平行四边形超级难题学霸挑战2

./2018年05月22日y冬夏y的初中数学组卷一．选择题〔共9小题1．如图所示,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC的中点,D,E为BC上的点,连接DN、EM,若AB=5cm,BC=8cm,DE=4cm,则图中阴影部分的面积为〔A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．3cm22．如图,▱ABCD中,点O是对角线BD上的任意一点,过点O作MN∥AB,PQ∥BC,则下列结论中正确的是〔A．S△MOD=S△NOB B．S四边形BNOP=S四边形DMOQC．S△ABD=2S四边形AMOP D．S四边形AMOP=S四边形CNOQ3．如图,一个四边形花坛ABCD,被两条线段MN,EF分成四个部分,分别种上红、黄、紫、白四种花卉,种植面积依次是S1,S2,S3,S4,若MN∥AB∥DC,EF∥DA∥CB,则有〔A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S3 C．S1S4=S2S3 D．都不对4．如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是〔A．28 B．32 C．18 D．255．根据如图所示的三个图所表示的规律,依次下去第n个图中平行四边形的个数是〔A．3n B．3n〔n+1 C．6n D．6n〔n+16．在平行四边形ABCD中,点A1,A2,A3,A4和C1,C2,C3,C4分别AB和CD的五等分点,点B1,B2和D1,D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1,则平行四边形ABCD面积为〔A．2 B． C． D．157．AD是△ABC中BC边上的中线,若AB=2,AC=4,则AD的取值围是〔A．AD＜6 B．AD＞2 C．2＜AD＜6 D．1＜AD＜38．如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D、E分别是AB、AC的中点,F、G为BC上的两点,FG=3,线段DG,EF的交点为O,当线段FG在线段BC上移动时,三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值,则这个定值是〔A．15 B．12 C．9 D．69．△ABC与平行四边形DEFG如图放置,点D,G分别在边AB,AC上,点E,F在边BC上．已知BE=DE,CF=FG,则∠A的度数〔A．等于80° B．等于90°C．等于100° D．条件不足,无法判断二．选择题〔共7小题10．如图,△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD于D,F为AC中点,AB=5,BC=7,则DF=．11．在▱ABCD中,两对角线交于点O,点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,那么以图中的点为顶点的平行四边形共有个．12．在△ABC中,BC=10,B1、C1分别是图①中AB、AC的中点,在图②中,B1,B2,C1,C2分别是AB,AC的三等分点,在图③中B1,B2…B9；C1C2…C9分别是AB、AC的10等分点,则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是．13．已知四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果只给条件"AB∥CD",那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法：〔1如果再加上条件"BC=AD",那么四边形ABCD一定是平行四边形；〔2如果再加上条件"∠BAD=∠BCD",那么四边形ABCD一定是平行四边形；〔3如果再加上条件"AO=OC",那么四边形ABCD一定是平行四边形；〔4如果再加上条件"∠DBA=∠CAB",那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是．14．已知△ABC周长为1,连接△ABC三边中点构成第二个三角形,再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形,以此类推,第2010个三角形的周长为．15．如图,对面积为1的平行四边形ABCD逐次进行以下操作：第一次操作,分别延长AB,BC,CD,DA至点A1,B1,C1,D1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1D=2CD,D1A=2AD,顺次连接A1,B1,C1,D1,得到平行四边形A1B1C1D1,记其面积为S1；第二次操作,分别延长A1B1,B1C1,C1D1、D1A1至点A2,B2,C2,D2,使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2D1=2C1D1,D2A1=2A1D1,顺次连接A2,B2,C2,D2记其面积为S2；…；按此规律继续下去,可得到平行四边形A5B5C5D5,则其面积S5=．16．如图,平行四边形ABCD中,E是AB上一点,DE与AC交于点F,且S△AEF=6cm2,S△DCF=54cm2,则S平行四边形ABCD=cm2．三．选择题〔共23小题17．如图,平行四边形ABCD中,M是BC的中点,AM=9,BD=12,AD=10,求平行四边形ABCD的面积．