第 4 章 第 1 讲 矩阵乘法_第1页
第 4 章 第 1 讲 矩阵乘法_第2页
第 4 章 第 1 讲 矩阵乘法_第3页
第 4 章 第 1 讲 矩阵乘法_第4页
第 4 章 第 1 讲 矩阵乘法_第5页
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高等代数（I）

AdvancedLinearAlgebra助教:邓剑王威杨主讲教师:高峡

理科楼1478S

gao_m_xia@大课周三3,4节理教105周五1,2节理教105习题课周三9,10节文史201三教101课件下载:/index.jsp用户名：linearalg1密码：linearalg1linearalg2linearalg2linearalg9linearalg9进入后点击讲义资料下载。Putnam问题甲乙二人在2009阶的空方阵上交替地填数.甲先填.每人每次只能在空的位置填写一个实数.方阵被填满后游戏结束.如果最后方阵的行列式不为零,判甲胜.否则判乙胜.问甲乙二人谁有必胜的策略?第四章矩阵运算

1矩阵运算2特殊矩阵3矩阵的分块乘法4矩阵乘积的秩5可逆矩阵6正交矩阵

矩阵的运算行数相同、列数也相同的矩阵

可以作加法矩阵加法满足交换律:结合律:存在零矩阵、负矩阵:

矩阵的运算行数相同、列数也相同的两个矩阵

可以作加法;数可以和矩阵作数乘;线性空间数域K上全体m×n矩阵构成的集合记为Mm,n(K).在Mm,n(K)上有两种运算：矩阵加法、数乘；满足向量空间的八条性质.集合Mm,n(K)连同其上的加法、数乘运算一起构成一个线性空间。

给定一个集合V取定一个数域K＝R,C,Q…在V上定义两种运算:加法和数乘

运算满足八条性质:

定义:如果非空集合V上有两种运算

(加法和数乘)并满足上述八条性质,

则称

V是数域K上的线性空间.例：向量空间Kn，Mm,n(K).例:矩阵的运算矩阵的加法、数乘矩阵乘法的定义

矩阵乘法定义若A＝[ail

]是m×k矩阵，B＝[blj]是k×n矩阵，则A与B可以作矩阵乘法，乘积C＝AB是一个m×n矩阵,其（i,j）元为cij＝

ai1b1j＋ai2b2j＋…＋aikbkj

矩阵乘法的条件kk

m×kk×n

m×nm＝mnn左一行，右一列，对应相乘再求和＝熟练以后可以一列一列乘＝熟练以后可以一列一列乘熟练以后可以一列一列乘熟练以后可以一列一列乘也可以一行一行乘＝也可以一行一行乘也可以一行一行乘也可以一行一行乘矩阵乘法不满足交换律

AB=BA=AB≠BA如果AB=BA，则称矩阵A、B可交换.此时，A行数=B行数=A列数=B列数，

A、B必为同级方阵只有当A为方阵时,AA有意义，A与A可交换.IA=A；AI=A数量矩阵kIn与任意n级方阵可交换:当A为方阵时，记对整数k，l≥0，若A，B可交换，有若A，B不可交换，则没有上述等式,只有例:求所有与A可交换的矩阵.

显然,及其线性组合与A可交换,除此之外还有其它的矩阵吗?解：设与A可交换,结论：矩阵B与A可交换,当且仅当

数的乘法满足消去律：若k≠0，则ka＝kb

a＝b

矩阵乘法不满足消去律：C≠0，CA=CBA=B

矩阵乘法性质：（AB）C=A（BC）（结合律）如果没有结合律,ABCD有几种结果?ABCDABCDABCDABCDABCD矩阵乘法性质：（AB）C=A（BC）（结合律）A（B+C）=AB+AC（A+B）C=AC+BC（分配律

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