2024届一轮复习人教A版 第六章立体几何第七讲立体几何中的向量方法 课件（77张）

第七讲立体几何中的向量方法课标要求考情分析1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用从近五年的考查情况来看，利用向量法求空间角和空间距离是高考的重点，考查频率较高，线、面的平行和垂直问题一般不用向量法求解，但向量法的使用有时可以加快求解速度，主要以解答题的形式出现，难度中等1.异面直线所成的角

2.直线与平面所成的角

如图6-7-1，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，图6-7-13.平面与平面的夹角

如图6-7-2，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.图6-7-2

【常用结论】

(1)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.(2)二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是4.利用空间向量求距离(1)点到直线的距离图6-7-3

(2)点到平面的距离图6-7-4(3)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.注意体积法在求点到平面距离时的应用.【名师点睛】

(3)若二面角A-BC-D的大小为α，平面ABC内的直线l与平面BCD所成角为β，则α≥β，当l⊥BC时，取等号.

考点一利用向量求空间的角考向1向量法求异面直线所成的角图6-7-5答案：C

(2)有公共边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________.

解析：设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以点O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图6-7-6所示的空间直角坐标系.图6-7-6【题后反思】(1)求异面直线所成角的思路：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v1，v2；(2)两异面直线所成角的关注点：两异面直线所成角的范围θ∈

，两向量的夹角的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.

考向2向量法求线面角

[例2](2022年浙江)如图6-7-7，已知

ABCD和

CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F­DC­B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点. (1)证明：FN⊥AD； (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.图6-7-7

(1)证明：由于

CD⊥CB，CD⊥CF，

平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF⊂平面CDEF，CB⊂平面ABCD，

所以∠FCB为二面角F-DC-B的平面角，

则∠FCB＝60°，CD⊥平面CBF，

因为FN⊂平面FCB，

所以CD⊥FN.则△BCF是等边三角形，则CB⊥FN，因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC∩BC＝C，FC⊂平面FCB，BC⊂平面FCB，所以DC⊥平面FCB.因为FN⊂平面FCB，所以DC⊥FN.又因为DC∩CB＝C，DC⊂平面ABCD，CB⊂平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，故FN⊥AD.(2)解：由于

FN⊥平面ABCD，如图6-7-8建立空间直角坐标系：图6-7-8

【题后反思】

线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是解题的基本思路，而这往往正是解题难点所在，故常用向量法求解斜线与平面所成角的问题.解题的关键是确定斜线的一个方向向量a和平面的一个法向量b，再通过计算线面角的向量公式sinθ＝|cos〈a，b〉|＝

|a·b||a|·|b|(θ是斜线与平面所成的角)求解，要特别注意a和b的夹角与线面角的关系.

考向3向量法求二面角

[例3](2022年全国Ⅱ)如图6-7-9，PO是三棱锥P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点. (1)证明：OE∥平面PAC； (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值.图6-7-9(1)证明：如图6­7­10，连接OA，OB，依题意，OP⊥平面ABC，图6-7-10又∵OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，则OP⊥OA，OP⊥OB，∴∠POA＝∠POB＝90°，又∵PA＝PB，OP＝OP，则△POA≌△POB，∴OA＝OB.延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为BF中点，连接PF，在△PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OE∥PF.∵OE

平面PAC，PF⊂平面PAC，∴OE∥平面PAC.

(2)解：过点

A作AM∥OP，以AB，AC，AM分别为x轴、y轴、z轴建立如图6-7-10所示的空间直角坐标系，

由于PO＝3，PA＝5，由(1)知OA＝OB＝4，又∵AC＝ABtan60°＝12，即C(0，12，0)，设平面AEB的一个法向量为n＝(x，y，z)，【题后反思】利用向量法确定二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

(3)将二面角转化为线面角求解.如图6-7-11所示，要求二面角P­AB­C，可作PH⊥AB，则二面角P­AB­C的大小即为PH与平面ABC所成角θ的大小，PH易求，可用体积法求P到平面ABC的距图6-7-11【考法全练】

1.(考向1)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点，则异面直线BP与AC1

所成角的余弦值为________.解析：如图D42，在正三棱柱ABC-A1B1C1

中，图D42

2.(考向2，3)(2022年天津)如图6­7­12，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1

＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1

中点，E为AA1

中点，F为CD中点. (1)求证：EF∥平面ABC；(2)求直线BE与平面CC1D的正弦值；(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值.图6-7-12解：(1)证明：如图D43，取BB1的中点G，连接FG，EG，图D43∵D为A1B1

中点，E为AA1

中点，F为CD中点.∴FG∥BC，EG∥AB.又∵FG

平面ABC，CB⊂平面ABC，∴FG∥平面ABC.同理可得，EG∥平面ABC，又∵FG∩EG＝G，∴平面EFG∥平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1

中，AC⊥AB，则可建立如图D43所示的空间直角坐标系，又∵AA1＝AB＝AC＝2，D为A1B1

中点，E为AA1中点，F为CD中点.故B(2，2，0)，E(1，0，0)，C(2，0，2)，C1(0，0，2)，D(0，1，0)，

3.(考向3)如图6-7-13所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD. (1)求证：AB⊥PD； (2)若∠BPC＝90°，PB＝

，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC的夹角的余弦值.图6-7-13(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.(2)解：如图

D44，过点P作AD的垂线，垂足为点O，过点O作BC的垂线，垂足为点G，连接PG，图D44则PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.考点二求空间距离[例4]如图6-7-14，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.图6-7-14(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1

到平面ABN的距离.解：建立如图6-7-15所示的空间直角坐标系，

图6-7-15则A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4)，∵N是CC1

的中点，∴N(0，4，2).【题后反思】求点面距的一般方法(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.【变式训练】

1.如图6-7-16，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为________.图6-7-16

解析：如图D45，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，图D452.(2022年全国Ⅰ)如图6­7­17，直三棱柱ABC­A1B1C1的体积 (1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.图6-7-17(2)如图D46，连接AB1，交A1B于点E，图D46∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB1⊥A1B.又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC.由直三棱柱ABC­A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又∵AB1∩BB1＝B1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB.以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图D46所示的空间直角坐标系，

⊙立体几何中的动态问题图6-7-18A.圆的一部分C.抛物线的一部分

B.椭圆的一部分D.双曲线的一部分答案：B图6-7-19【题后反思】

(1)直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养. (2)立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等.

(3)一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程).

【高分训练】

1.如图6-7-20所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点(