18．如图,AB∥CD,∠ACB=90°,E是AB的中点,CE=CD,DE和AC相交于点F．求证：〔1DE⊥AC；〔2∠ACD=∠ACE．19．如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE〔不需证明．〔温馨提示：在图1中,连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF,根据三角形中位线定理,证明HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线性质,可证得∠BME=∠CNE．问题一：如图2,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF,分别交DC、AB于点M、N,判断△OMN的形状,请直接写出结论；问题二：如图3,在△ABC中,AC＞AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD的形状并证明．20．已知：如图,AD∥BC,AC⊥BD于O,AD+BC=5,AC=3,AE⊥BC于E．求AE的长．21．已知：如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CN⊥AD于E交AB于N,F是AC的中点,FE的延长线交BC于M．试判断BM=MC的正确性．如果正确,请给出证明过程；若不正确,请说明理由．22．已知：如图在▱ABCD中,AC,BD交于O,CE⊥BD于E,AF⊥BD于F,连接AE,CF．〔1判断四边形AFCE的形状；〔2证明你的结论．23．已知：如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD交于O,AD∥BC,AC=4,BO=,AB=5,BC=3．〔1判断四边形ABCD的形状并说明理由；〔2求四边形ABCD的边AB上的高．24．已知：如图〔1,AC是▱ABCD的对角线,直线MN过点D,且MN∥AC,分别交BA、BC的延长线于点M、N,我们容易得到MD=DN．探究：〔1如图〔2,若将MN向左平移,MN分别交AD、CD于P、Q,在直线MN上相等的线段有〔只写一组；〔2如图〔3,若将MN向右平移,MN分别交AD、CD的延长线于P、Q,在直线MN上相等的线段有〔只写一组．请在探究〔1、〔2中任选一结论加以证明．25．如图,在△ABC中,AB=6cm,BC=8cm．线段BC所在直线〔即动点E以每秒2cm的速度沿BA方向运动,并始终保持与原位置平行,运动过程中与AB的交点为E,与AC的交点为D．〔1经过多少秒后ED是△ABC的中位线？此时ED的长为多少？〔2经过多少秒后ED的长为2cm？26．如图,已知△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB边上的点,CD=BF,以AD为边作等边△ADE．〔1△ACD和△CBF全等吗？请说明理由；〔2判断四边形CDEF的形状,并说明理由；〔3当点D在线段BC上移动到何处时,∠DEF=30°．27．如图,在▱ABCD中,E,F分别是AD、BC上的点,且DE=CF,BE和AF的交点为M,CE和DF的交点为N,求证：MN∥AD,MN=AD．28．如图,任意四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别为BC、AD的中点．说明∠1与∠2的大小关系．29．如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF．〔1请在图中找出一对全等三角形,用符号"≌"表示,并加以证明；〔2判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由；〔3若AB=6,BD=2DC,求四边形ABEF的面积．30．如图,△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．〔1当AB≠AC时,证明：四边形ADFE为平行四边形；〔2当AB=AC时,顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．31．如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,BE的延长线与CD的延长线相交于点F．〔1求证：△ABE≌△DFE；〔2试连接BD、AF,判断四边形ABDF的形状,并证明你的结论．32．在△HBC中,∠B=∠C,在边HC上取点D,在边BH上取点A,使HD=BA,连接AD．求证：AD≥BC．33．如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F．若PE=PF,且AP+AE=CP+CF．〔1求证：PA=PC．〔2若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD的面积．34．〔1如图,如果四边形ABCD是任意四边形〔不是梯形或平行四边形的纸片,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状,并说明理由．〔2你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合〔无重叠无缝隙成一个平行四边形纸片吗？请在图上画出对应的示意图．〔3如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,若△AEH,△BEF,△CFG,△DGH的面积分别为S1,S2,S3,S4,且S1=2,S3=5,则四边形ABCD是面积是．