20182019学年高中数学第1部分第1章常用逻辑用语1.2简单的逻辑联结词第一课时“且”“或”“非”讲义含解析苏教版选修212019041634

1.2简单的逻辑联结词 逻辑联结词如图所示，有三种电路图．问题1：甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合且q闭合．问题2：乙图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合或q闭合．问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合时．这里的“或”“且”“非”称为逻辑联结词. 含有逻辑联结词的命题如知识点一中的图，若开关p、q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q、p∨q、綈p的真与假．问题1：什么情况下，p∧q为真？提示：当p真，q真时．问题2：什么情况下，p∨q为假？提示：当p假，q假时．问题3：什么情况下，綈p为真？提示：当p假时．1．一般地，通常用小写拉丁字母p，q，r表示命题，用联结词“或”、“且”、“非”把p，q联结起来，就得到新命题，“p或q”、“p且q”、“非p”．“p或q”记作“p∨q”；“p且q”记作“p∧q”；“非p”记作“綈p”．2．一般地，“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的真假性可以用下面表格分别表示：(1)命题p且q的真假性：p q p且q真 真 真真 假 假假 真 假假 假 假(2)命题p或q的真假性：p q p或q真 真 真假 真 真真 假 真假 假 假(3)p与綈p的真假性：p 綈p真 假假 真命题“p∧q”的真假，概括为同真为真，有假为假；命题“p∨q”的真假，概括为同假为假，有真为真；命题p与“綈p”的真假相反．第一课时“且”“或”“非” 分析命题的结构[例1]指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q：(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)方程x2－3＝0没有有理根；(3)如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二或第三象限．[思路点拨]根据命题的含义，确定逻辑联结词，分解出命题p和q.[精解详析](1)“p且q”的形式；其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形；q：两个角是45°的三角形是直角三角形；(2)“非p”的形式；p：方程x2－3＝0有有理根；(3)“p或q”的形式；其中p：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二象限：q：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第三象限．[一点通]正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键．根据各命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义确定命题的形式．若命题中没有出现逻辑联结词，则可根据语句的意义确定命题的构成形式．1．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)2既不是偶数，也不是质数；(2)王某是体操运动员或跳水运动员；(3)正方形既是矩形，也是菱形；(4)仅有一组对边平行的四边形是梯形或平行四边形；(5)方程2x2－x＋1＝0没有实数根．解：(1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：2不是偶数，q：2不是质数；(2)这个命题是“p或q”的形式，其中p：王某是体操运动员，q：王某是跳水运动员；(3)这个命题是“p且q”的形式，其中p：正方形是矩形，q：正方形是菱形；(4)这个命题是“p或q”的形式，p：仅有一组对边平行的四边形是梯形，q：仅有一组对边平行的四边形是平行四边形．(5)这个命题是“綈p”形式，其中p：方程2x2－x＋1＝0有实数根．2．分别指出下列命题的形式及构成它的命题：(1)相似三角形周长相等或对应角相等；(2)方程x2－3x－4＝0的根是－4或1；(3)a?A.解：(1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：相似三角形周长相等；q：相似三角形对应角相等．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：方程x2－3x－4＝0的一个根是－4，q：方程x2－3x－4＝0的一个根是1.(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：a∈A. 含有逻辑联结词的命题的写法[例2]写出由下列各组命题构成的“p且q”“p或q”和“非p”形式的命题：(1)p：6是自然数；q：6是偶数；(2)p：??{0}；q：?＝{0}；(3)p：甲是运动员；q：甲是教练员．[思路点拨]根据p，q语句上的要求，正确使用联结词，写成三种形式．[精解详析](1)p且q：6是自然数且是偶数．p或q：6是自然数或是偶数．非p：6不是自然数．(2)p且q：??{0}且?＝{0}．p或q：??{0}或?＝{0}．非p：?{0}．(3)p且q：甲是运动员且是教练员．p或q：甲是运动员或是教练员．非p：甲不是运动员．[一点通]用逻辑联结词“且”、“或”、“非”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及其与日常用语中的同义词的区别，选择合适的联结词．有时，为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形．3．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．解：(1)p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．非p：梯形没有一组对边平行．(2)p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．非p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．4．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”和“非p”形式的新命题：(1)p：2014是正数，q：2014是负整数；(2)p：1是方程x2＋2x－3＝0的根，q：1是质数．解：(1)“p或q”形式的新命题：2014是正数或2014是负整数．“p且q”形式的新命题：2014是正数且2014是负整数．“非p”形式的新命题：2014不是正数．(2)“p或q”形式的新命题：1是方程x2＋2x－3＝0的根或是质数．“p且q”形式的新命题：1是方程x2＋2x－3＝0的根且是质数．“非p”形式的新命题：1不是方程x2＋2x－3＝0的根. 命题的否定[例3]写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p：y＝cosx不是周期函数；(2)p：2和3都是奇数；(3)p：8>7.[思路点拨]对命题的判断词或关键词进行全盘否定即可．[精解详析](1)綈p：y＝cosx是周期函数．由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．(2)綈p：2和3不都是奇数．由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．(3)綈p：8≤7.由于命题p是真命题，所以綈p是假命题．[一点通]写出命题的否定(非)，需要对其正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及它的否定列表如下：正面词语 否定等于 不等于大于(＞) 不大于(≤)小于(＜) 不小于(≥)是 不是都是 不都是p或q 非p且非q至多有一个 至少有两个至少有一个 一个也没有正面词语 否定任意的 某个所有的 某些至多有n个 至少有n＋1个任意两个 某两个p且q 非p或非q5．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p：y＝tanx的定义域是R；(2)p：1,2,3至少有一个是奇数；(3)p：1,2,3至多有一个是奇数．解：(1)綈p：y＝tanx的定义域不是R.由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．(2)綈p：1,2,3都不是奇数．由于命题p是真命题，所以綈p是假命题．(3)綈p：1,2,3至少有两个是奇数．由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．6．写出下列命题的否定：(1)△ABC是直角三角形或等腰三角形；(2)4,5都是方程x2－5x＋4＝0的根；(3)他是数学家或物理学家；(4)他既是班干部又是学生会干部．解：(1)△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形．(2)4,5不都是方程x2－5x＋4＝0的根．(3)他既不是数学家也不是物理学家．(4)他不是班干部或他不是学生会干部．1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”表示两个中至少选一个．2．命题的否定只否定结论，而否命题既否定条件又否定结论，要注意区别．[对应课时跟踪训练(三)]1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”的构成形式是________．解析：正方形的两条对角线互相垂直并且平分，是p且q的形式．答案：p且q2．如果原命题是“p或q”的形式，那么它的否定形式是______．答案：綈p且綈q3．由命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是________________________________________________________________________，“p且q”形式的命题是________________________________________________，“非p”形式的命题是_________________________________________________．答案：6是12或24的约数6是12的约数且是24的约数6不是12的约数4．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是____________________，否命题是________________________________________________________________________．解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集?UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：(1)p且q(2)p或q(3)非p6．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)12可以被3或4整除；(2)3是12和15的公约数．解：(1)这个命题是“p或q”的形式，其中p：12可以被3整除；q：12可以被4整除．(2)这个命题是“p且q”的形式，其中p：3是12的约数；q：3是15的约数．7．分别写出由命题p：方程x2－4＝0的两根符号不同，q：方程x2－4＝0的两根绝对值相等构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．解：p或q：方程x2－4＝0的两根符号不同或绝对值相等．p且q：方程x2－4＝0的两根符号不同且绝对值相等．非p：方程x2－4＝0的两根符号相同．8．写出下列各命题的否