向量的数量积高一数学系列

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人教A版2019高中数学必修第二册第6章平面向量及其应用6.2.3

向量的数量积Fs

┓

在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功

平面向量数量积的物理背景1

其中

是物体在位移方向上分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.

【1】功W是一个数量，既涉及长度又涉及角度，且只与这两个量有关；【2】当0≤θ＜90°时，W＞0；当θ=90°时，力的方向和位移的方向互相

垂直，W=0，力F不做功；当90°＜θ≤180°时，W＜0，既力F做负功.平面向量数量积的物理背景1

平面向量的夹角：叫做向量a与b的夹角。

已知两个非零向量a和b，在平面上取一点O，作OA=a,OB=b,则AOBθ平面向量数量积的定义:已知两个非零向量

和

，它们的夹角为

,我们把数量叫做

与

的数量积(或内积),记作.规定：零向量与任意向量的数量积为0．注意：

(1)

两个向量的数量积是一个实数，不是向量．

(2)两个向量的数量积称为内积，写成

．

向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为负，何时为零？向量数量积的性质当且仅当两向量共线时等号成立(B1)┐B1┐B1如图，作出││cosθ，并说出它的几何意义；││cosθ的几何意义有是什么？OBBABAOOAθθ┓θ(1)(2)（3）平面向量数量积几何意义当

为锐角时投影为正值;

当

为钝角时投影为负值;当

为直角时投影为0;││cosθ叫做向量在向量方向上的投影，││cosθ叫做向量在向量方向上的投影.B1OABba

A1OABba

叫做向量在方向上(向量在方向上)的投影.

向量在方向上的投影是数量,不是向量,什么时候为正，什么时候为负？探究：OABabOABabBOAabOABbaOABba平面向量数量积的几何意义:(1)交换律：(2)数乘结合律：(3)分配律：向量数量积的运算律数量积不

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