〔不要求说明理由35．操作1：如图1,一三角形纸片ABC,分别取AB、AC的中点D、E,连接DE,沿DE将纸片剪开,并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合〔无重叠无缝隙成平行四边形纸片BCFD．操作2：如图2,一平行四边形纸片ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点,沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置,此时四纸片恰好拼合〔无重叠无缝隙成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G的形状是．36．如下图,已知BE、CD分别是△ABC的角平分线,并且AE⊥BE于E点,AD⊥DC于D点．求证：〔1DE∥BC；〔2．37．已知：如图,点P是平行四边形ABCD的边DC上一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．〔1求证：AP⊥PB；〔2如果AD=5,AP=8,求△APB的面积．38．在平行四边形ABCD中,AE,CF分别平分∠BAD和∠BCD,〔1AC与EF互相平分吗？试说明理由．〔2若∠B=60°,BE=2CE,AB=4,求四边形AECF的周长和面积．39．如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F．〔1求证：CD∥AB；〔2求证：△BDE≌△ACE；〔3若O为AB中点,求证：OF=BE．四．解答题〔共1小题40．如图所示,在▱ABCD中,AB＞BC,∠A与∠D的平分线交于点E,∠B与∠C的平分线交于F点,连接EF．〔1延长DE交AB于M点,则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条？说明理由；〔不再另外添加字母和辅助线〔2EF、BC与AB之间有怎样的数量关系？为什么？〔3如果将条件"AB＞BC"改为"AB＜BC",其它条件不变,EF、BC与AB的关系又如何？请画出图形并证明你的结论．2018年05月22日y冬夏y的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共9小题1．如图所示,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC的中点,D,E为BC上的点,连接DN、EM,若AB=5cm,BC=8cm,DE=4cm,则图中阴影部分的面积为〔A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．3cm2[解答]解：连接MN,作AF⊥BC于F．∵AB=AC,∴BF=CF=BC=×8=4,在Rt△ABF中,AF==,∵M、N分别是AB,AC的中点,∴MN是中位线,即平分三角形的高且MN=8÷2=4,∴NM=BC=DE,∴△MNO≌△EDO,O也是ME,ND的中点,∴阴影三角形的高是AF÷2=1.5÷2=0.75,∴S阴影=4×0.75÷2=1.5．故选B．2．如图,▱ABCD中,点O是对角线BD上的任意一点,过点O作MN∥AB,PQ∥BC,则下列结论中正确的是〔A．S△MOD=S△NOB B．S四边形BNOP=S四边形DMOQC．S△ABD=2S四边形AMOP D．S四边形AMOP=S四边形CNOQ[解答]解：∵平行四边形中,MN∥AB,PQ∥BC,∴S△BOP=S△BON,S△MOD=S△QOD,S〔△BOP+▱APOM+△MOD=S〔△BON+▱CQON+△QOD．∴S▱APOM=S▱CQON∴A、B、C说法都不正确,故选D．3．如图,一个四边形花坛ABCD,被两条线段MN,EF分成四个部分,分别种上红、黄、紫、白四种花卉,种植面积依次是S1,S2,S3,S4,若MN∥AB∥DC,EF∥DA∥CB,则有〔A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S3 C．S1S4=S2S3 D．都不对[解答]解：设红、紫四边形的高相等为h1,黄、白四边形的高相等,高为h2,则S1=DE•h1,S2=AF•h2,S3=EC•h1,S4=FB•h2,因为DE=AF,EC=FB,故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2,S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1,故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2,S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1,所以S1S4=S2S3,故C正确；故选：C．4．如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是〔A．28 B．32 C．18 D．25[解答]解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC,∴∠BAN=∠EAN,AN=AN,∠ANB=∠ANE=90°,∴△ABN≌△AEN,∴AE=AB=6,BN=NE,又∵M是△ABC的边BC的中点,∴CE=2MN=2×1.5=3,∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25,故选：D．