《线性代数》 试卷及答案 第三套模拟题_第1页
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文档简介

年月日第页共页第三套模拟题一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题3分，总计15分）1．点到平面的距离为.2．设,是的伴随矩阵,则=.3.设是4阶方阵,且,,则=.4．已知4阶方阵=,其中线性无关,.如果,则线性方程组的通解是.5.设为阶方阵且有非零解,则必有一个特征值为.二、单项选择题（将正确的选项填在括号内）（每小题3分，总计15分）1．设均为阶方阵,为阶单位矩阵,若，,则为（）.（A）；（B）；（C）；（D）.2．设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是（）.（A）若线性相关,则线性相关；（B）若线性相关,则线性无关；（C）若线性无关,则线性相关；（D）若线性无关,则线性无关.3．设为阶方阵,若,则的基础解系所含向量的个数是（）.（A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）个.4．设是非奇异矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值（）.（A）；（B）；（C）；（D）.5．设矩阵，,则与（）.（A）合同且相似；（B）合同,但不相似；（C）不合同,但相似；（D）既不合同,也不相似.三、解答下列各题（每小题10分，总计60分）1．计算4阶行列式：.2．已知矩阵，矩阵满足,其中是的伴随矩阵,求.3．设四个函数，，，的所有实系数线性组合构成实数域上一个4维线性空间，求微分变换在基下的矩阵.4．确定常数,使向量组,,可由向量组,,线性表示,但向量组不能由向量组线性表示.5．若三阶方阵与相似,矩阵的特征值为,求.6．用正交变换化二次型为标准形,并求出所用的正交变换．四、证明题（每小题5分，总计10分）１．若，且．证明是不可逆矩阵.２．设为实矩阵，且，证明为正定的充要条件是．第三套模拟题答案一、1．；2．=；3．3；4．其中为任意常数；5.0.二、1．A；2．A；3．C；4．B；5．B.三、1．解：原式=…=……………………10分2．解：由,用矩阵左乘方程的两端,有得.由于,故……10分3．解：所以基下矩阵为……10分4．解：由题意,向量组:可由向量组:线性表示,则有;由向量组不能由向量组线性表示,必有,即.于是.解得或.另一方面当时,,.即线性无关,显然向量组可由线性表示,而向量组不能由线性表示,即是符合题意要求的.当时,,.不满足,所以不符合题意,应舍去.综上所述.……………………10分5．解：因为与相似,所以存在可逆矩阵使.易知,又存在可逆矩阵,使,故,所以……………10分6．解：二次型的矩阵，的特征值为5，（二重），对应5的一个基础解系为，对应的一个基础解系为，，现将正交化，.将单位化后，可得的一组标准正交基，，.故所求正交阵为且正交变换化二次型为标准形.………………10分四、证明：1.因(1)(2)由(1),(2)可知,得即(3)又因得(4)将(4)代入(3)可知,因,所以可逆,即,代入上式可知,故不是可逆阵.…………

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