的正切公式,简记作

T(a+b).6.两角差的正切公式

于是我们得到两角差的正切公式,简记作

T(a-b).sin(a+b)=sinacosb+cosasinb.sin(a-b)=sinacosb-cosasinb.cos(a+b)=cosacosb-sinasinb.cos(a-b)=cosacosb+sinasinb.C(a+b):S(a+b):C(a-b):S(a-b):T(a+b):T(a-b):两角和与差的正弦、余弦、正切公式例3已知sina=

a是第四象限角,求sin(-a),cos(+a),tan(a-)的值.解:a是第四象限角,则解:a是第四象限角,=7.例3已知sina=

a是第四象限角,求sin(-a),cos(+a),tan(a-)的值.例4.

利用和(差)角公式计算下列各式的值:

(1)sin72

cos42

-cos72

sin42

;

(2)cos20

cos70

-sin20

sin70

;(3)解:(1)sin72

cos42

-cos72

sin42

=sin(72

-

42)=sin30

(2)cos20

cos70

-sin20

sin70

=cos(20

+70)=cos90

=0.(3)=tan60

sin2a

=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa.cos2a=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=cos2a-sin2atan2a=tan(a+a)=1-2sin2a=2cos2a-1.S2a:C2a:T2a:2倍角的正弦.2倍角的余弦.2倍角的正切.7.二倍角的正弦、余弦、正切公式例5已知求sin4a,cos4a,tan4a的值.

解:则sin4a=2sin2acos2acos4a=1-2sin22atan4a

=由得例6在△ABC中,cosA=tanB=2,求tan(2A+2B)的值.解法1:则则tan2A

=∴tan(2A+2B)=在△ABC中，解法2:则则tan(A+B)=∴tan(2A+2B)=tan2(A+B)例6在△ABC中,cosA=tanB=2,求tan(2A+2B)的值.在△ABC中，问题1.

中的常数是某一个角的正弦和余弦,能否将这个三角函数式写成两角和(差)的正弦的形式?

8.辅助角公式若令则原式对于含正、余弦函数的一次式

asinx+bcosx,可提公因式后,原式即可化成两角和或差的正弦函数的形式,即等价于sin2j+cos2j=1则可令其中j为辅助角.这个变换叫做“辅助角公式”或“化一公式”.练习1.

将sinx+cosx,sinx+cosx化成两角和或差的正弦函数的形式.（a>0,b>0)解:练习2.

将sinx-cosx,sinx-cosx化成两角和或差的正弦函数的形式.（a>0,b<0)解:练习3.

将-sinx+cosx,-sinx+cosx化成两角和或差的正弦函数的形式.（a<0,b>0)解:问题2.

中的常数是某一个角的正弦和余弦,能否将这个三角函数式写成两角和(差)的余弦的形式?

若令则原式8.辅助角公式练习4.

将sinx+cosx,sinx+cosx化成两角和或差的余弦函数的形式.