5．根据如图所示的三个图所表示的规律,依次下去第n个图中平行四边形的个数是〔A．3n B．3n〔n+1 C．6n D．6n〔n+1[解答]解：从图中我们发现〔1中有6个平行四边形,6=1×6,〔2中有18个平行四边形,18=〔1+2×6,〔3中有36个平行四边形,36=〔1+2+3×6,∴第n个中有3n〔n+1个平行四边形．故选：B．6．在平行四边形ABCD中,点A1,A2,A3,A4和C1,C2,C3,C4分别AB和CD的五等分点,点B1,B2和D1,D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1,则平行四边形ABCD面积为〔A．2 B． C． D．15[解答]解：设平行四边形ABCD的面积是S,设AB=5a,BC=3b．AB边上的高是3x,BC边上的高是5y．则S=5a•3x=3b•5y．即ax=by=．△AA4D2与△B2CC4全等,B2C=BC=b,B2C边上的高是•5y=4y．则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by=．同理△D2C4D与△A4BB2的面积是．则四边形A4B2C4D2的面积是S﹣﹣﹣﹣=,即=1,解得S=．故选：C．7．AD是△ABC中BC边上的中线,若AB=2,AC=4,则AD的取值围是〔A．AD＜6 B．AD＞2 C．2＜AD＜6 D．1＜AD＜3[解答]解：延长AD至E,使AD=DE,连接BE、CE,∵AD=DE∵AD是△ABC中BC边上的中线∴BD=DC∴四边形ABEC为平行四边形∴BE=AC=4∴在△ABE中：BE﹣AB＜AE＜BE+AB即2＜2AD＜6∴1＜AD＜3故选：D．8．如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D、E分别是AB、AC的中点,F、G为BC上的两点,FG=3,线段DG,EF的交点为O,当线段FG在线段BC上移动时,三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值,则这个定值是〔A．15 B．12 C．9 D．6[解答]解：如图：连接DE,过A向BC作垂线,H为垂足,∵△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,∴DE,AH分别是△ABC的中位线和高,BH=CH=BC=×6=3,∵AB=AC=5,BC=6,由勾股定理得AH===4,∴S△ADE=BC•=×3×=3,设△DOE的高为a,△FOG的高为b,则a+b==2,∴S△DOE+S△FOG=DE•a+FG•b=×3〔a+b=×3×2=3,∴三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值,则这个定值是S△ADE+S△DOE+S△FOG=3+3=6．故选：D．9．△ABC与平行四边形DEFG如图放置,点D,G分别在边AB,AC上,点E,F在边BC上．已知BE=DE,CF=FG,则∠A的度数〔A．等于80° B．等于90°C．等于100° D．条件不足,无法判断[解答]解：∵BE=DE∴∠B=∠BDE∵四边形DEFG是平行四边形∴∠ADG=∠B∴∠ADG=∠BDE同理：∠AGD=∠CGF∵∠AGD+∠CGF+∠DGF=180°,∠DGF+∠GDE=180°∴∠AGD+∠CGF=∠GDE∵∠ADG+∠BDE+∠GDE=180°∴∠ADG+∠BDE+∠AGD+∠CGF=180°∴∠ADG+∠AGD=90°∴∠B+∠C=90°∴∠A=90°故选：B．二．选择题〔共7小题10．如图,△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD于D,F为AC中点,AB=5,BC=7,则DF=1．[解答]解：延长AD交BC于E∵AD⊥BD,BD平分∠ABC∴△ABD≌△EBD∴BE=AB=5又∵BC=7∴EC=BC﹣BE=7﹣5=2∵DF为△AEC的中位线∴DF=EC=×2=1．故答案为1．11．在▱ABCD中,两对角线交于点O,点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,那么以图中的点为顶点的平行四边形共有4个．[解答]解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可判定四边形EFGH是平行四边形；根据SAS可分别证明：△AHD≌△CFB,△AFB≌△CGD,可得,AH=CF,AF=CH,所以AHCF是平行四边形；同理可得BGDE是平行四边形,则以图中的点为顶点的平行四边形是四边形EFGH、ABCD、AHCF、BGDE,故有4个．故答案为4．12．在△ABC中,BC=10,B1、C1分别是图①中AB、AC的中点,在图②中,B1,B2,C1,C2分别是AB,AC的三等分点,在图③中B1,B2…B9；C1C2…C9分别是AB、AC的10等分点,则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是45．[解答]解：当B1、C1是AB、AC的中点时,B1C1=BC；当B1,B2,C1,C2分别是AB,AC的三等分点时,B1C1+B2C2=BC+BC；…当B1,B2,C1,…,Cn分别是AB,AC的n等分点时,B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1=BC+BC+…+BC=BC=5〔n﹣1；当n=10时,5〔n﹣1=45；故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是45．故答案为45．13．已知四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果只给条件"AB∥CD",那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法：〔1如果再加上条件"BC=AD",那么四边形ABCD一定是平行四边形；〔2如果再加上条件"∠BAD=∠BCD",那么四边形ABCD一定是平行四边形；〔3如果再加上条件"AO=OC",那么四边形ABCD一定是平行四边形；〔4如果再加上条件"∠DBA=∠CAB",那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是〔2〔3．[解答]解：其中正确的说法是〔2、〔3．因为再加上条件"∠BAD=∠BCD",即可求得另一组对角相等,那么四边形ABCD一定是平行四边形；如果再加上条件"AO=OC",即可证明△AOB≌△COD,所以,AB=DC,那么四边形ABCD一定是平行四边形．故答案为：〔2〔3．14．已知△ABC周长为1,连接△ABC三边中点构成第二个三角形,再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形,以此类推,第2010个三角形的周长为．[解答]解：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形,∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2,∴它们相似,且相似比为1：2,同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2,即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22,以此类推：第2010个三角形与原三角形的相似比为1：22009,∵△ABC周长为1,∴第2010个三角形的周长为．故答案为：．15．如图,对面积为1的平行四边形ABCD逐次进行以下操作：第一次操作,分别延长AB,BC,CD,DA至点A1,B1,C1,D1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1D=2CD,D1A=2AD,顺次连接A1,B1,C1,D1,得到平行四边形A1B1C1D1,记其面积为S1；第二次操作,分别延长A1B1,B1C1,C1D1、D1A1至点A2,B2,C2,D2,使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2D1=2C1D1,D2A1=2A1D1,顺次连接A2,B2,C2,D2记其面积为S2；…；按此规律继续下去,可得到平行四边形A5B5C5D5,则其面积S5=135．[解答]解：如图,连接BD,B1D,∵B1C=2BC,∴△B1DC的面积是△DBC的面积的两倍,又∵C1D=2DC,△B1C1D的面积是△B1DC的两倍,∴△B1C1C的面积是△DBC的面积的6倍,也就是平行四边形ABCD的面积的三倍,以此类推,其余三个三角形的面积都是平行四边形面积的三倍,∴新的平行四边形的面积是原来平行四边形面积的13倍,按此规律继续下去,那么平行四边形A5B5C5D5的面积是135．故填空答案135．16．如图,平行四边形ABCD中,E是AB上一点,DE与AC交于点F,且S△AEF=6cm2,S△DCF=54cm2,则S平行四边形ABCD=144cm2．[解答]解：设S△AEF的高为h1,S△DCF的高为h2,平行四边形的高为h∵平行四边形ABCD∴△AEF∽△CDF∵S△AEF=6cm2,S△DCF=54cm2∴AE：DC=AE：AB=1：3,h1：h2=1：3∴AB=3AE∵h=h1+h2∴h=4h1∵S△AEF=AE•h1=6∴AE•h1=12∴S平行四边形ABCD=AB•h=3AE•4h1=12AE•h1=144cm2三．选择题〔共23小题17．如图,平行四边形ABCD中,M是BC的中点,AM=9,BD=12,AD=10,求平行四边形ABCD的面积．[解答]解：过D作DE∥AM交BC的延长线于E．∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∵DE∥AM,∴四边形AMED是平行四边形,∴AD=ME,AM=DE,∵M是BC的中点,AD=10,∴MB==5,∴BE=BM+ME=15,∵四边形AMED是平行四边形,∴AM=DE=9,∵BD=12,∴92+122=152,即BD2+DE2=BE2,∴△DBE为直角三角形．∴BE边上的高为=,∴平行四边形ABCD的面积为10×=72．18．如图,AB∥CD,∠ACB=90°,E是AB的中点,CE=CD,DE和AC相交于点F．求证：〔1DE⊥AC；〔2∠ACD=∠ACE．[解答]证明：〔1直角三角形ACB中,∵CE是斜边AB的中线,∴CE=AE=BE=CD,又∵AB∥CD,∴BCDE为平行四边形,∴BC∥DE,∵AC⊥BC,∴DE⊥AC．〔2∵CD∥AB,∴∠ACD=∠CAE．由〔1知EC=EA,∴∠A=∠ACE．∴∠ACD=∠ACE．19．如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE〔不需证明．〔温馨提示：在图1中,连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF,根据三角形中位线定理,证明HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线性质,可证得∠BME=∠CNE．问题一：如图2,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF,分别交DC、AB于点M、N,判断△OMN的形状,请直接写出结论；问题二：如图3,在△ABC中,AC＞AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD的形状并证明．[解答]解：〔1取AC中点P,连接PF,PE,可知PE=,PE∥AB,∴∠PEF=∠ANF,同理PF=,PF∥CD,∴∠PFE=∠CME,又PE=PF,∴∠PFE=∠PEF,∴∠OMN=∠ONM,∴△OMN为等腰三角形．〔2判断出△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD,取BD的中点H,连接HF、HE,∵F是AD的中点,∴HF∥AB,HF=AB,同理,HE∥CD,HE=CD,∵AB=CD∴HF=HE,∵∠EFC=60°,∴∠HEF=60°,∴∠HEF=∠HFE=60°,∴△EHF是等边三角形,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,∴△AGF是等边三角形．∵AF=FD,∴GF=FD,∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．20．已知：如图,AD∥BC,AC⊥BD于O,AD+BC=5,AC=3,AE⊥BC于E．求AE的长．[解答]解：过点A作AF∥DB交CB的延长线于点F,〔1分∵AD∥BC,∴四边形AFBD是平行四边形．∴FB=AD．∵AD+BC=5,∴FC=FB+BC=AD+BC=5．〔2分∵AC⊥BD,∴FA⊥AC．〔3分在△FAC中,∠FAC=90°,AC=3,FC=5,∴AF=4．〔4分∵AE⊥BC于E,∴AF•AC=FC•AE．∴AE=．〔5分21．已知：如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CN⊥AD于E交AB于N,F是AC的中点,FE的延长线交BC于M．试判断BM=MC的正确性．如果正确,请给出证明过程；若不正确,请说明理由．[解答]解：结论BM=MC正确．证明过程如下：∵AD平分∠BAC,∴∠NAE=∠CAE．∵CE⊥AD,∴∠AEN=∠AEC=90°．∵AE=AE,∴△ANE≌△ACE．∴NE=CE．∵F为AC的中点,∴AF=CF．∴EF∥AB．∵AF=CF,∴BM=MC．22．已知：如图在▱ABCD中,AC,BD交于O,CE⊥BD于E,AF⊥BD于F,连接AE,CF．〔1判断四边形AFCE的形状；〔2证明你的结论．[解答]解：〔1四边形AFCE是平行四边形．〔2∵在△ABE和△CDF中∠ABE=∠CDF,∠AEB=∠CFD=90°,AB=CD,∴△ABE≌△CDF．∴BE=DF．又∵ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD．∴OE=OF．∴AECF是平行四边形．23．已知：如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD交于O,AD∥BC,AC=4,BO=,AB=5,BC=3．〔1判断四边形ABCD的形状并说明理由；〔2求四边形ABCD的边AB上的高．[解答]解：〔1四边形ABCD为平行四边形．∵AC=4,BC=3,AB=5,∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°在Rt△OBC中,OB=,BC=3,∴．∵AC=4,∴OA=2,∴OA=OC．∵AD∥BC,∴∠DAO=∠BCO．又∵∠AOD=∠COB,∴△AOD≌△COB．∴BC=AD．∵BC∥AD,∴四边形ABCD为平行四边形．〔2设AB边上的高为h,∵S平行四边形ABCD=BC•AC=AB•h,∴3×4=5h,∴h=2.4．即AB边上的高为2.4．24．已知：如图〔1,AC是▱ABCD的对角线,直线MN过点D,且MN∥AC,分别交BA、BC的延长线于点M、N,我们容易得到MD=DN．探究：〔1如图〔2,若将MN向左平移,MN分别交AD、CD于P、Q,在直线MN上相等的线段有MP=NQ〔只写一组；〔2如图〔3,若将MN向右平移,MN分别交AD、CD的延长线于P、Q,在直线MN上相等的线段有MP=NQ〔只写一组．请在探究〔1、〔2中任选一结论加以证明．[解答]解：探究〔1：如图〔2,在直线MN上相等的线段有MP=NQ．探究〔2：如图〔3,在直线MN上相等的线段有MP=NQ．选择探究〔1：如图〔2,证明MP=NQ．理由：如图〔2∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC；又MN∥AC,∵四边形ACNP是平行四边形,∴NP=AC．同理可证MQ=AC,∴NP=MQ∴PQ+QN=MP+PQ,∴MP=NQ．25．如图,在△ABC中,AB=6cm,BC=8cm．线段BC所在直线〔即动点E以每秒2cm的速度沿BA方向运动,并始终保持与原位置平行,运动过程中与AB的交点为E,与AC的交点为D．〔1经过多少秒后ED是△ABC的中位线？此时ED的长为多少？〔2经过多少秒后ED的长为2cm？[解答]解：〔1ED是△ABC的中位线即E、D分别为AB、AC的中点,则ED=BC=4cm,∴BE=AB=3cm,∵动点速度为每秒2cm,∴时间为t==1.5s；〔2ED的长为2cm,即ED=BC,∴AE=AB=1.5cm,∴BE=6cm﹣1.5cm=4.5cm故时间t==2.25秒,答：〔1经过1.5秒后ED是△ABC的中位线,此时ED的长为4cm,〔2经过2.25秒后ED的长为2cm．26．如图,已知△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB边上的点,CD=BF,以AD为边作等边△ADE．〔1△ACD和△CBF全等吗？请说明理由；〔2判断四边形CDEF的形状,并说明理由；〔3当点D在线段BC上移动到何处时,∠DEF=30°．[解答]解：〔1△ACD≌△CBF证：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∠ACD=∠B=60°∵CD=BF∴△ACD≌△CBF〔SAS〔2四边形CDEF为平行四边形∵△ACD≌△CBF∴∠DAC=∠BCF,CF=AD∵△AED是等边三角形∴AD=DE∴CF=DE①∵∠ACG+∠BCF=60°∴∠ACG+∠DAC=60°∴∠AGC=180°﹣〔∠ACG+∠DAC=120°∴∠DGF=∠AGC=120°∵△AED是等边三角形∴∠ADE=60°∴∠DGF+∠ADE=180°∴CF∥DE②综合①②可得四边形CDEF是平行四边形．〔3∵AC=BC,当点D是BC中点时,BF=CD=BC=AB,∴CF为AB边上的中线,CF平分∠ACB,∴∠DEF=∠ACB=30°,∴当点D是BC中点时,∠DEF=30°．27．如图,在▱ABCD中,E,F分别是AD、BC上的点,且DE=CF,BE和AF的交点为M,CE和DF的交点为N,求证：MN∥AD,MN=AD．[解答]证明：连接EF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC．∵DE=CF,∴AE=BF．∴四边形ABFE和四边形CDEF都是平行四边形．∴BM=ME,CN=NE．∴MN是△BCE的中位线．∴MN∥AD,MN=AD．28．如图,任意四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别为BC、AD的中点．说明∠1与∠2的大小关系．[解答]解：连接BD,取BD的中点G,连接MG,NG∵G、N、M分别是BD、BC、AD的中点,∴GN是△ADB的AB对的中位线,GM是△BCD的CD对的中位线∴NG∥AB,NG=AB,GM∥CD,GM=CD∴∠1=∠GNM,∠2=∠GME又∵AB=CD∴MG=NG∴∠GNM=∠GME∴∠1=∠2．29．如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF．〔1请在图中找出一对全等三角形,用符号"≌"表示,并加以证明；〔2判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由；〔3若AB=6,BD=2DC,求四边形ABEF的面积．[解答]解：〔1〔选证一△BDE≌△FEC．证明：∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=60度．∵CD=CE,∴△EDC是等边三角形．∴DE=EC,∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120度．又∵EF=AE,∴BD=FE．∴△BDE≌△FEC．〔选证二△BCE≌△FDC．证明：∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=60度．又∵CD=CE,∴△EDC是等边三角形．∴∠BCE=∠FDC=60°,DE=CE．∵EF=AE,∴EF+DE=AE+CE．∴FD=AC=BC．∴△BCE≌△FDC．〔选证三△ABE≌△ACF．证明：∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=60度．∵CD=CE,∴△EDC是等边三角形．∴∠AEF=∠CED=60度．∵EF=AE,△AEF是等边三角形．∴AE=AF,∠EAF=60度．∴△ABE≌△ACF．〔2四边形ABDF是平行四边形．理由：由〔1知,△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度．∴AB∥DF,BD∥AF．∴四边形ABDF是平行四边形．〔3由〔2知,四边形ABDF是平行四边形．∴EF∥AB,EF≠AB．∴四边形ABEF是梯形．过E作EG⊥AB于G,则EG=．∴S四边形ABEF=EG•〔AB+EF=〔6+4=10．30．如图,△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．〔1当AB≠AC时,证明：四边形ADFE为平行四边形；〔2当AB=AC时,顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．[解答]〔1证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形,∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形,∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．〔2解：构成的图形有四类,一类是菱形,一类是线段．当图形为菱形时,∠BAC≠60°〔或A与F不重合、△ABC不为正三角形；当图形为线段时,∠BAC=60°〔或A与F重合、△ABC为正三角形．31．如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,BE的延长线与CD的延长线相交于点F．〔1求证：△ABE≌△DFE；〔2试连接BD、AF,判断四边形ABDF的形状,并证明你的结论．[解答]〔1证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CF．∴∠1=∠2,∠3=∠4∵E是AD的中点,∴AE=DE．∴△ABE≌△DFE．〔2解：四边形ABDF是平行四边形．∵△ABE≌△DFE,∴AB=DF又∵AB∥DF∴四边形ABDF是平行四边形．32．在△HBC中,∠B=∠C,在边HC上取点D,在边BH上取点A,使HD=BA,连接AD．求证：AD≥BC．[解答]〔1证明：如图,当A、D为BH、CH的中点时,AD=BC．〔2证明：如图,当A,D不是BH、CH的中点时．∵∠B=∠C,∴BH=HC．∵DH=AB,∴AH=CD．过B作BE∥AD,过D作DE∥BH,BE与DE交于E点,连接EC∴四边形ABED为平行四边形,∠EDC=∠H．∴DE=AB,BE=AD．∴DH=DE．又∵CD=AH∴△ADH≌△CED．∴CE=AD．∴BE=CE．在△BEC中,BE+EC＞BC,∴2AD＞BC．∴AD＞BC．综合〔1,〔2可得,AD≥BC．33．如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F．若PE=PF,且AP+AE=CP+CF．〔1求证：PA=PC．〔2若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD的面积．[解答]〔1证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N,使AM=AE,CN=CF．∵AP+AE=CP+CF,∴PN=PM．∵PE=PF,∴四边形EMFN是平行四边形．∴ME=FN,∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM,∠CNF=∠CFN,∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN,∴PA=PC．〔2解：∵PA=PC,EP=PF,∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB,∠EPD=∠FPB,EP=PF,∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由〔1知PA=PC,∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15,AD=12,∠DAB=60°,∴四边形ABCD的面积为90．34．〔1如图,如果四边形ABCD是任意四边形〔不是梯形或平行四边形的纸片,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状,并说明理由．〔2你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合〔无重叠无缝隙成一个平行四边形纸片吗？请在图上画出对应的示意图．〔3如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,若△AEH,△BEF,△CFG,△DGH的面积分别为S1,S2,S3,S4,且S1=2,S3=5,则四边形ABCD是面积是28．〔不要求说明理由[解答]解：〔1四边形EFGH的形状是平行四边形．连接AC．在△ABC中,因为E、F分别是AB、BC的中点,即EF是△ABC的中位线,所以EF∥AC,EF=AC．在△ADC中,同样可以得到HG∥AC,HG=AC．所以四边形EFGH是平行四边形．〔2如图,〔3四边形ABCD是面积是28．35．操作1：如图1,一三角形纸片ABC,分别取AB、AC的中点D、E,连接DE,沿DE将纸片剪开,并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合〔无重叠无缝隙成平行四边形纸片BCFD．操作2：如图2,一平行四边形纸片ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点,沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置,此时四纸片恰好拼合〔无重叠无缝隙成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G的形状是平行四边形．[解答]解：操作2：四边形FF1G1G的形状是平行四边形连接AC．在△ABC中,因为E、F分别是AB、BC的中点,即EF是△ABC的中位线,所以EF∥AC,EF=AC．在△ADC中,同样可以得到HG∥AC,HG=AC．又△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置所以EF1∥AC,EF1=AC同理HG1∥AC,HG1=AC∴FF1∥GG1且FF1=GG1四边形FF1G1G是平行四边形．36．如下图,已知BE、CD分别是△ABC的角平分线,并且AE⊥BE于E点,AD⊥DC于D点．求证：〔1DE∥BC；〔2．[解答]证明：〔1延长AD、AE,交BC于F、G；∵BE⊥AG,∴∠AEB=∠BEG=90°；∵BE平分∠ABG,∴∠ABE=∠GBE；∴∠BAE=∠BGE；∴△ABG是等腰三角形；∴AB=BG,E是AG中点；同理可